Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     Задача 1. Найти точки пересечения графиков функций и .

     Решение. Если (x,y) – точка пересечения данных графиков, то . Следовательно, для нахождения абсцисс точек пересечения нужно решить уравнение

      .      (1)

     Возводя обе части уравнения (1) в квадрат, получаем , откуда . Корни полученного квадратного уравнения . Проверка показывает, что оба корня являются также и корнями уравнения (1).

     Теперь  находим ординаты точек пересечения  данных графиков . Итак, данные графики пересекаются в точках (1;3) и (4;6).

     Ответ: (1;3), (4;6).

     Далее по данной задаче делается некий вывод, содержащий определение равносильных уравнений.

     При решении задачи 1 исходное уравнение  заменялось уравнениями , . Все эти уравнения имеют одни и те же корни . Такие уравнения называют равносильными.

     Определение 1. Уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными.

     Ниже  приводятся примеры равносильных уравнений:

       и  , так как каждое из них имеет только один корень x=3;

       и  , так как они имеют одни и те же корни

     Уравнения и не равносильны, так как первое имеет корень x=2, а второе – x=- 2.

     Из  определения равносильности уравнений  следует, что два уравнения равносильны, если каждый корень первого уравнения  является корнем второго уравнения  и, наоборот, каждый корень второго  уравнения является корнем первого  уравнения. Уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными.

     После приведенных примеров выделяются следующие  преобразования уравнений:

• Любой член уравнения можно переносить из одно части в другую, изменив его знак на противоположный.
• Обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

     При этих преобразованиях исходное уравнение  заменяется равносильным ему уравнением.

     Если  некоторое выражение в левой  или правой части уравнения заменить тождественно равным ему выражением, то получиться уравнение, равносильное исходному. Но не при любом преобразовании уравнение заменяется равносильным.

     Например, при возведении в квадрат обеих  частей уравнения  получается уравнение , не равносильное исходному. В этом случае второе уравнение называют следствием первого уравнения.

     Определение 2. Если при переходе от одного уравнения к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения. Иначе, если все корни первого уравнения являются корнями второго уравнения, то второе уравнение называется следствием первого уравнения.

     Из  этого определения и определения  равносильности следует, что:

1. если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого;
2. если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны.

     При решении уравнений главное –  не потерять корни, а наличие посторонних  корней можно установить проверкой. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения  каждое следующее уравнение было следствием предыдущего.

     Далее приводится пример решения уравнения, где показывается, что после решения  обязательно проводится проверка. На основе этого примера формулируется  определение постороннего корня и выделяется случай, когда может появиться этот корень.

     Утверждение. Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

     На  следующем примере (задача 3) иллюстрируется случай потери корней.

     Утверждение. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

     Далее делается общий вывод.

     При решении уравнения можно делать только такие его преобразования, при которых не происходит потеря корней. Если при этом получаются уравнения-следствия  данного, то необходима проверка найденных  корней. 

     Одними  из основополагающих понятий являются понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий. Определения этим понятиям даются во всех учебниках. В учебнике Ш.А. Алимова  введение определения равносильных уравнений сопровождается приведением  примера (пример приводится непосредственно перед формулировкой определения). Определение следующее: уравнения, имеющие одно и то же множество корней, называются равносильными. Определение строгое, понятное. В учебниках авторов Алимов и др. и Никольский и др. приводятся примеры равносильных и неравносильных уравнений, что способствует лучшему осознанию этого определения учениками, затем делается важное замечание, что уравнения, не имеющие корней, также считаются равносильными (это замечание имеет место во всех рассматриваемых учебниках).

     В учебнике С.М. Никольского и др. формулируется  определение равносильного преобразования: замену одного уравнения другим равносильным ему уравнением называют равносильным преобразованием уравнения. Такое определение не вводится ни в каком другом учебнике.

     В учебнике Ш.А. Алимова и др. выделяются преобразования уравнений, приводящих к равносильным уравнениям:

• любой член уравнения можно переносить из одно части в другую, изменив его знак на противоположный;
• обе части уравнения можно умножить или разделить на одно и то же число, не равное нулю;

     Акцент  делается на том, что только при этих преобразованиях уравнение заменяется равносильным. Также формулируется  утверждение: если некоторое выражение  в левой или правой части уравнения  заменить тождественно равным ему выражением, то получиться уравнение, равносильное исходному. Но не при любом преобразовании уравнение заменяется равносильным. Здесь ученикам нужно быть внимательнее.

     Данный  список равносильных преобразований пополняется  в учебнике Никольского и др. (после  введения соответствующих определений  – возведение в степень, извлечение корня, логарифмирование) следующими преобразованиями:

• применение тождеств, т.е. равенств, справедливых для каждого ;
• возведение уравнения в нечетную степень;
• извлечение корня нечетной степени из обеих частей уравнения;
• логарифмирование показательного уравнения.

     Кроме перечисления этих преобразований, в  учебнике С.М. Никольского и др. представлены утверждения, из которых они следуют, и их доказательства. Утверждения  выделены в тексте параграфа. Доказательства их аналогичны, поэтому авторы учебника представили только одно доказательство, в остальных случаях ученики  выполняют его самостоятельно. Доказательство строгое, не сложное, основано на определении  корня уравнения и на действиях  с числами. Оно осложняется тем, что проводится в обе стороны  и рассматривается случай, когда  уравнение не имеет корней. Таким  образом, учеников следует лишь натолкнуть на рассмотрение этих случаев, доказательство для каждого случая учитель может  вести фронтально с «подсказками»  учащихся.

     Далее формулируется определение уравнения-следствия: если при переходе от одного уравнения  к другому потери корней не происходит, то второе уравнение называют следствием первого уравнения (или если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения). Основываясь на этом определении, формулируется следствие – второе определение равносильных уравнений: если каждое из двух уравнений является следствием другого, то эти уравнения равносильны. В учебнике Ш.А. Алимова и др. к этому следствию добавляется еще одно: если два уравнения равносильны, то каждое из них является следствием другого. Эти очень важные утверждения применяются при решении уравнений, т.к. только при равносильных преобразованиях не происходит потеря корней, а появление посторонних корней можно легко установить проверкой.

     Как и в случае равносильных уравнений, в учебнике авторов С.М. Никольский и др. формулируется определение  перехода к уравнению-следствию: замену уравнения другим уравнением, которое  является его следствием, называют переходом к уравнению-следствию. Здесь внимание заостряется на том, что при переходе к уравнению-следствию невозможно потерять корни исходного уравнения, но возможно появление посторонних корней.

     Ниже  перечисляются преобразования, приводящие к уравнению-следствию:

• возведение уравнения в четную степень: пусть 2m – фиксированное четное натуральное число. Тогда следствием уравнения является уравнение ;
• потенцирование логарифмического уравнения;
• освобождение уравнения от знаменателя: следствием уравнения является уравнение f(x)=0;
• приведение подобных членов: следствием уравнения является уравнение f(x)=0;
• применение формул: пусть дана некоторая формула, у которой левая часть определена в каждой точке множества M₁, а правая часть – в каждой точке множества M₂, причем, . Тогда если при решении уравнения применить эту формулу так, что ее левую часть заменить правой, то получится уравнение-следствие исходного.

     В случае потенцирования проводится доказательство.

     В учебнике А.Г. Мордковича также выделяется общая схема решения уравнений:

1. заданное уравнение (1) преобразуют в уравнение (2), более простое, чем уравнение (1);
2. уравнение (2) преобразуют в уравнение (3), более простое, чем уравнении(2), и т.д.:

     

3. в конце  получают достаточно простое уравнение  и находят его корни.

     В этом случае опять акцентируется  внимание на том, что если преобразования были равносильными, то множество найденных  корней последнего уравнения совпадает  с множеством корней исходного уравнения, т.е. потеря корней не происходит. В  связи с этим А.Г. Мордкович выделяет следующие этапы решения уравнений:

1. технический этап – здесь осуществляется преобразования по схеме и находят корни последнего (самого простого) уравнения указанной цепочки.
2. анализ решения – представляет собой анализ проведенных преобразований с помощью ответов на вопрос, все ли они были равносильными.
3. проверка – если проведенный анализ показывает, что некоторые преобразования могли привести к уравнению-следствию, то обязательна проверка всех найденных корней их подстановкой в исходное уравнение.

     Эти этапы при непосредственном решении  уравнений указывать не нужно, но следует проводить все необходимые  рассуждения.

     Таким образом, во всех учебниках выделяется обязательный этап решения уравнений  – проверка, которая показывает, привело ли решение уравнения  к появлению постороннего корня. Если да, то такие корни в ответ  не включают.

     В учебнике Ш.А. Алимова формулируются  утверждения о появлении посторонних  корней и потере корней.

     Утверждение. Посторонние корни могут получиться при умножении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

     Утверждение. Потеря корней может произойти при делении обеих частей уравнения на выражение, содержащее неизвестное.

     Таким образом, эти утверждения предостерегают учащихся от неверных шагов при решении  уравнений.

     Что касается потери корней, то в учебнике А.Г. Мордковича выделяются следующие  причины этого:

1. деление обеих частей уравнения на одно и то же выражение h(x) (кроме случаев, когда точно известно, что всюду в области определения );
2. сужение ОДЗ в процессе решения уравнения.

     После чего автор дает некий совет ученикам: применяя при решении уравнения  какую-либо формулу, следите за тем, чтобы ОДЗ переменной для правой и левой частей формулы были одинаковыми. Так, выделенные причины играют важную роль в теме, т.к., зная их, ученики  могут избежать потери корней при  решении уравнений.

     Кроме того, в учебнике А.Г. Мордковича сформулированы теоремы о равносильности уравнений.

     Теорема 1. Если какой-либо член уравнения перенести из одной части уравнения в другую с противоположным знаком, то получится уравнение, равносильное данному.

     Теорема 2. Если обе части уравнения возвести в одну и ту же нечетную степень, то получится уравнение, равносильное данному.

     Теорема 3. Показательное уравнение равносильно уравнению .

     Эти теоремы, как говорит А. Г. Мордкович, «спокойные», т.е. гарантируют равносильность преобразований. Следующие три теоремы  – «беспокойные», т.к. работают лишь при определенных условиях.

     Теорема 4. Если обе части уравнения умножить на одно и то же выражение h(x), которое: