Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     равносильное  исходному. Это уравнение, а значит, и равносильное ему исходное уравнение  имеют единственный корень – 9.

     Ответ: - 9.

     § 8. Уравнения-следствия.

     8.1 Понятие уравнения-следствия. 

     Определение 1. Пусть даны уравнения и . Если любой корень первого уравнения является корнем второго уравнения, то второе уравнение называют следствием первого.

     В частности, если первое уравнение не имеет корней, то любое второе уравнение  является его следствием.

     Например, уравнения  . Первое уравнение имеет только один корень – число 1, которое является корнем второго уравнения, поэтому уравнение есть следствие уравнения . Но уравнение имеет еще один корень – число -1, которое не является корнем уравнения . Поэтому уравнения не являются равносильными.

     Определение 2. Замену уравнения другим уравнением, которое является его следствием, называют переходом к уравнению-следствию.

     При переходе к уравнению-следствию  возможно появление корней, не являющихся корнями исходного уравнения, т.е. возможно появление корней, посторонних для данного уравнения.

     В то же время при переходе к уравнению-следствию  невозможно потерять корни исходного  уравнения.

     Таким образом, если при решении данного  уравнения совершен переход к  уравнению-следствию, то необходимо проверить, все ли корни уравнения-следствия  являются корнями исходного уравнения. Проверка полученных корней является обязательной частью решения уравнения.

     Определение 3. Замену уравнения – фиксированное положительное число) уравнением называют потенцированием логарифмического уравнения.

     Определение 4. Замену уравнения уравнением f(x)=0 называют освобождением уравнения от знаменателя.

     Определение 5. Замену разности f(x)-f(x) нулем называют приведением подобных членов.

     Преобразования, приводящие к уравнению-следствию:

1. Возведение уравнения в четную степень.

     Пусть 2m – фиксированное четное натуральное число. Тогда следствием уравнения является уравнение .

     Это утверждение часто применяется  при решении иррациональных уравнений.

     Например, при возведении уравнения  в четвертую степень получается уравнение-следствие x²=1, имеющее корень –1, посторонний для исходного уравнения.

2. Потенцирование логарифмического уравнения .

     Пусть a – данное число . Тогда следствием уравнения

          (1)

       является уравнение 

      .     (2)

     Доказательство: Пусть число x₀ – некоторый корень уравнения (1), т.е. пусть существуют числа и , для которых справедливо числовое равенство = . Но если логарифмы двух чисел равны, то равны и сами числа, т.е. справедливо числовое равенство . Значит, число x₀ является корнем уравнения (2). Такое рассуждение можно провести для любого корня уравнения (1), следовательно, любой корень уравнения (1) является корнем уравнения (2), т.е. уравнение (2) является следствием уравнения (1).

     Если  уравнение (1) не имеет корней, то уравнение (2) есть следствие уравнения (1). Утверждение  доказано.

3. Освобождение уравнения от знаменателя.

     Следствием  уравнения  является уравнение f(x)=0.

4. Приведение подобных членов.

     Следствием  уравнения  является уравнение f(x)=0.

     Замечание. Применение формул также может привести к уравнению-следствию.

5. Применение формул.

     Пусть дана некоторая формула, у которой  левая часть определена в каждой точке множества M₁, а правая часть – в каждой точке множества M₂, причем, . Тогда если при решении уравнения применить эту формулу так, что ее левую часть заменить правой, то получится уравнение-следствие исходного.

     Кроме появления посторонних корней может  произойти потеря корней. Существуют преобразования, которые приводят к потере корней исходного уравнения. 

     § 10. Равносильность уравнений на множествах.

     10.1 Основные понятия. 

     Определение 1. Пусть даны два уравнения и – и пусть дано некоторое множество чисел M. Если любой корень первого уравнения, принадлежащий множеству M, является корнем второго уравнения, а любой корень второго уравнения, принадлежащий множеству M, является корнем первого уравнения, то такие уравнения называю равносильными на множестве M. При этом если каждое из этих уравнений не имеет корней на множестве M, то такие уравнения равносильны на множестве M.

     Определение 2. Замену одного уравнения другим уравнением, равносильным ему на множестве M, называют равносильным переходом на множестве M от одного уравнения к другому или равносильным на множестве M равносильным преобразованием уравнения.

     Например, уравнения  . Как уже отмечалось, эти уравнения не равносильны на множестве всех действительных чисел. Но эти уравнения равносильны на множестве всех неотрицательных действительных чисел, т.к. на этом множестве они имеют только один корень – число 1.

     Основные  преобразования уравнений, приводящие исходное уравнение к уравнению, равносильному ему  на некотором множестве  чисел:

1. Возведение уравнения f(x)=g(x) в четную степень 2m ( ) приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором обе функции f и g неотрицательны.

     Пусть 2m – натуральное четное число ( ) и пусть в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) неотрицательны, тогда на этом множестве равносильны уравнения f(x)=g(x) и .

     Возведение  в четную степень можно применять  и при решении уравнений, содержащих модуль.

2. Умножение (или деление) обеих частей уравнения на функцию приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором функция определена и отлична от нуля.

     Пусть в каждой точке множества M функция определена и отлична от нуля. Тогда на множестве M равносильны уравнения

     f(x)=g(x)      (1)

     и

      .     (2)

     Доказательство: Пусть x₀ – любой корень уравнения (1), принадлежащий множеству M, тогда существуют числа и справедливо равенство

      .     (3)

     Т.к. в каждой точке множества M функция определена и отлична от нуля, то существует число , поэтому, умножив числовое равенство (3) на число , получим, что справедливо числовое равенство

      .    (4)

     Равенство (4) означает, что число x₀ является корнем уравнения (2). Следовательно, любой корень уравнения (1), принадлежащий множеству M, является корнем уравнения (2).

     Покажем обратное. Пусть  – любой корень уравнения (2), принадлежащий множеству M, тогда существуют числа и (причем ) и справедливо числовое равенство

      .    (5)

     Т.к. число  отлично от нуля, то, разделив числовое равенство (5) на число , получим, что справедливо числовое равенство , означающее, что число x₁ является корнем уравнения (1). Следовательно, любой корень уравнения (2), принадлежащий множеству M, является корнем уравнения (1).

     Из  доказанного следует, что если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) имеет корень, принадлежащий множеству M, то эти уравнения равносильны на множестве M.

     Причем  если хотя бы одно из уравнений (1) и (2) не имеет корней, принадлежащих множеству  M, то эти уравнения равносильны на множестве M.

3. Потенцирование логарифмического уравнения

       

     приводит  к уравнению f(x)=g(x), равносильному исходному на том множестве M, на котором обе функции f и g положительны.

     Пусть фиксированное число a таково, что , и пусть в каждой точке множества M обе функции f(x) и g(x) положительны. Тогда на множестве M равносильны уравнения и f(x)=g(x).

4. Приведение подобных членов приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве , на котором определена функция , т.е. на области существования функции .

     Пусть в каждой точке множества M определена функция . Тогда на множестве M равносильны уравнения и f(x)=0.

5. Применение некоторых формул приводит к уравнению, равносильному исходному на том множестве M, на котором определены обе части применяемой формулы.

     Пусть в каждой точке множества M определены обе части некоторой формулы. Тогда, применив эту формулу при решении уравнения, получим уравнение, равносильное на множестве M исходному уравнению. 
 
 

§2.1 Сравнительный анализ учебников, предназначенных для общеобразовательных учреждений (базовый уровень). 

     

1. Анализ  теоретического материала.

     Рассмотрим  учебники 9 – 11 классов авторов Ш.А. Алимов и др., А.Г. Мордкович и С.М. Никольский и др.

     Отметим некоторую особенность. В учебнике автора А.Г. Мордковича для 9 класса изучаются  системы уравнений, где рассматриваются  уравнения с двумя переменными.

     Так как учебник для 9 класса рассматривается  только один (Ш.А. Алимов и др.), приступим  к анализу теоретического материала, представленного в нем.

     Понятие уравнения связано с понятием многочлен. Изучению многочленов посвящен первый параграф учебника. Здесь вводятся понятия старший член, свободный  член и степень многочлена, многочлен  нулевой степени. Кроме того, рассматривается  деление многочленов как нацело, так и с остатком. Для этого  в учебнике выделен алгоритм деления  многочленов уголком и формулы  деления многочленов нацело и  с остатком. Применение алгоритма  и формулы иллюстрируется на примерах.

     Вводится определение алгебраического уравнения степени n:

     Алгебраическим  уравнением степени  n называется уравнение

     P_n(x) = 0,     

     где P_n(x) – многочлен степени n ≥ 1.

     Определение формально-логическое, строгое, дано через  род и видовое отличие. Род  – уравнение, видовое отличие - P_n(x) – многочлен степени n ≥ 1.

     Говорится о том, что корень этого уравнения  называют нулем многочлена .

     Ниже  формулируется утверждение: если x₁ – корень уравнения, то многочлен P_n(x) делится нацело на . Вообще это утверждение является следствием из теоремы Безу. Здесь это ученикам не сообщается. Этот факт никак не выделен в тексте параграфа и доказательство его учащимся не представлено. В общеобразовательном классе это необязательно.

     Далее в виде теоремы представлено еще  одно следствие из теоремы Безу: если уравнение a₀xⁿ + a₁x^n-1 + … +a_n-1x + a_n = 0 с целыми коэффициентами a₀,  a₁, …a_n-1, a_n, где a_n ≠ 0, имеет целый корень, то этот корень является делителем числа a_n.

     Данная  теорема сформулирована в условной форме и имеет доказательство. Доказательство не сложное, основано на определении корня уравнения, поэтому  учащиеся готовы к такому доказательству, возможно даже проведут его самостоятельно. По окончании доказательства подводится итог: целые корни алгебраического  уравнения с целыми коэффициентами (если такие есть) нужно искать только среди делителей свободного члена  этого уравнения.