Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     Несмотря  на то, что учебник предназначен для общеобразовательных учреждений, далее формулируется теорема  из высшей алгебры: на множестве комплексных чисел любое алгебраическое уравнение имеет хотя бы один корень. Теорема приведена без доказательства и сформулирована в категоричной форме. Возникает вопрос об уместности этой теоремы в данный момент, т.к. ученики еще не знакомы с комплексными числами.

     Кроме алгебраических уравнений в учебнике Ш.А. Алимова и др. рассматриваются  и уравнения, сводящиеся к алгебраическим – рациональные уравнения. Их изучению посвящен отдельный параграф. Как  и в случае с введением понятия  алгебраического уравнения, знакомство с рациональными уравнениями  начинается с приведения примеров. Затем говорится, что такое уравнение  называется рациональным, т.к. его членами являются рациональные алгебраические дроби, у которых числителями и знаменателями являются многочлены.

     Ниже  выделен алгоритм решения рационального  уравнения, состоящий из нескольких этапов:

1. умножить уравнение на общий знаменатель дробей, входящих в это уравнение;
2. свести полученное уравнение к алгебраическому и решить его;
3. проверить, при каких найденных значениях неизвестного знаменатели дробей, входящих в уравнение, не равны нулю.

     Алгоритм  решения можно выделить в процессе решения какого-либо рационального  уравнения, где напротив каждого  действия написать соответствующий  этап решения. Так перед учениками  будет не только выделенный алгоритм, но и его применение.

     Также в учебнике в списке упражнений для  повторения отдельно выделены задачи на составление уравнений и приведены  варианты контрольных работ, содержащих задания типа «решить уравнение». Данный материал помогает учителю сориентироваться в теме, в составлении контрольных  работ. Кроме того, в конце учебника сформулированы краткие теоретические сведения по курсу алгебры VII –IX классов (систематизация и обобщение имеющихся знаний), снабженные примерами и представляющие собой основные определения и положения по теме уравнения:

     Уравнение с одним неизвестным – равенство, содержащее неизвестное число, обозначенное буквой.

     Корень  уравнения – значение неизвестного, при котором уравнение обращается в верное равенство.

     Решить  уравнение – значит найти все его корни или установить, что их нет.

     Основные  свойства уравнений:

1. Любой член уравнения можно перенести из одной части в другую, изменив его знак на противоположный.
2. Обе части уравнения можно умножить  или разделить на одно и то же число, не равное нулю.

     Квадратное  уравнение – уравнение ax² + bx + c = 0, где a,b,c – заданные числа, причем a ≠ 0, x – неизвестное число.

     Коэффициенты  квадратного уравнения называют так: a – первый или старший коэффициент, b – второй коэффициент, c – свободный член.

     Неполное  квадратное уравнение – квадратное уравнение ax² + bx + c = 0, у которого хотя бы один из коэффициентов b или c равен нулю.

     Формула корней квадратного  уравнения:

     

     Приведенное квадратное уравнение – уравнение вида

     x² + px + q = 0.

     Формула корней приведенного квадратного уравнения:

      .

     Всем  понятиям даны формально-логические определения, которые подтверждаются примерами. Вообще говоря, эти теоретические  положения и составляют ядро темы «Уравнения», они являются теоретическим  базисом темы. Их должны знать все  ученики без исключения.

     Теорема Виета. Сумма корней приведенного квадратного уравнения равна второму коэффициенту, взятому с противоположным знаком, и их произведение равно свободному члену.

     Таким образом, если x₁ и x₂ – корни уравнения x² + px + q=0, то .

     Теорема, обратная теореме  Виета. Если числа p, q, x₁, x₂ таковы, что x₁ + x₂ = - p, x₁x₂ = q, то x₁ и x₂ – корни уравнения x² + px + q = 0.

     Эти теоремы очень важны и имеют  широкое практическое применение. Они  являются еще одним методом (кроме  представленных выше формул) нахождения корней квадратного уравнения через  коэффициенты этого уравнения и  являют собой наиболее быстрый способ решения уравнений.

     Основной  материал, связанный с уравнениями  высших степеней, изложен в первых трех параграфах. Понятий в тексте немного, всем из них даны формально-логические определения. Содержание понятий дополняют  алгоритм деления многочленов и  алгоритм решения рационального  уравнения, формулы деления многочленов  нацело и с остатком, теорема, которая  в свою очередь тоже является одним из способов решения уравнений, и теорема из высшей алгебры. Доказательство теоремы о целом корне уравнения проведено синтетически и основано на определении корня уравнения и его целочисленности. В качестве дополнительного материала здесь выступает пункт «Из истории решения алгебраических уравнений» (где и формулируется основная теорема высшей алгебры).

     Перейдем  теперь непосредственно к сравнительному анализу теоретического материала  в учебниках 10 – 11 классов. Здесь  рассмотрим учебники всех представленных авторов.

     В учебнике С.М. Никольского и др. в  отличие от учебников других авторов  одновременно представлен как материал для профильных классов, так и  для общеобразовательных. Рассмотрим информацию, касающуюся уравнений для  общеобразовательных классов. Здесь  сначала излагается материал относительно многочленов, алгебраических дробей и  только потом переходят к уравнениям. В остальных учебниках изучение темы «Уравнения» начинается с основных определений. Поэтому рассмотрим сначала  учебник С.М. Никольского и др.

     Т.к. рациональные уравнения связаны  с рациональными выражениями, то параграф «Рациональные уравнения» начинается с пункта «Рациональные  выражения». Здесь вводятся понятия  одночлена и многочлена. Определения  описательные: многочлен – сумма  нескольких одночленов; оно понятное, простое, подкреплено примерами, поэтому  не требует отработки по полной схеме. Далее формулируется определение  нулевого многочлена: многочлен называют нулевым, если он после приведения подобных членов превращается в число нуль.

     Ниже  вводятся обозначения многочленов, говорится, что сумма, разность и  произведение многочленов тоже многочлен. Утверждение это в тексте учебника не выделено, хотя является очень важным.

     Кроме того, авторы акцентируют внимание учащихся на том, что разложение многочлена на множители бывает необходимо при  решении уравнений и других задач. Ниже приводятся формулы сокращенного умножения: квадрат и куб суммы  и разности, разность квадратов и  разность и сумма кубов. Их использование  экономит время при решении уравнений  и упрощает вычисления.

     Рассматривается также частное двух многочленов. Формулируется определение алгебраической дроби. Определение вводится как  частное от деления одного многочлена на другой ненулевой многочлен.

     После рассмотрения правил многочленов делается вывод о том, что любой многочлен  можно рассматривать как алгебраическую дробь.

     Ниже, как и для многочленов, приводятся правила сложения, вычитания, умножения  и деления алгебраических дробей. Они перечисляются.

     После изучения многочленов и алгебраических дробей авторы переходят к изучению рациональных выражений.

     Рациональным  выражением называют выражение, в котором несколько алгебраических дробей соединено знаками арифметических действий, причем это выражение не содержит деления на нулевой многочлен.

     Определение формально-логическое, дано через род  и видовые отличия. Учащимся такая  формулировка доступна и понятна.

     Далее вводится понятие многочлен от одной  переменой. Четкого определения  этого понятия не сформулировано. На основе этого определения переходят  к понятию симметрического многочлена: многочлен от нескольких переменных называется симметрическим многочленом, если его вид не изменяется при любой перестановке этих переменных. Определение строгое, формально-логическое. Для лучшего осознания определения приведены примеры симметрических и несимметрических многочленов.

     Ниже  формулируется утверждение о  том, что любой симметрический многочлен  от двух переменных x и y представим в виде многочлена от двух симметрических многочленов . Такое представление иногда необходимо при решении уравнений. Эти формулы даются учащимся в готовом виде, не выводятся и не доказываются.

     Наряду  с рассмотренными формулами сокращенного умножения представлены также формулы  для любого натурального n (n ≥ 2), которые можно получить с помощью бинома Ньютона, а для нахождения коэффициентов в этих формулах применяют треугольник Паскаля. Этот способ ученикам подробно объясняется в тексте параграфа. Также приводится общая формула: или , где (число сочетаний из n по k) – биномиальные коэффициенты. Кроме этих формул приводятся еще две: и . Все приведенные формулы имеют доказательство. Метод доказательства – метод математической индукции. Метод для учеников не нов. Одну формулу можно доказать учителю совместно с учащимися, остальные оставить на самостоятельное изучение, т.к. доказательства проводятся аналогично.

     После изучения многочленов учащимся предоставляется  теоретический материал касательно рациональных уравнений. Ему отведен  отдельный пункт этого параграфа. Таким образом, вся та информация, изученная учениками непосредственно  перед уравнениями, была подготовительной почвой для изучения данного материала, четко прослеживается последовательность изучения: многочлен – алгебраические дроби – уравнения.

     Изучение  уравнений в 10 классе в учебнике С.М. Никольский и др. представляет собой  список определений, являющихся одними из основных: рациональное уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение. Такие определения в  учебниках для 10 классов других авторов  не формулируются, т.к. были введены  авторами ранее.

     Кроме того, в учебнике авторов С.М. Никольский и др. вводится понятие равносильных уравнений. Определения этому понятию  как такового не дается, говорится лишь, что это уравнение, имеющее те же корни, что и предшествующее (исходное). Определение в тексте учебника не выделено.

     Далее формулируется определение распадающегося уравнения: уравнение вида A(x)B(x) = 0, где A(x) и B(x) – многочлены относительно x, называют распадающимся уравнением.

     Такое понятие не вводится в учебниках  других рассматриваемых авторов.

     Ниже  говорится, что множество всех корней распадающегося уравнения есть объединение  множеств всех корней двух уравнений  A(x) = 0 и B(x) = 0.

     Далее представлены правила решения уравнений  конкретного вида:

• для уравнений вида где A(x) и B(x) – многочлены относительно x: находят корни уравнения A(x) = 0, затем проверяют, какие из них обращают в нуль и какие не обращают в нуль знаменатель B(x), и являются корнями уравнения данного уравнения, и других корней это уравнение не имеет;
• для уравнений вида где A(x), B(x), C(x), D(x) – многочлены относительно x: переносят все члены уравнения в одну сторону , затем, пользуясь правилом вычитания алгебраических дробей, переписывают полученное уравнение в виде . Решают уравнение и отбирают из его корней те, которые не обращают в нуль знаменатель уравнения. Они и только они будут корнями данного уравнения.

     После введенных определений и правил, для более глубокого изучения авторами предлагаются примеры (решения  представлены) на закрепление. Затем  делается некий вывод о том, что  часто для решения рациональных уравнений нужно производить  замену переменной или .

     Вводится  понятие возвратного уравнения, но четкой формулировки не дается. Выделяется лишь характерная особенность –  совпадение коэффициентов при слагаемых, сумма степеней которых равна  степени многочлена.

     На  этом заканчивается изучение уравнений  в учебнике С.М. Никольского и  др. для 10 класса общеобразовательных  учреждений.

     Материал  учебника 11 класса этих авторов перекликается  с теорией учебников других авторов  по теме «Уравнения», поэтому с этого  момента анализ теоретического материала  можно проводить одновременно по нескольким учебникам.