Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     Стимулирование  долга и ответственности: общественная значимость учения; личностная значимость учения; предъявление учебных требований; поощрение; порицание.

• Методы контроля и самоконтроля.

     «Повторение – мать учения» гласит народная пословица, поэтому каждый новый  факт должен быть закреплен, понят и  усвоен учеником. Насколько прочны знания учитель судит по ответам  учеников. Кроме хорошо известного метода устного опроса существуют и  такие: письменный, лабораторный, машинный контроль (контролирующие программы  на ЭВМ), взаимоконтроль, самоконтроль, зачет.

     Наиболее  быструю обратную связь дает устный опрос, забирающий большой промежуток времени, полную информацию дает письменный контроль, однако он запаздывает по времени. Математический диктант позволяет  учителю получить наиболее своевременную  и полную информацию о подготовленности учеников. Методика проведении математического  диктанта: несколько вопросов, включающих основные вопросы темы, либо основные учебные умения и навыки; после  каждого вопроса ученикам дается время на запись ответа. Например, в 9-от классе после изучения темы «Арифметический  корень» может быть предложен  диктант такого содержания:

     Записать  определения арифметического корня  из числа а.

     Записать  свойство, связанное с извлечением  корня:

     а) из произведения; б) из корня.

     3. Упростить следующие выражения:

       

     Кроме перечисленных форм контроля каждый из них может носить текущий, промежуточный, итоговый характер.

     Основная  «идея» работы учителя Романа Григорьевича Хазанкина (СШ №14, г. Белорецк, Башкирия) состоит в структуре обучения, при котором учащиеся сами творят урок. Непременное условие успешного овладения знаниями – логическое мышление, которое формируется не вдруг и для каждого ученика индивидуально. Беда наших уроков в том, что следует выполнять все, что «намечено», ответы должны быть «сиюминутными»; на размышления времени нет, а следовательно создается подбор типовых задач и стандартных ответов, результат которого – «натаскивание» школьников. Развитие логического мышления требует время на его развитие через решение задач на обобщение и анализирование; ученик должен иметь время на изучение вариантов построения контрпримеров, составление задач не только по подобию, но и таких, которые возникают при изучении какой-либо теоремы, правила. (М. в школе, №4, 1987 г.).

     Зачетный  урок – урок индивидуальной работы; возможность организовать шефство  старших классов над младшими. В частности, после повторения старшеклассниками  зачетной теме для младшего класса, они подготавливают зачетную карточку для приема зачета. На зачет отводится 2 урока: на первом – подготовка, на втором – ответ (зачет). 
 
 
 

     §2.2 Общие методы обучения математике 

• Сравнение и аналогия.

     Сравнение – выявление сходства и различия сравниваемых предметов. Например, 1) треугольник и четырехугольник общим имеют соответствие числа сторон числу углов; отличие в их количестве; 2) алгебраические и обыкновенные дроби: общее – не имеют смысла при нулевом знаменателе; наличие числителя и знаменателя; различие – в природе числителей и знаменателей.

     Сравнение приводит к правильному выводу, если выполняются следующие условия:

     1) сравниваемые понятия однородны;

      2) сравнение осуществляется по  таким признакам, которые имеют  для них существенное значение.

     Иначе говоря, основные требования к сравнению: иметь смысл; планомерно; полно.

     Сравнение – почва для аналогии (греческое – соответствие, сходство), которая осуществляется по схеме:

     А обладает свойствами a, b, c, d

     В обладает свойствами a, b, c

     Вероятно  В обладает и свойством d.

     Заключение  по аналогии правдоподобно, но не достоверно, поэтому аналогия не является доказательным  рассуждением.

     Часто та или иная последовательность в  изучении учебного материала обосновывается возможностью использования аналогии в обучении:

     1) натуральные числа и десятичные  дроби; 2) если a||b и a^b, то b^c – теорема на плоскости и в пространстве. Когда будет верным обратное утверждение: a^b и b^c Þ a||b

     Недостаток  в нашей практике обучения – мы не учим ребят опровержению. В качестве опровержения обратному утверждению  пространстве может служить пример (см. рисунок). 

       
 
 

     

       
 
 

     Поиск сходства – путь к плодотворным рассуждениям по аналогии. Например, треугольник  и тетраэдр имеют сходство минимальности  линий на плоскости и плоскостей в пространстве; биссектрисы треугольника пересекаются в центре вписанной в него окружности и биссекторные плоскости двугранных углов тетраэдра пересекаются в центре вписанного в него шара.

     Следует различать полезную и вредную аналогии.

Полезная  аналогия: прямоугольник – прямоугольный параллелепипед;

окружность –  сфера;

прямая на плоскости  – плоскость в пространстве.

Вредная аналогия: - "аналогия" с основным свойством дроби;

- "аналогия" с извлечением  корня из произведения

 

• Обобщение и абстрагирование.

     Обобщение – мысленное выделение, фиксирование каких-нибудь общих существенных свойств, принадлежащих только данному классу предметов или отношений.

     Абстрагирование – это мысленное отвлечение, отделение общих, существенных свойств, выделенных в результате обобщения, от прочих несущественных (с математической точки зрения) или не общих свойств рассматриваемых предметов или отношений и отбрасывание.

     Абстрагирование не может осуществляться без обобщения, без выделения того общего, существенного, что подлежит абстрагированию. Абстрагирование  и обобщение неизменно применяются  в процессе формирования понятий, при  переходе от представлений к понятиям и, вместе с индукцией, как эвристический  метод.

     Под обобщением понимают также переход  от единичного к общему, от менее  общего к более общему.

     Примеры:

     1) обобщения.

       Изучение формулы n-го члена  арифметической прогрессии начинается  с рассмотрения конкретных примеров  на вычисление различных членов  арифметической прогрессии по  заданному первому ее члену  и разности. При проведении этих  вычислений учащиеся используют  равенства: 

     Естественно возникает полезное обобщение этих равенств в одной форму

      .

     2) абстрагирования:

     1) параллельные прямые (линии электрических  передач; линии тротуара; кромка  проезжей части);

     2)  скрещивающиеся прямые (определение и отыскание их в окружающей нас действительности).

• Анализ и синтез

     Анализ  – логический прием, метод исследования, состоящий в том, что изучаемый объект мысленно расчленяется на составные элементы, каждый из которых исследуется в отдельности как часть расчлененного целого. Анализ – это рассуждение от неизвестного к известному (аналитическое рассуждение). Ведущий вопрос: что надо знать, чтобы ответить на поставленный вопрос?

     Синтез  – логический прием, с помощью которого отдельные элементы соединяются в целое. Синтетические рассуждения – это путь от данного к искомому. Ведущий вопрос: что можно узнать по данным условиям?

     Анализ  и синтез выступают в самых  разнообразных формах: как методы решения задач, доказательства теорем, изучение свойств математических понятий  и т.д.

     Первоначально анализ и синтез воспринимали как  методы мышления: анализ – от целого к частям целого; синтез – от частей к целому; затем как прием мышления: анализ – от следствия приходят к причине, породившей это следствие; синтез – от причины переходят  к следствию, порожденному этой причиной. Это иллюстрирует арифметическое и  алгебраическое решение задачи: «Маше  и Тане вместе 12 лет. Тане – 5 лет. Сколько  лет Маше?»

     анализ: 12-5=7

     синтез: х+5=12, х=12-5; х=7.

     С точки зрения психологии, процесс  мышления – это прежде всего анализирование и синтезирование того, что выделено анализом.

     Рассмотрим  анализ и синтез как методы изучения математики.

     I а) Аналитические и синтетические методы доказательства теорем и неравенств.

     Аналитический метод доказательства: исходным пунктом для обоснования требуемого утверждения является само это утверждение, которое путем логически обоснованных шагов сводится к утверждению, известному, как истинное.

     Синтетический метод доказательства: отыскиваются такие истинные утверждения, которые можно было бы путем логически обоснованных шагов преобразовать в данное утверждение. Для него характерным является описание того, что делается, но не объясняется, почему берется в качестве исходного то или иное утверждение. Вот почему доказательство большинства теорем в геометрии не понятны ученика, т.к. они являются синтетическим рассуждением. Преодолеть это затруднение возможно при предварительном анализе условий и заключения теоремы, т.е. теорему следует воспринимать как обычную задачу.

     Пример. Доказать, что сумма внутренних углов в треугольнике равна 180⁰.

       
 
 
 
 
 

     Аналитический путь: 180⁰–величина развернутого угла, значит, достаточно показать, что при угле любого треугольника «вложатся» в развернутый угол: строим развернутый угол при вершине M:

      ; 2-есть; 5= 1; 4= 3; т.к. 5+ 2+ 4=180⁰ 1+ 2+ 3=180⁰ ч.т.д.

     Синтетический путь: проводим CK||AB;  

      5= 1; 4= 3 5+ 2+ 4=180⁰ 1+ 2+ 3=180⁰ ч.т.д 

     Пример. Доказать неравенство: , где . 

           

      

     Используя аналитический метод, учащийся действует  сознательно и убежденно, т.к. он знает с чего начать. Но аналитический  метод доказательства не всегда правомерен. Покажем это на примере простого софизма.

     Пример: Доказать, что 3= -3.

     Док-во: Пусть 3=-3 3²=(-3)² – возвели почленно в квадрат 9=9 и получили истинное утверждение, значит, и исходное (требуемое) утверждение верно (!?).

     II. б) Восходящий анализ:

     Дано: Окружность; CD, AB – хорды, AB CD=M.

     Доказать: AM∙MB=CM∙MD.

      Док-во: не известно, верно ли доказываемое равенство, но если получим пропорцию: , будем иметь подобия треугольников: AMD~ CMB. А это возможно в случае равенства соответствующих углов: 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

      1= 2, т.е. BCD= BAD – как вписанные;

      3= 4, т.е. ADC= ABC – как вписанные.

     Восходящий  анализ проиллюстрировал процесс сведения задачи к подзадачам.

     Идея  этого метода: для того чтобы А  было верно, достаточно, чтобы было верно В и так далее.