Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

     Преимущество  этого метода в процессе изучения математики:

     а) восходящий анализ обеспечивает сознательное и самостоятельное отыскание  метода доказательства теоремы самими учащимися;

     б) способствует развитию логического мышления;

     в) обеспечивает осознанность, целенаправленность действий на каждом этапе доказательства;

     г) схема метода проста: что требуется доказать? Что для этого достаточно доказать?

     III. в) Нисходящий анализ.

     Задача. Доказать, что квадрат медианы, проведенной к катеты прямоугольного треугольника, сложенный с утроенным квадратом половины этого катета, равен квадрату гипотенузы.

     Дано: ABC, C=90⁰, BM – медиана: AM=MC

                                                            Доказать:

(1)

     Док-во: рассмотрим BCM. Он прямоугольный, тогда: (2) в уравнение (1):

      (3) (4). 

     Получили  второе неравенство. Но сказать, что  этим самым задача решена, неверно. Нисходящий анализ приводит к синтетическому рассуждению. Для получения логического  доказательства необходимо провести все  рассуждения в обратном порядке.

     IV г) Анализ и синтез при решении геометрических задач на построение.

     Пример. Построить прямоугольный треугольник по гипотенузе С и радиусу r вписанной в него окружности.

     Анализ. Пусть задача решена сделаем эскиз.

      ABC построим, если построим  AOB;

      AOB построим, зная AB=C, OK=h и  AOB.

      AOB=180⁰-( A+ B)/2=180⁰-45⁰=135⁰.

     треугольник по данным С, AOB, h построить можем.

     Синтез: Строим ABC, начиная с построения AOB по данным С, AOB, h.

     Задача. Построить четырехугольник, если даны все его четыре стороны и известно, что одна из диагоналей делит один из углов пополам.

Анализ. Пусть  задача решена, сделаем эскиз.

Поиск проведем через синтез, т.е. исходя из того, что  нам известно: BAC= CAD строим D₁, симметричную D относительно AC, тогда СD₁=СD D₁BC можно построить по трем сторонам, если AB=a; BC=b; CD=c; AD=d BC=b; D₁C=c; D₁B=a-d. 

     V. д) Анализ и синтез при решении текстовых задач.

     Задача. Длина прямоугольного параллелепипеда 8м, ширина 6м, а высота 12 м. найдите сумму площадей его наибольшей и наименьшей граней.

     Данная  задача – арифметическая. Проанализируем ее. Что надо знать для того, чтобы  найти требуемую сумму? – ТК она  является прямоугольником, то достаточно знать его ширину и длину. Можем  ли мы найти искомые площади?–  Наименьшая грань – 6м и 8м, наибольшая грань – 8м и 12 м. Синтез в задаче – ее решение: 6∙8+8∙12=8∙18=144

     Ответ: 144 м².

     Задача. В двух мешках вместе находится 140 кг муки. Если из первого мешка переложить во второй 12,5 % муки, находящейся в первом мешке, то в обоих мешках будет одинаковое количество муки. Сколько килограммов муки в каждом мешке?

     При решении задач алгебраическим методом. Составление уравнения – анализ, решение полученной математической модели – синтез.

       

х-0,125х=(140-х)+0,125х; 1,75х=140; х=80кг;

140-х=60 (кг)

Ответ: 80кг; 60кг.

     Наиболее  распространенный метод – аналитико-синтетический.

• Индукция

     Переход от частного к общему, от единичных  фактов, установленных с помощью  наблюдения и опыта, к обобщениям является закономерностью познания. Неотъемлемой логической формой такого перехода является индукция, представляющая собой метод рассуждений от частного к общему, вывод заключения из частных посылок (с латинского: induction – наведение).

     Использование этого метода рассуждений для  получения новых знаний в процессе обучения называют индуктивным методом обучения.

     Индукция  имеет три значения:

     вид умозаключения: , , 20 и 30 оканчиваются цифрой ноль число, оканчивающиеся нулем, делятся на 10 (истинно); 

       

     метод исследования: поиск формулы простого числа: , , и т.д., – простые числа, однако – число составное;

     метод обучения: знакомя учащихся с понятием о высоте треугольника, учитель чертит на доске остроугольный прямоугольный, тупоугольный треугольники и в каждом из них проводит высоту. Из рассмотрения этих чертежей учащиеся приходят к выводу, что если углы прилежащие к основанию треугольника, острые то высота пересекается с основанием, а если один из двух углов, прилежащих к основанию треугольника, тупой, то высота пересекается с продолжением этого основания.

     Различают два основных вида индуктивных умозаключений: неполную и полную индукции.

     Полной  индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении всех единичных и частных суждений (случаев), относящихся к рассматриваемой ситуации.

     Единичные суждения:

• окружность может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
• эллипс может пересекаться с прямой не более чем в двух точках;
• парабола может пересекаться с прямой не более чем в двух точках.

     Частные суждения:

• Эллипс (в частности, окружность), парабола представляют собой виды конических сечений, образуя множество кривых второго порядка.
• На основании этих суждений получаем новое: кривые второго порядка могут пересекаться с прямой не более чем в двух точках (истинное).
• Если число случаев конечно и все они рассмотрены, то вывод, сделанный посредством полной индукции можно считать обоснованным.

     Например:

     от 1 до 10 четыре простых числа;

     описать все возможные решения уравнения  х²=а: а<0, a=0, a>0.

     Таким образом, заключение, основанное на полной индукции, является в полнее достоверным  и она может использоваться как  метод строгого научного доказательства (теорема о величине вычисленного угла; «доказать, что запись квадрата числа натурального не может оканчиваться цифрой 7»).

     Неполная  индукция (как метод исследования) – индукция, при которой не исчерпываются все частные случаи, относящиеся к данной ситуации.

     С точки зрения логики неполной индукцией называется умозаключение, основанное на рассмотрении одного или нескольких (но не всех) единичных или частных суждений, относящихся к рассматриваемому понятию (или системе понятий).

     В процессе обучения неполная индукция проявляется, например, при изучении переместительного закона сложения, который ведется по схеме: 5+2=2+5, значит: a+b=b+a.

     В процессе обучения методом неполной индукции не следует пренебрегать, т.к. 1) реализуется принцип обучения «от простого к сложному»; 2) изучение новых абстрактных понятий и  суждений проходит естественным путем  через опыт и наблюдение, через  восприятие и представления; 3) обучает  математической деятельности.

• Дедукция

     Дедукция (от латинского deductio – выведение) в широком смысле представляет собой форму мышления, состоящую в том, что новое предложение (а точнее, выраженная в нем мысль) выводится чисто логическим путем, т.е. по определенным правилам логического вывода (следования) из некоторых известных предложений (мыслей).

     Дедукция  есть форма умозаключения, при которой от одного общего суждения и одного частного суждения получают новое, менее общее или частное суждение. Сущность дедукции состоит в том, что данный частный (индивидуальный) случай подводится под общее положение.

     Дедукция  имеет три значения:

     вид умозаключения:

      1) умозаключение от более общего  положения к менее общему (или  единичному) положению (общее суждение: НОД(a, b)=1, если a и b взаимно простые числа; частное суждение: НОД(14, 15)=1 новая частное суждение: числа 14 и 15 – взаимно простые);

     2) умозаключение от общего положения  к общему положению (все частные  числа кратны 2; все нечетные не  кратные 2 ни одно четное число не является одновременно нечетным числом); 3) умозаключение от единичного к частному: (число 3 – простое число; число 3 натуральное число некоторые натуральные числа являются простыми).

     метод исследования: для получения нового знания о некотором объекте (понятии, свойстве) находят ближайший к данному объекту (понятию) класс объектов (ближайшее родовое понятие), и применяют к этому объекту (понятию) существенные свойства этого класса объектов (признак рода). Например, изучая свойства квадрата, мы можем сначала установить то, что квадрат является ромбом. Следовательно, все свойства, имеющие место для ромба, имеют место и для квадрата (в частности, диагонали квадрата взаимно перпендикулярны).

     метод обучения. Включает: 1) обучение дедуктивным доказательствам и 2) обучение расширению дедуктивной системы включением в нее новых предложений, т.е. преобразованию совокупности предложений, полученных опытным путем, или с помощью индукции, аналогии или других эвристических приемов (методов), в систему предложений, упорядоченных отношением следования, расширяющую уже изученный фрагмент теории.

     1) под обучением доказательству  понимается обучение мыслительным  процессам поиска и построения  доказательства, а не воспроизведение  и заучиванию готовых доказательств,  т.е. учим рассуждать. Обучение  поиску и построению доказательств  направляется тремя основными  вопросами: «Что?», «Откуда?», «Как?».

     а) «Что?» – что доказывается?, каково доказываемое предложение, для которого мы ищем доказательство?, как оно  формулируется?, все ли понятно в  этой формулировке? Нельзя ли иначе  сформулировать доказываемое предложение? Что «дано»?, что «требуется» доказать? Эти вопросы связаны с изучением  доказываемого предложения, с возможным  приведением его к более удобному для выяснения условий и заключения виду («вертикальные углы равны» или: если углы вертикальные, то они равны).

     б) «Откуда?» – откуда, из каких посылок  следует (может следовать) доказываемое предложение? Из каких же известных  истинных предложений данной области (аксиом, определений, ранее доказанных теорем) можно было бы «вывести»  это предложение?

     в) «Как?» – как доказываемое предложение  получается (выводится), из ранее известных  предложений (аксиом, определений, теорем)?

     В обучении доказательству выделяются два  уровня:

     – (V–VIII классы) – используемые в доказательствах (неявно) логические средства вывода не выявляются, не разъясняются, основное внимание уделяется выяснению того, «что доказывается» и «из чего это следует», но, не «как это следует», т.е. доказательство является рассуждением с помощью которого истинность одного предложения устанавливается на основе истинности других предложений.

     – (в старших классах) – разъясняются простейшие правила вывода и на этой основе уточнено понятие доказательства.

     2) в процессе обучения (опытным  путем или с помощью эвристических  методов) открывали, что при  условии А имеет место некоторое  свойство В. в таком случае  придется доказать теорему: А→В.  Наиболее эффективным является  следующее: пусть получено некоторое  множество свойств B_i . Возникает проблема выяснения логических связей между предложениями B_i и предложением А с использованием уже известных значений. Выдвигаемый в методической литературе тезис обучения «укрепленными блоками» применительно к дедуктивно построенному фрагменту учебного материала по существу означает продвижение в теорию не единичными предложениями, а маленькими теориями, описывающими определенные ситуации, фигуры и т.п.

     Иллюстрацией  может служить свойство точек, равноудаленных от концов отрезка.

     В процессе обучения математике индукция и дедукция не выступают изолированно; они тесно переплетаются между  собой.