Математические модели

       

       Аналогично, процессы в электрическом колебательном  контуре описываются обыкновенным дифференциальным уравнением

       

где - индуктивность и емкость конденсатора; - заряд конденсатора в момент времени

       Из  этого уравнения можно получить различные оценки характеристик  процесса в колебательном контуре. Например, период характеристических колебаний

       

       Очевидно, что, введя обозначения получим обыкновенное дифференциальное уравнение второго порядка, описывающее поведение этой замкнутой системы:

       

где параметры системы; состояние системы в момент времени

       Таким образом, поведение этих двух объектов может быть исследовано на основе общей математической модели Кроме того, необходимо отметить, что поведение одной из систем может быть проанализировано с помощью другой. Например, поведение маятника (системы ) может быть изучено с помощью электрического колебательного контура ( системы ).

       Если  изучаемая система  , т.е. маятник или контур, взаимодействует с внешней средой , то появляется входное воздействие ( Внешняя сила для маятника и источник энергии для контура) и непрерывно-детерминированная модель такой системы будет иметь вид

       

       Сточки  зрения общей схемы математической модели является входным ( управляющим ) воздействием, а состояние системы в данном случае можно рассматривать как выходную характеристику, т.е. полагать, что выходная переменная совпадает с состоянием системы в данный момент времени .

2.3 Дискретно-детерминированные модели

 

       Особенности дискретно-детерминированного подхода  на этапе формализации процесса функционирования систем рассмотрим на примере использования в качестве математического аппарата теории автоматов. Теория автоматов — это раздел теоретической кибернетики, в котором изучаются математические модели — автоматы. На основе этой теории система представляется в виде автомата, перерабатывающего дискретную информацию и меняющего свои внутренние состояния лишь в допустимые моменты времени. Понятие «автомат» варьируется в зависимости от характера конкретно изучаемых систем, от принятого уровня абстракции и целесообразной степени общности.

       Автомат можно представить как некоторое  устройство (черный ящик), на которое  подаются входные сигналы и снимаются  выходные и которое может иметь некоторые внутренние состояния. Конечным автоматом называется автомат, у которого множество внутренних состояний и входных сигналов (следовательно, и множество выходных сигналов) являются конечными множествами.

       Абстрактно  конечный автомат (англ. finite automata) можно представить как математическую схему (F-схему), характеризующуюся шестью элементами: конечным множеством входных сигналов (входным алфавитом); конечным множеством выходных сигналов (выходным алфавитом); конечным множеством внутренних состояний (внутренним алфавитом или алфавитом состояний); начальным состоянием ; функцией переходов ; функцией выходов . Автомат, задаваемый F-схемой: , — функционирует в дискретном автоматном времени, моментами которого являются такты, т. е. примыкающие друг к другу равные интервалы времени, каждому из которых соответствуют постоянные значения входного и выходного сигнала и внутренние состояние. Обозначим состояние, а также входной и выходной сигналы, соответствующие -му такту при через . При этом, по условию, а

       Абстрактный конечный автомат имеет один входной  и один выходной каналы. В каждый момент дискретного времени автомат находится в определенном состоянии из множества состояний автомата, причем в начальный момент времени он всегда находится в начальном состоянии . В момент , будучи в состоянии , автомат способен воспринять на входном канале сигнал и выдать на выходном канале сигнал , переходя в состояние . Абстрактный конечный автомат реализует некоторое отображение множества слов входного алфавита на множество слов выходного алфавита . Другими словами, если на вход конечного автомата, поставленного в начальное состояние , подавать  в некоторой последовательности буквы входного алфавита , т. е. входное слово, то на выходе автомата будут последовательно появляться буквы выходного алфавита ..., образуя выходное слово.

       Таким образом, работа конечного автомата происходит по следующей схеме: в каждом -м такте на вход автомата, находящегося в состоянии , подается некоторый сигнал , на который он реагирует переходом в -м такте в новое состояние и выдачей некоторого выходного сигнала. Произнесенное выше можно описать следующими уравнениями: для -автомата первого рода, называемого также автоматом Мили,

       для автомата второго рода

       

       Автомат второго рода, для которого

       

т.е. функция  выходов не зависит от входной  переменной , называется автоматом Мура.

Таким образом, уравнение -

и , полностью задающие автомат, являются частным случаем уравнений -                             и

когда система детерминированная и на её единственный вход поступает дискретный сигнал .

       По  числу состояний различают конечные автоматы с памятью и без памяти. Автоматы с памятью имеют более  одного состояния, а автоматы без  памяти (комбинационные или логические схемы) обладают лишь одним состоянием. При этом, согласно - , работа комбинационной схемы заключается в том, что она ставит в соответствие каждому входному сигналу определенный выходной сигнал , т. е. реализует логическую функцию вида

       

.

       Эта функция называется булевой, если алфавиты X и Y, которым принадлежат значения сигналов х и у, состоят из двух букв. По характеру отсчета дискретного времени конечные автоматы делятся на синхронные и асинхронные. В синхронных F-автоматах моменты времени, в которые автомат «считывает» входные сигналы, определяются принудительно синхронизирующими сигналами. После очередного синхронизирующего сигнала с учетом «считанного» и в соответствии с уравнениями и происходит переход в новое состояние и выдача сигнала на выходе, после чего автомат может воспринимать следующее значение входного сигнала. Таким образом, реакция автомата на каждое значение входного сигнала заканчивается за один такт, длительность которого определяется интервалом между соседними синхронизирующими сигналами. Асинхронный F-автомат считывает входной сигнал непрерывно, и поэтому, реагируя на достаточно длинный входной сигнал постоянной величины х, он может, как следует из и , несколько раз изменять состояние, выдавая соответствующее число выходных сигналов, пока не перейдет в устойчивое, которое уже не может быть изменено данным входным сигналом.

2.4. Дискретно-стохастические модели

 

       В общем виде вероятностный автомат (англ. probabilistic automat) можно определить как дискретный потактный преобразователь информации с памятью, функционирование которого в каждом такте зависит только от состояния памяти в нем и может быть описано статистически. Применение схем вероятностных автоматов ( -схем) имеет важное значение для разработки методов проектирования дискретных систем, проявляющих статистически закономерное случайное поведение, для выяснения алгоритмических возможностей таких систем и обоснования границ целесообразности их использования, а также для решения задач синтеза по выбранному критерию дискретных стохастических систем, удовлетворяющих заданным ограничениям.

       Введем  математическое понятие  -автомата, используя понятия, введенные для -автомата. Рассмотрим множество , элементами которого являются всевозможные пары , где и , — элементы входного подмножества X и подмножества состояний Z соответственно. Если существуют две такие функции и , то с их помощью осуществляются отображения и , то говорят, что определяет автомат детерминированного типа.

       Введем  в рассмотрение более общую математическую схему. Пусть Ф — множество всевозможных пар вида , где — элемент выходного подмножества Y. Потребуем, чтобы любой элемент множества G индуцировал на множестве Ф некоторый закон распределения следующего вида:

    Элементы  из Ф    

                                              

       При этом ,где — вероятности перехода автомата в состояние и появления на выходе сигнала если он был в состоянии и на его вход в этот момент времени поступил сигнал . Число таких распределений, представленных в виде таблиц, равно числу элементов множества G. Обозначим множество этих таблиц через В. Тогда четверка элементов называется вероятностным автоматом (Р- автоматом).

       Пусть элементы множества G индуцируют некоторые законы распределения на подмножествах Y и Z, что можно представить соответственно в виде:

    Элементы  из Y       

                           

    Элементы  из Z          

                            

       При этом и , где и — вероятности перехода Р- автомата в состояние и появления выходного сигнала при условии, что Р- автомат находился в состоянии и на его вход поступил входной сигнал .

       Если  для всех и имеет место соотношение , то такой Р- автомат называется вероятностным автоматом Мили. Это требование означает выполнение условия независимости распределений для нового состояния Р- автомата и его выходного сигнала.

       Пусть теперь определение выходного сигнала  Р- автомата зависит лишь от того состояния, в котором находится автомат в данном такте работы. Другими словами, пусть каждый элемент выходного подмножества Y индуцирует распределение вероятностей выходов, имеющее следующий вид:

    Элементы  из                                    

                                                                       

       Здесь , где — вероятность появления выходного сигнала при условии, что Р- автомат находился в состоянии .

2.5. Непрерывно-стохастические модели

 

       Особенности непрерывно-стохастического подхода  рассмотрим на примере использования в качестве типовых математических схем систем массового обслуживания (англ. queueing system), которые будем называть Q-схемами. Системы массового обслуживания представляют собой класс математических схем, разработанных в теории массового обслуживания и различных приложениях для формализации процессов функционирования систем, которые по своей сути являются процессами обслуживания.

       В качестве процесса обслуживания могут быть представлены различные по своей физической природе процессы функционирования экономических, производственных, технических и других систем, например потоки поставок продукции некоторому предприятию, потоки деталей и комплектующих изделий на сборочном конвейере цеха, заявки на обработку информации ЭВМ от удаленных терминалов и т. д. При этом характерным для работы таких объектов является случайное появление заявок (требований) на обслуживание и завершение обслуживания в случайные моменты времени, т. е. стохастический характер процесса их функционирования. Остановимся на основных понятиях массового обслуживания, необходимых для использования Q-схем, как при аналитическом, так и при имитационном.