Математическая модель

Математическая  модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений, а также это метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им.

Математическое  моделирование необходимо в тех  случаях, когда натурный эксперимент  невозможен или затруднен по тем  или иным причинам.

Сущность математического  моделирования состоит в замене исходного объекта его "образом" — математической моделью — и дальнейшем её изучении с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Работа не с самим объектом, а с его моделью дает возможность относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объекты в достаточной полноте, недоступной только теоретическим подходам. Методология математического моделирования бурно развивается, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими до анализа сложнейших экономических и социальных процессов.

Элементы математического моделирования использовались с самого начала появления точных наук, и некоторые методы вычислений носят имена таких ученых, как Ньютон и Эйлер.  

По характеру решаемых проблем модели могут быть разделены на функциональные и структурные. В первом случае все величины, характеризующие явление или объект, выражаются количественно. Математическая модель обычно представляет собой систему уравнений разного типа (дифференциальных, алгебраических и т. д.), устанавливающих количественные зависимости между рассматриваемыми величинами. Во втором случае модель характеризует структуру сложного объекта, состоящего из отдельных частей, между которыми существуют определенные связи. Как правило, эти связи не поддаются количественному измерению. Для построения таких моделей удобно использовать теорию графов.

По характеру  исходных данных и результатов предсказания модели могут быть разделены на детерминистические и вероятностно-статистические. Модели первого типа дают определенные, однозначные предсказания. Модели второго типа основаны на статистической информации, а предсказания, полученные с их помощью, имеют вероятностный характер.

Существует пять основных этапов математического моделирования:

• Построение модели (самая трудная стадия моделирования).
• Решение математической задачи, к которой приводит модель. 
• Интерпретация полученных следствий из математической модели.
• Проверка адекватности модели. 
• Модификация модели. 

Математические  модели находят свое применение  при исследовании индивидуальности (раскрывают динамику индивидуальных проявлений по отношению к различным видам деятельности); в управлении;  качестве вспомогательного средства сравнения альтернатив в исследовании операций;  при конструировании сложных искусственных объектов в инженерии; для описания основных свойств объективно существующего мира в физике и т.д.