Математическая модель эпидемии

§6 Математическая модель эпидемии

Рассмотрим задачу о распространении  нежелательного при некоторых условиях явления, которое кратко назовем эпидемией. Составим систему дифференциальных уравнений для распространения эпидемии, в которой инфекция передается паразитами-переносчиками.

Пусть Х₁ (t) численность незараженных, a Х₂  (t) - численность зараженных биологических особей в некоторый момент времени t , Более, рассмотрим такую ситуацию, при которой данные особи являю-тся кормом для второго вида. Пусть У₁  (t) есть численность незараженных особей этого вида, а У₂  (t) - численность зараженных особей второго вида

Как мы и раньше предполагали, численность вида при развитии без .внешнего вмешательства повышается по экспоненциальному закону, т.е.

 

Но при ограниченности ареала и при наличии внешних  пагубных действий вдет изменение этих закономерностей. В данной задаче, к примеру, идет уменьшение величин Х₁  (t) и Х₂  (t)  увеличение величин У₂  (t) и У₂  (t).

В общем случае имеет место  система уравнении

Рассмотрим частные случаи модели (2)

Увеличение или же убыль  особей пропорционально числу встреч

особей, которое естественным образом задается произведением их

 

 

численностей. При встрече не зараженных про кормителей. Х₁  (t) с зараженными переносчиками У₂ (t) происходит убыль. Пусть эта убыль численности Х₁  (t) есть Следовательно, относительно Х₁  (t) получим дифференциальное  уравнение

Естественно эту же величину прибавить к числу зараженных особей, Следовательно, относительно Х₂  (t) получим дифференциальное  уравнение

Аналогичные рассуждения  справедливы и относительно величин 

У_i (t). Тогда мы получим следующую систему дифференциальных уравнений

которая является частным случаем системы(2)

Исследование системы (2), ила не системы (3)  в общем случае есть не простая задача. При наличии начальных неотрицательных условии и при достаточное гладкости их правых частей, эти системы всегда имеют согласно теореме Коши в окрестности начальной точки единственное решение.

Пусть в системе (3)    заданы следующим образом:

Система (3) в этом частном случае принимает вид:

 

 

В панной системе уравнений (4), как и раньше, постоянные Е_i и γ_i неотрицательны• Более того, они строго положительны. В данной модели эпидемия такова, что естественная прибыль превышает смертность от заболевания. Поэтому первые слагаемые во втором и четвертом уравнениях положительны.

Если  же эпидемия такова, что смертность от эпидемии превышает естественную прибыль, то во втором и четвертом уравнениях первые стегаемые отрицательны. Эта ситуация более естественна, и рассмотрим получающуюся систему уравнений:

Нелинейность правых частей всех приведенных систем затрудняет точное решение их. В таких случаях необходимо применить приближенные методы Проведем качественны! анализ последней системы

Теорема Система уравнений (5) с начальными условиями Х_i (t₀)>0, Y_i (t₀)>0,  всегда имеет отличие от нуля стационарные решения, и оно не устойчиво, если

Доказательство. Действительно, приравняем правые части этих уравнений из системы (5) к нулю, после чего имеем систему уравнении:

Тривиальное стационарное решение  Х_i (t)=0 и Y_i (t)=0 также существует. Как нетрудно видеть, существует и решение

 

Исследуем данное решение /8/ на устойчивость, для чего совершим замену переменных

Подставив переменные (9) в систему (7) и проведя подобные

преобразования и отбросив члены второго порядка, получим  систему первого порядка

 

 

Характеристическое уравнение  чанной системы имеет вид:

Упростив данное уравнение, получим

Для доказательства неустойчивости отличного от нудя стационарного решения, достаточно установить, что характеристическое уравнение /12/ имеет хотя бы один корень о положительной вещественной частью. Для этого воспользуемся критерием Гурвица.

Теорема. Для того, чтобы все корни уравнения

Имели отрицательные вещественные части, необходимо и достаточно чтобы все главные миноры определителя

где а_i=0    при i>n   t были положительны. Применим приведенный критерий к исследуемому нами уравнению. В данном случае

При выполнении условий (13)второй главный минор

В силу условий Е>О очевидно неравенство . Поэтому в силу критерия Гурвица у характеристического уравнения существует хотя бы один корень с пояснительной вещественное частью и потому стационарное  решение (8) не устойчиво. Для завершения доказательства заметим, что условие (6) из теоремы исключает тот случаи, когда все корни характеристического уравнения (12)является чисто мнимыми. Теорема доказана.

В завершение заметим, что  наш рассмотрен весьма частный случай  исследуемой задачи. Математическая модель В общем виде (2)весьма спорна и требует привлечения приближенных методов исследования.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Литература:

1. Амелькин В.В., Садовский А.П., Математические модели и дифференциальные уравнения.-Минск 1982
2. Нахушев А.М.  уравнения математической теологии-М., «Высшая школа» 1995
3. Горстко А.Б. Математическое моделирование. М.;1991
4. Вольтеров В. Математическая теория борьбы за существования-М.; Наука 1976.
5. Грассман С, Тернер Дж. Математика для теологов-М.;  Высшая школа 1983
6. Свирежев  Ю.М. Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ-М.; Наука 1976.