Математические модели

ВВЕДЕНИЕ

В нашей жизни математические модели и математическое моделирование играют одну из главных ролей. Впервые, математические модели были использованы для решения практической задачи в 30-х годах в Великобритании при создании системы противовоздушной обороны. Сейчас, невозможно представить современную науку без широкого применения математического моделирования. Сущность этой методологии состоит в замене исходного объекта его образом - математической моделью - и дальнейшем изучении модели с помощью реализуемых на компьютерах вычислительно-логических алгоритмов. Этот метод познания, конструирования, проектирования сочетает в себе многие достоинства, как теории, так и эксперимента. Работа не с самим объектом (явлением, процессом), а с его моделью дает возможность безболезненно, относительно быстро и без существенных затрат исследовать его свойства и поведение в любых мыслимых ситуациях. В то же время вычислительные эксперименты с моделями объектов позволяют, опираясь на мощь современных вычислительных методов и технических инструментов информатики, подробно и глубоко изучать объектов в достаточной полноте, недоступной чисто теоретическим подходам. Методология математического моделирования бурно развивается и, охватывая все новые сферы - от разработки технических систем и управления ими, до анализа сложнейших экономических и социальных процессов. Математическое моделирование справилось с этой задачей: ядерные взрывы и полеты ракет и спутников были предварительно «осуществлены» в недрах ЭВМ с помощью математических моделей и лишь затем претворены на практике. Этот успех во многом определил дальнейшие достижения методологии, без применения которой в развитых странах ни один крупномасштабный технологический, экологический или экономический проект теперь всерьез не рассматривается.

Целью курсовой работы, является рассмотрение задачи по аналитической геометрии, в которой необходимо создать приложение для нахождения расстояния от данной точки до ближайшей стороны заданного треугольника.

1. МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ

Модель – образ некоторой системы; аналог (схема, структура, знаковая система) определенного фрагмента природной или социальной реальности, «заместитель» оригинала в познании и практике.

Модель – в широком смысле – любой образ, аналог (мысленный или условный: изображение, описание, схема, чертеж, график, план, карта и т.п.) какого-либо объекта, процесса или явления (оригинала данной модели).

Моделью можно назвать искусственно создаваемый образ конкретного предмета, устройства, процесса, явления (и, в конечном счете, любой системы).

Математическая модель — это приближенное описание какого-либо класса явлений или объектов реального мира на языке математики.

Моделирование — это замещение некоторого объекта А другим объектом Б. Замещаемый объект А называется оригиналом или объектом моделирования, а замещающий Б - моделью. Другими словами, модель - это объект-заменитель объекта-оригинала, обеспечивающий изучение некоторых свойств оригинала. Основная цель моделирования — исследовать эти объекты и предсказать результаты будущих наблюдений. Однако моделирование — это еще и метод познания окружающего мира, дающий возможность управлять им. Все модели можно разделить на два класса:

      вещественные,

      идеальные.

В свою очередь вещественные модели можно разделить на:

      натурные,

      физические,

      математические.

Идеальные модели можно разделить на:

      наглядные,

      знаковые,

      математические.

Вещественные натурные модели - это реальные объекты, процессы и системы, над которыми выполняются эксперименты научные, технические и производственные.

Вещественные физические модели - это макеты, муляжи, воспроизводящие физические свойства оригиналов (кинематические, динамические, гидравлические, тепловые, электрические, световые модели).

Вещественные математические - это аналоговые, структурные, геометрические, графические, цифровые и кибернетические модели.

Идеальные наглядные модели - это схемы, карты, чертежи, графики, графы, аналоги, структурные и геометрические модели.

Идеальные знаковые модели - это символы, алфавит, языки программирования, упорядоченная запись, топологическая запись, сетевое представление.

Идеальные математические модели - это аналитические, функциональные, имитационные, комбинированные модели.

В приведенной классификации некоторые модели имеют двойное толкование (например - аналоговые). Все модели, кроме натурных, можно объединить в один класс мысленных моделей, т.к. они являются продуктом абстрактного мышления человека.

Остановимся на одном из наиболее универсальных видов моделирования - математическом, ставящим в соответствие моделируемому физическому процессу систему математических соотношений, решение которой позволяет получить ответ на вопрос о поведении объекта без создания физической модели, часто оказывающейся дорогостоящей и неэффективной.

Математическое моделирование - это средство изучения реального объекта, процесса или системы путем их замены математической моделью, более удобной для экспериментального исследования с помощью ЭВМ.

Математическая модель является приближенным представлением реальных объектов, процессов или систем, выраженным в математических терминах и сохраняющим существенные черты оригинала. Математические модели в количественной форме, с помощью логико-математических конструкций, описывают основные свойства объекта, процесса или системы, его параметры, внутренние и внешние связи.

1.1 Классификация математических моделей

В основу классификации математических моделей можно положить различные принципы. Можно классифицировать модели по отраслям наук (математические модели в физике, биологии, социологии и т.д.). Можно классифицировать по применяемому математическому аппарату (модели, основанные на применении обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных, стохастических методов, дискретных алгебраических преобразований и т.д.). Наконец, если исходить из общих задач моделирования в разных науках безотносительно к математическому аппарату, наиболее естественна такая классификация:

      дескриптивные  (описательные)  модели;

      оптимизационные модели;

      многокритериальные модели;

      игровые модели.

Поясним это на примерах.

Дескриптивные (описательные) модели. Например, моделирование движения кометы, вторгшейся в Солнечную систему, производится с целью предсказания траектории ее полета, расстояния, на котором она пройдет от Земли, и т.д. В этом случае цели моделирования носят описательный характер, поскольку нет никаких возможностей повлиять на движение кометы, что-то в нем изменить.

Оптимизационные модели используются для описания процессов, на которые можно воздействовать, пытаясь добиться достижения заданной цели. В этом случае в модель входит один или несколько параметров, доступных влиянию. Например, меняя тепловой режим в зернохранилище, можно задаться целью подобрать такой режим, чтобы достичь максимальной сохранности зерна, т.е. оптимизировать процесс хранения.

Многокритериальные модели. Нередко приходится оптимизировать процесс по нескольким параметрам одновременно, причем цели могут быть весьма противоречивыми. Например, зная цены на продукты и потребность человека в пище, нужно организовать питание больших групп людей (в армии, детском летнем лагере и др.) физиологически правильно и, одновременно с этим, как можно дешевле. Ясно, что эти цели совсем не совпадают, т.е. при моделировании будет использоваться несколько критериев, между которыми нужно искать баланс.

Игровые модели могут иметь отношение не только к компьютерным играм, но и к весьма серьезным вещам. Например, полководец перед сражением при наличии неполной информации о противостоящей армии должен разработать план: в каком порядке вводить в бой те или иные части и т.д., учитывая и возможную реакцию противника. Есть специальный раздел современной математики — теория игр, — изучающий методы принятия решений в условиях неполной информации. Модели делятся на познавательные и прагматические («практические»).

Познавательные модели – это предположительные образы будущего научного знания, то есть научные гипотезы.

Прагматические модели отражают не существующее (в практике), но желаемое и, возможно, осуществимое (образ будущей системы). Прагматические модели являются способом организации (представления) образцово правильных действий и их результатов, то есть являются рабочим представлением, мысленным образцом будущей системы. Таким образом, прагматические модели носят нормативный характер для дальнейшей деятельности, играют роль стандарта, образца, под который «подгоняется» в дальнейшем как сама деятельность, так и ее результаты.

Примерами прагматических моделей могут быть любые проекты, планы и программы действий, уставы организаций, должностные инструкции, кодексы законов, рабочие чертежи, экзаменационные требования и т.д.

Познавательное моделирование включает в себя два этапа: построение и исследование модели. Различают прямую и обратную исследовательские задачи. Прямая задача – по явному описанию модели (функциональные или алгоритмические зависимости между переменными и параметрами, их величины) находятся ее «неявные» свойства (скрытые зависимости между переменными и параметрами, их величины, динамические свойства, поведение и т.п.). Обратная задача (идентификация) – по заданным (желаемым, проектируемым) свойствам модели находится ее явное описание. Традиционная обратная задача – оптимизация (поиск значений переменных и/или параметров, отвечающих оптимальным решениям, то есть оптимальным значениям некоторых функций). Исследование модели может представлять собой анализ (прямая и обратная задачи) или имитацию (только прямая задача), то есть математическое моделирование можно разделить на аналитическое и имитационное.

Для аналитического моделирования характерно то, что все системные связи и процессы записываются в виде некоторых функциональных соотношений (например, уравнений – алгебраических, дифференциальных, интегральных и т.п.) или логических условий.

Аналитическая модель может быть исследована следующими методами:

      аналитическим, когда стремятся получить в общем (аналитическом) виде явные зависимости для искомых характеристик в виде определенных формул;

      численным, когда, не имея возможности решать уравнения в общем виде, пытаются получить (например, с помощью компьютера) числовые результаты при тех или иных конкретных начальных данных;

      качественным, когда, не имея решения в явном или численном виде, можно найти некоторые его свойства.

     Примером могут служить модели, использующие аппарат качественной теории дифференциальных уравнений, в которой анализ вида уравнений, описывающих самые разнообразные процессы (экономические, экологические, политические и др.) позволяет изучать свойства их решений – существование и тип равновесий, области возможных значений переменных и т.п.

Для имитационного моделирования характерно исследование отдельных сценариев или траекторий динамики моделируемой системы с использованием численных или логических методов. Его сильной стороной является возможность исследования очень сложных моделей, слабой – невозможность исследования обратных задач и устойчивости.

Прагматическое моделирование (проектирование) помимо построения и анализа моделей включает в себя оптимизацию и, в ряде случаев, выбор (принятие решений). Для создания моделей у человека есть всего два типа «материалов» – средства самого сознания и средства окружающего материального мира. Соответственно этому модели делятся на абстрактные (идеальные) и материальные (реальные, вещественные).

Абстрактные модели являются идеальными конструкциями, построенными средствами мышления, сознания. Абстрактные модели являются языковыми конструкциями. Они могут формироваться и передаваться другим людям средствами разных языков, языков разных уровней специализации.

Материальные модели. Для отображения материальной конструкции, между оригиналом и моделью должно быть установлено отношение похожести, подобия. Прямое подобие устанавливается в результате физического взаимодействия с оригиналом в процессе создания модели

1.2. Этапы математического моделирования

Процесс математического моделирования, то есть изучения явления с помощью математической модели, можно подразделить на 4 этапа.

Первый этап — формулирование законов, связывающих основные объекты модели. Этот этап требует широкого знания фактов, относящихся к изучаемым явлениям, и глубокого проникновения в их взаимосвязи. Эта стадия завершается записью в математических терминах сформулированных качеств, представлений о связях между объектами модели.

Второй этап — исследование математических задач, к которым приводят математические модели. Основным вопросом здесь является решение прямой задачи, то есть получение в результате анализа модели выходных данных (теоретических следствий) для дальнейшего их сопоставления с результатами наблюдений изучаемых явлений. На этом этапе важную роль приобретают математический аппарат, необходимый для анализа математической модели, и вычислительная техника — мощное средство для получения количеств, выходной информации как результата решения сложных математических задач. Часто математические задачи, возникающие на основе математической модели различных явлений, бывают одинаковыми (например, основная задача линейного программирования отражает ситуации различной природы). Это даёт основание рассматривать такие типичные математические задачи как самостоятельный объект, абстрагируясь от изучаемых явлений.