Лекции по "Алгебре"

     Введемо генератрису ймовірностей :

.   (12.9)

     Ряд (12.9) рівномірно збігається в колі і при . Отже, в середині кола генератрису можна почленно диференціювати. Враховуючи початкові умови, при будь-яких значеннях .

     Диференціюємо обидві частини (12.9) по t: .

     Додамо  всі рівняння системи (12.8):

Помножимо обидві частини цього рівняння на :

     Остаточно

     Отже, для генератрису маємо таке диференціальне рівняння

загальний інтеграл якого дорівнює

     Функцію визначимо з початкової умови. Оскільки , то .

     Таким чином, генератриса має вигляд

     Функція такого вигляду є генератриса  закону Пуассона з параметром . Оскільки, генератриса однозначно визначає розподіл, то ймовірності дорівнюють

     Це  є розподіл Пуассона з параметром .