ЛЕКЦІЯ 5

 

ТЕОРЕМИ НЕПЕРЕРВНОСТІ ЙМОВІРНОСТІ

Питання, що розглядаються  у лекції

 

1. Теореми  неперервності ймовірності.

2. Аксіома  неперервності та її еквівалентність  аксіомі зліченної адитивності. 

5.1. Теореми неперервності  ймовірності 

     Для доведення деяких властивостей ймовірності, які були розглянуті в лекції 4, застосовувалась лише аксіома скінченої адитивності. Наведемо теореми, для виконання яких треба використати аксіому зліченної адитивності.

     Теорема 5.1. Якщо А₁, А₂, ... , А_n, ... – монотонно неспадна послідовність випадкових подій, тобто

,

то

.

     Доведення. Оскільки послідовність випадкових подій А₁, А₂, ... , А_n, ... – монотонно неспадна, об’єднання їх можна представити у вигляді об’єднання попарно несумісних подій:

.

     До  правої частини цієї рівності застосуємо аксіому зліченної адитивності  А3. Маємо

.

     Згідно  аксіомі Р3 ряд у правій частині цієї рівності збігається. Як відомо, його сума дорівнює границі частинній сумі при . Знайдемо :

.

     Оскільки  , то

.

     Звідки  . Теорема доведена.

     Зауваження. Якщо А₁, А₂, ... , А_n, ... – монотонно неспадна послідовність випадкових подій, то . Отже, твердження доведеної теореми можна записати так:

,

тобто можна переходити до границі під  знаком імовірності. В силу цього, теорему 5.1 називають властивістю неперервності ймовірності.

     Теорема 5.2. Якщо А₁, А₂, ... , А_n, ... – монотонно незростаюча послідовність випадкових подій, тобто

,

то

.

     Доведення. За властивістю 2 ймовірності та правилами де Моргана

.

     Оскільки  А₁, А₂, ... , А_n, ... – монотонно незростаюча послідовність випадкових подій, то послідовність протилежних подій – монотонно неспадна послідовність. Отже, за теоремою 5.1

.

     Таким чином,

.

     Теорема доведена.

     Зауваження. Аналогічно зауваженню до теореми 1, твердження теореми 2 можна записати так:

.

     Тому  теорему 5.2 також називають властивістю  неперервності ймовірності. 

5.2. Аксіома неперервності  та її еквівалентність  аксіомі зліченної  адитивності 

     Аксіомою  неперервності ймовірності називають твердження:

     Р4. Якщо B₁, B₂, ... , B_n, ... – монотонно незростаюча послідовність випадкових подій і така, що , то

.

     Теорема 3. Аксіоми зліченної адитивності та неперервності ймовірності еквівалентні.

     Доведення. Доведемо, що з аксіоми Р3 аксіома Р4.

     Дійсно, з теореми 5.2, доведення якої базується на аксіомі Р3, випливає

.

     Доведемо, що з аксіоми Р4 аксіома Р3.

     Нехай А₁, А₂, ... , А_n, ... – послідовність попарно несумісних випадкових подій з - алгебри F. Покладемо . Тоді , для і . Враховуючи виконання властивості скінченої адитивності для попарно несумісних випадкових подій, маємо

.

     Оскільки  , то

= .

     Теорема доведена.

     Висновок. Система аксіом А.М. Колмогорова дозволяє будувати теорію ймовірностей як частину теорії міри, бо ймовірність можна розглядати як невід’ємну нормовану адитивну функцію множини F. Зазначимо також, що введена система аксіом є неповною, бо навіть для одного стохастичного експерименту можна будувати різні ймовірнісні моделі (парадокс Бертрана). Але ця ж сама система аксіом є не суперечною, бо існують реальні об’єкти, які всім цим аксіомам задовольняють. Наприклад, це стосується стохастичних експериментів, які вписуються в класичну схему ймовірностей.