ТЕМА 1. ВИПАДКОВІ ПОДІЇ 

ЛЕКЦІЯ 1 

АЛГЕБРА ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ 

Питання, що розглядаються  в лекції 

1. Початкові поняття теорії ймовірностей.

2. Теоретико-множинний  підхід до початкових понять  теорії ймовірностей.

     3. Операції над подіями.

4. Алгебра  та  - алгебра подій.

Вступ

 

      Теорія  ймовірностей – це математична наука, яка вивчає закономірності масових  випадкових явищ. Під масовими випадковими  явищами будемо розуміти такі явища, які можуть відбуватися при неодноразовому відтворенні по різному.

    Теорія  ймовірностей як наука зародилася в  середині XVІІ століття. У своєму розвитку вона пройшла довгий шлях і зараз  продовжує інтенсивно розвиватися. Коло практичних застосувань теорії ймовірностей розширюється у природних  і технічних науках. Вимоги різних технічних потреб суспільства дали поштовх до розвитку цілого ряду прикладних розділів теорії ймовірностей. Це насамперед – статистична теорія зв’язку, теорія інформації, теорія масового обслуговування, теорія надійності, статистична радіотехніка, економетрія, математична статистика тощо.

    Тут доречно навести слова засновника української школи теорії ймовірностей академіка Б.В. Гнеденко: “Теорія  ймовірностей, подібно до інших розділів математики, розвинулася з потреб практики; в абстрактній формі  вона відображає закономірності, властиві подіям масового характеру. Ці закономірності відіграють надзвичайно важливу роль у фізиці й інших галузях природознавства, військовій справі, найрізноманітніших технічних дисциплінах, економіці й т. д. (Гнеденко Б.В. Курс теории вероятностей. – М.: Наука, 1988).

1.1. Початкові поняття  теорії ймовірностей

 

     Введемо початкові поняття теорії ймовірностей.

     Означення 1.1. Стохастичним експериментом (випробуванням, дослідом) називається будь-який експеримент який можна неодноразово повторювати за деяких незмінних умов і результат якого передбачити заздалегідь не можна.

     Означення 1.2. Подія – це будь-який результат стохастичного експерименту.

     Події бувають: випадкові, неможливі, вірогідні.

     Означення 1.3. Назвемо подію випадковою, якщо в даному стохастичному експерименті вона може відбутися чи не відбутися.

     Домовимось  в подальшому випадкові події  позначати великими літерами латинської абетки.

     Приклад 1.1. Дехто по виході із своєї квартири зустрічає першу на своєму шляху людину. Це є стохастичний експеримент. Випадковими подіями цього стохастичного експерименту можуть бути: = {ця людина – чоловік}; = {ця людина – жінка}; ={ця людина – дитина}; = {ця людина – дівчинка}. Зауважимо, що для коректності визначення подій та треба домовитись до якого віку людину вважати дитиною.

     Приклад 1.2. Дехто по виході із свого будинку зустрічає першу на своєму шляху автомашину і записує її номер. Всі номери чотиризначні, окрім номера 0000. Це є стохастичний експеримент. Випадковими подіями в цьому стохастичному експерименті будуть події: ={номер не має цифри 5}; ={номер – парне число};

= {номер ділиться на 3}; ={номер не має однакових цифр}.

     Означення 1.4. Назвемо подію вірогідною, якщо вона завжди відбувається в стохастичному експерименті.

     Означення 1.5. Назвемо подію неможливою, якщо вона ніколи не відбувається в стохастичному експерименті.

     Приклад 1.3. Стохастичний експеримент полягає в киданні один раз грального кубика (кубик із шістьма гранями, на кожній з яких стоять цифри від 1 до 6 ). Прикладом неможливої події може бути подія, яка полягає в тому, що випало 10 очок; вірогідної – випало не більше 6 очок; випадкової – випало 2 очка. 

1.2. Теоретико-множинний  підхід до початкових  понять 

теорії  ймовірностей 

    Теоретико-множинний  підхід в теорії ймовірностей полягає  в тому, що кожному стохастичному експерименту ставиться у відповідність простір елементарних подій W, елементами якого є елементарні події w.

    Означення 1.6. Елементарні події – це логічно єдино можливі результати експерименту, які взаємно виключають один одного.

    Приклад 1.4. Стохастичний експеримент полягає в киданні один раз грального кубика. Простір елементарних подій, який описує цей експеримент, складається з шістьох елементарних подій {випала грань з k очками}, k=1, 2, …, 6.

    Приклад 1.5. Стохастичний експеримент полягає в киданні монети до першої появи герба. Простір елементарних подій, який описує цей експеримент, складається з нескінченної кількості елементарних подій {герб випав при k киданні монети}, k=1, 2, … .

    Приклад 1.6. Стохастичний експеримент полягає в тому, що радіоприймач у деякому інтервалі часу Т приймає деякий сигнал . Простір елементарних подій можна трактувати як множину функцій , які задані на проміжку Т.

    Отже, з наведених прикладів випливає, що простір елементарних подій може мати скінчену, злічену або незлічену  кількість елементарних подій.

    Кожна випадкова подія А інтерпретується як підмножина простору елементарних подій W. Подія А відбулася, якщо відбулася будь-яка подія wÎА. Неможливу подію доречно трактувати як порожню множину, тому надалі вона позначається символом . Вірогідна подія повинна містити всі елементарні події, оскільки вона відбувається завжди. Звідси вірогідну подію інтерпретують як весь простір елементарних подій і позначають відповідно літерою W.

    1.3. Операції над подіями 

    Оскільки  випадкові події – це підмножини простору елементарних подій  , то операції над множинами можна перенести на операції над подіями.

    Включення АÌВ означає, що подія В відбулася, якщо відбулася подія А. Тобто з появи події А випливає поява події В. Очевидно , .

     Приклад 1.7. Із колоди у 52 гральні карти навмання виймають одну карту. Розглянемо дві випадкові події: ={витягнута карта – пікової масті}, = {витягнута карта – чорної масті}. Очевидно, що .

    Об’єднання подій А В – це подія, яка відбувається, якщо відбувається хоча б одна з подій А або В. Об’єднувати можна і нескінченну кількість подій. Результат цієї операції позначають через _n.

      Приклад 1.8. Гральний кубик підкидається один раз. Випадкова подія полягає в тому, що випаде 2 очка, випадкова подія полягає в тому, що випаде парна кількість очок. Об’єднання А В – це випадкова подія, яка полягає в тому, що випаде парне число очок.

      Мають місце такі властивості операції об’єднання випадкових величин:

      1. ; 2. ;

      3. якщо  , то ; 4. ;

      5. ; 6. .

    Перетин подій А В – це подія, яка відбувається, якщо відбувається і подія А, і подія В. Перетинати можна і нескінченну кількість подій. Результат цієї операції позначають через _n.

      Приклад 1.9. Гральний кубик підкидається два рази. Розглянемо три випадкові події, пов’язані із значенням суми двох очок, що випали при двох підкиданнях: ={сума очок не перевищує 5}; ={сума очок більше 7}; ={сума очок менша 8}. Очевидно, що

.

      Мають місце такі властивості операції перетину випадкових величин:

      1. ; 2. ;

      3. ;

      4. якщо  , то ;

      5. ;

      6. ;

      7. , ;

      8. .

     Означення 1.7. Випадкові події та називаються несумісні, якщо вони не можуть відбуватися одночасно, тобто .

    Події А₁, А₂, ..., А_n утворюють повну групу подій:

    а) якщо _i = W; б) якщо А_i А_j=Æ, i¹j; такі події називаються попарно несумісними.

    Приклад 1.10. Виконується два постріли в мішень. Розглянемо події А ={одне влучення в мішень}, B ={два влучення в мішень}, С ={жодного влучення в мішень}. Ці події утворюють повну групу подій.

    Кожній  події А можна поставити у відповідність протилежну подію , яка відбувається тоді, коли А не відбувається. Очевидно, та

      Приклад 1.11. Папірці із літерами розрізаної абетки навмання розкладають один за одним. Випадкова подія полягає в тому, що принаймні одна літера влучить на те місце, яке відповідає її розташуванню у абетці. Тоді протилежна їй подія полягає в тому, що жодна літера не буде на своєму місці за абеткою.

      В багатьох задачах теорії ймовірностей зустрічається термін “таблиця випадкових чисел”. Ці таблиці можна будувати різними методами. Запропонуємо один із них. Нехай на папірці нескінченної довжини записано число 0 та всі числа натурального ряду. Розріжемо цей папірець на окремі таким чином, щоб на кожному із них залишилась записаною лише одна цифра. Потім всі папірці перемішують і навмання витягають один. Цифру, що записана на цьому папірці, заносять у таблицю, а папірець повертають до всіх інших. Цю процедуру повторяють нескінчену кількість разів. Так отримують таблицю випадкових чисел. Аналогічно можна будувати таблицю двозначних випадкових чисел, вибираючи кожен раз навмання два числа і т. д.

      Приклад 1.12. Із таблиці випадкових чисел навмання відбирається число. Випадкова подія полягає в тому, що це число закінчується на цифру 5 або 0. Протилежна подія полягає в тому, що це число не ділиться на 5.

    Різниця А\В подій – це подія, що відбувається тоді, коли відбувається подія А і не відбувається подія В. Очевидно, що = =W\A, А\В = .

    Мають місце правила де Моргана:

= , . 

1.4. Алгебра та 

- алгебра подій 

    Означення 1.7. Непорожня система підмножин F множини W називається алгеброю подій, якщо вона замкнена відносно операцій об’єднання та доповнення. Це означає:

    А1.

    А2. " АÎF, " ВÎF А ВÎF;