ЛЕКЦІЯ 6

 

УМОВНІ  ЙМОВІРНОСТІ

Поняття, що вводяться в  лекції

 

     1. Умовна ймовірність – conditional probability.

     2.Незалежні  випадкові події – independent random events.

     3. Попарна незалежність – pairwise independence.

     4. Незалежність у сукупності –  total independence. 

Питання, що розглядаються  у лекції 

     1. Умовна ймовірність випадкових  подій.

     2. Теореми множення ймовірностей  випадкових подій.

     3. Незалежність випадкових подій.

4. Незалежність  у сукупності та попарна незалежність  випадкових подій.

5. Теореми  додавання та множення для незалежних у сукупності випадкових подій. 

6.1. Умовна ймовірність  випадкових подій 

     Нехай проводиться експеримент, що має  однаково можливих випадкових результатів. Серед них результатів сприяють появі випадкової події , результатів сприяють появі випадкової події , результатів сприяють випадковій події .

     Розглянемо  випадкову подію , яка полягає в тому, що відбудеться випадкова подія при умові, що випадкова подія вже відбулася. Таку випадкову подію в подальшому будемо називати умовною.

     Теорема 6.1. Припускаючи , ймовірність умовної події обчислюється за формулою:

.      (6.1)

     Доведення. Очевидно, що кількість всіх результатів експерименту для випадкової події дорівнює кількості результатів, що сприяють випадковій події , тобто (адже подія вже відбулася), а кількість результатів, які сприяють її появі – . Тоді за класичним означенням ймовірності (2.1)

.

     Аналогічно, припускаючи, що , можна розглянути випадкову подію і довести формулу,

.   (6.2)

     При аксіоматичному означенні ймовірності ці формули логічними міркуваннями отримати не можна. Тому для довільних імовірнісних просторах умовна ймовірність вводиться формально.

     Означення 6.1. Нехай – імовірнісний простір стохастичного експерименту; – довільні випадкові події з F, причому . Умовною ймовірністю події при умові, що випадкова подія відбулася, називається ймовірність, яка обчислюється за формулою (6.1).

     Із  означення 6.1 і властивостей імовірності маємо такі властивості умовних імовірностей:

     1. ;

     2. ; ;

    3. " А₁, А₂, ... , А_n, ...ÎF, таких, що А_i A_j=Æ, i¹j;

P(

A_i /B)= P(А_i /B).

     Таким чином, умовні ймовірності задовольняють  системі аксіом Колмогорова. 
 
 

     6.2. Теореми множення  ймовірностей випадкових  подій 

     Із  формул (6.1) та (6.2) можна записати правило (теорему) множення ймовірностей для двох випадкових подій

.                 (6.3)

     Зазначимо, що ця формула справедлива у випадку, коли або .

     Формулу (6.3) методом математичної індукції можна узагальнити на перетин  n випадкових подій. Так, для

.

     Для n випадкових подій

.                (6.4)

     Наведемо  декілька прикладів на використання наведених формул.

     Приклад 6.1. На десяти картках записані літери слова “математика”. Картки перемішують і навмання витягають послідовно 4 картки. Яка ймовірність того, що в порядку витягнення з’явиться слово “мама”?

     Розв’язання. Задачу можна розв’язати за допомогою формули класичної ймовірності (2.1), але використання формули (6.4) значно спрощує розв’язок. Введемо випадкові події: А={у порядку витягнення карток з’явиться слово “мама”}, ={першою витягнена літера “м”}, ={другою витягнена літера “а”}, ={третьою витягнена літера “м”}, ={четвертою витягнена літера “а”}. Тоді . За формулою (6.4)

.

     Приклад 6.2. Дехто забув останню цифру номеру телефону і набирає її навмання. Знайти ймовірність того (подія ), що йому доведеться дзвонити не більше, ніж у три місця.

     Розв’язання. Розглянемо протилежну подію , яка полягає в тому, що дзвонити доведеться більше, ніж у три місця.

     Позначимо через випадкову подію, яка полягає в тому, що при - тому дзвінку потрібну цифру не буде вгадано. Тоді

     

     Отже, . 

6.3. Незалежність випадкових  подій 

     Означення 6.2. Випадкові події та називаються незалежними, якщо виконується одна з рівностей

       або    (6.5)

     Рівності (6.5) означають, що на появу однієї події  не впливає поява другої події.

     В прикладних задачах для визначення незалежності двох випадкових подій  часто користуються інтуїтивними міркуваннями або міркуваннями, які основані на досліді.

     Розглянемо  деякі властивості незалежності подій.

     1. Справедлива теорема множення  для двох незалежних подій: якщо випадкові події А та В – незалежні, то

.          (6.6)

     Формула (6.6) є наслідком означення 6.2 та формули (6.3).

     2. Якщо випадкові події А та В – незалежні, то події А і , і В, і також будуть незалежними випадковими подіями.

     Доведення. Доведемо, наприклад, що з незалежності випадкових подій А і В випливає незалежність подій А і . Дійсно, . Отже,

.

     3. Якщо випадкові події А і В та А і С – незалежні події, а події В і С – несумісні події, то події А і будуть незалежними випадковими подіями.

     Проведіть доведення самостійно.

     Узагальнимо поняття незалежності на сукупність n подій. 
 

6.4. Незалежність у  сукупності та  попарна незалежність  випадкових подій 

     Означення 6.3. Випадкові події А₁, А₂, ... , А_n називаються незалежними у сукупності, якщо для будь-якого , і для будь-якого набору індексів таких, що виконується рівність

.   (6.7)

     Зокрема, якщо випадкові події А₁, А₂, ... , А_n – незалежні у сукупності, то будь-які дві події і , будуть незалежними, тобто має місце попарна незалежність двох подій. Проте з попарної незалежності ще не випливає, взагалі кажучи, незалежність у сукупності. Пояснимо це на прикладі.

     Приклад Бернштейна. На площину кидають тетраедр, три грані якого пофарбовані відповідно в червоний, зелений, блакитний кольори, а на четверту грань нанесені всі три кольори. Нехай випадкові події А, В, С означають, що при киданні тетраедра випала грань, на якій присутній відповідний колір. Оскільки кожний колір нанесено на дві грані тетраедра, то

.

     Два кольори має тільки одна грань, тому

.

     Отже, випадкові події А, В, С – попарно незалежні, бо

, , .

     Всі три кольори нанесені тільки на одну грань, тому

.

     Це  означає, що події А, В, С – не є незалежними у сукупності.

     Розглянемо  деякі приклади на застосування введених понять незалежних у сукупності та попарно незалежних випадкових подій. 

6.5. Теореми додавання  та множення для  незалежних у сукупності  випадкових подій 

     Теорема 6.2. Якщо випадкові події А₁, А₂, ... , А_n – незалежні у сукупності, то

.

     Теорема є наслідком означення 6.3.

     Теорема 6.3. Якщо випадкові події А₁, А₂, ... , А_n – незалежні у сукупності, то

.         (6.8)

     Доведення. Якщо випадкові події А₁, А₂, ... , А_n – незалежні у сукупності, то

.

     Для двох незалежних подій А і В формула (6.8) набуває вигляд:

.      (6.9)

     Наведемо  деякі приклади використання цих  теорем.

    Приклад 6.3. На електричній схемі (рис. 6.1):

      
 
 
 
 

Рис. 6.1 

елементи  працюють незалежно один від одного. Надійність (імовірність безвідмовної роботи) елементів А₁, А₂, А₃, А₄ за час T відповідно дорівнює 0,6; 0,8; 0,7; 0,9. Знайти надійність всієї схеми за час Т.

    Розв’язання. Вводимо події: B={схема працює}, A_k = {працює k-й елемент}, k =1, 2, 3, 4. Тоді B =A₁ А₄ (А₂ А₃). За умовою задачі елементи працюють незалежно, тому

P(В)=P(А₁)P(А₄)P(А₂

А₃).

    За  формулою (6.9) P(А₂ А₃)=1–P( )P( ). Остаточно маємо:

P(В)=P(А₁)P(А₄)[1 – P(

)P( )]= ( ) = 0,5076.

     Приклад 6.4. Задача Чебишева.. Знайти ймовірність того (подія ), що чисельник і знаменник записаного навмання дробу не мають спільних множників, тобто дріб не скорочується.

     Розв’язання. Позначимо через випадкову подію, що полягає в тому, що не є спільним множником чисельника і знаменника. Якщо розглядати тільки прості числа , то і всі події А₁, А₂, ... , А_k – незалежні у сукупності, тоді

.

     Розглянемо  протилежну до випадкової події  подію , яка полягає в тому, що чисельник і знаменник мають спільний множник . Очевидно, що