Лекции по "Алгебре"

ЛЕКЦІЯ 4

 

АКСІОМИ ТЕОРІЇ ЙМОВІРНОСТЕЙ 

Питання, що розглядаються  у лекції 

1. Система  аксіом теорії ймовірностей.

     2. Властивості ймовірності, що випливають  з аксіом.

3. Деякі  приклади застосування властивостей  імовірності. 

4.1. Система аксіом  теорії ймовірностей 

     Кожна з розглянутих імовірнісних схем: класична, статистична, геометрична, мають  свої недоліки і не дають можливості описати всі різноманітні стохастичні  експерименти. Сучасна теорія ймовірностей побудована на основі системи аксіом, які були запропоновані академіком А. М. Колмогоровим у 1929 році. Вищеназвані схеми вкладаються в цю систему як її окремі випадки.

    Нехай – вимірний простір стохастичного експерименту, тобто виконуються умови А1, А2, А3 (лекція 1). Припустимо, що кожній події поставлено у відповідність число P(А), що задовольняє умови:

    Р1. " : P(А)³0;

    Р2. P(W) = 1 (аксіома нормування);

    Р3. " А₁, А₂, ... , А_n, ...ÎF, таких, що А_i A_j=Æ, i¹j;

    P(

A_i)= P(А_i) (аксіома зчисленної адитивності).

    Для розв’язання деяких задач достатньо  використання аксіоми скінченої  адитивності: " А₁, А₂, ... , А_nÎF, таких, що А_i A_j=Æ, i¹j справедливо співвідношення P( A_i)= P(А_i).

    Число Р(А) називається ймовірністю події А.

     Твердження  А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 складають систему аксіом теорії ймовірностей.

     Так введена ймовірність події дає  можливість дати строге математичне означення.

    Означення 4.1. Імовірністю події називається нормована міра, яка введена на - алгебрі простору елементарних подій .

    Означення 4.2. Вимірний простір , на якому введена ймовірність, називається ймовірнісним простором.

     Побудувати  ймовірнісну модель експерименту означає  поставити йому у відповідність  імовірнісний простір  . Наведемо приклади побудови деяких імовірнісних моделей експериментів.

     Приклад 4.1. Стохастичний експеримент полягає в киданні монети до першої появи герба. Введемо елементарні події ={герб випав при k-му киданні монети}. Простір елементарних подій цього стохастичного експерименту буде нескінченною зліченною множиною: . За - алгебри візьмемо множину всіх підмножин простору . Кожній елементарній події поставимо у відповідність додатне число . Якщо , то покладемо . Тоді всі твердження А1, А2, А3, Р1, Р2, Р3 виконуються. (Перевірте самостійно!) Отже, побудований імовірнісний простір є ймовірнісною моделлю відповідного стохастичного експерименту.

     Приклад 4.2. Стохастичний експеримент полягає в тому, що в квадрат навмання ставлять точку, причому попадання точки в будь-яку точку квадрата є рівноможливі події. За простір елементарних подій візьмемо квадрат , - алгебра включає всі підмножини квадрата, для яких має зміст поняття площі. Імовірність події введемо так: . Перевірте, що системи аксіом для так побудованої моделі цього стохастичного експерименту виконуються.

     Наведені  приклади показують, що система аксіом Колмогорова не суперечна, бо існують  реальні стохастичні експерименти, які задовольняють цим аксіомам.

4.2. Властивості ймовірності,  що випливають  з аксіом 

     З наведених аксіом випливають такі властивості  ймовірності. (Порівняйте з властивостями  класичної ймовірності, яка введена  в лекції 2).

     1. Якщо події  утворюють повну групу подій стохастичного експерименту, то .

Ця властивість  випливає з аксіом А2, А3.

     2. Якщо  – протилежна подія до події А, то .

     Доведення. Події А і утворюють повну групу стохастичного експерименту, тому

, звідки  .

     3. Імовірність неможливої події  дорівнює нулю: .

Це випливає з властивості 2. Зауважимо, що обернене твердження, взагалі кажучи, не є справедливим.

     4. Якщо  , то .

     Доведення. Якщо , то подію B можна записати як об’єднання двох несумісних подій: B=A (B \ A). За аксіомою А3

.

     Звідси  маємо такі властивості ймовірностей:

     5. Якщо  , то .

     6. Для  : .

     Дійсно, будь-яка випадкова подія  , отже, .

     7. Для  : .

     Цю  властивість називають теоремою додавання ймовірностей.

     Доведення. Об’єднання подій представимо у вигляді об’єднання трьох попарно несумісних подій:

.

     Тоді  за аксіомою А3 і властивістю 5 маємо

=

     

= .

     Теорема додавання узагальнюється так.

     8. Нехай  – випадкові події, тоді

     

    Цю  властивість можна довести методом  математичної індукції з властивості 7.

    9. Для будь-якого скінченого або  зліченного числа випадкових  подій мають місце такі співвідношення:

    

 і  .

     Доведення. Введемо послідовність випадкових подій:

, , , ...,

.

    Події В₁, В₂, ... , В_n,... – попарно несумісні, і . Тому

.

     Друга нерівність випливає з таких міркувань:

. 

4.3. Деякі приклади  застосування властивостей  імовірності 

    Наведемо  деякі приклади застосування наведених  властивостей.

     Приклад 4.3. Дехто має у гаманці десять банкнот по 2 грн і 5 по 5 грн. Навмання виймається 7 банкнот. Знайти ймовірність того (подія ), що загальна сума не перевищить 25 грн.

    Розв’язання. Для того, щоб загальна сума не перевищувала 25 грн, треба, щоб відбулася подія = , де подія В={витягнули п’ять банкнот по 2 грн і дві по 5 грн}, а подія С={витягнули чотири банкноти по 2 грн і три по 5 грн}. Події В і С – несумісні події, тоді за аксіомою Р3

.

     Приклад 4.4. Задача про розсилку листів. Дехто написав листів та підписав на конвертах адреси. Потім навмання розклав листи до конвертів і заклеїв їх. Знайти ймовірність того (подія ), що принаймні один лист надійде за призначенням.

     Розв’язання. Позначимо через випадкову подію, що полягає в тому, що - тий лист надійде за призначенням. Події – сумісні події, випадкова подія . Для знаходження ймовірності події А треба використати властивість 8. Але перш за все обчислимо .

За формулою знаходження класичної ймовірності (2.1)

Отже, де – число розміщень із елементів по . Тоді за властивістю ймовірності 8

Звідки 

     Приклад 4.5. Маємо 6 олівців різного кольору і 6 футлярів до них тих же самих кольорів. Олівці навмання розкладають по футлярах. Знайти ймовірність того, що кожен із них не буде знаходитись у своєму футлярі (подія А).

     Розв’язання. Скористаємось задачею про розсилку листів і обчислимо спочатку ймовірність протилежної до А події ={принаймні один олівець буде в своєму футлярі}.

.

     За  властивістю 3 ймовірності

.