Лекции по "Алгебре"

ЛЕКЦІЯ 7 

ФОРМУЛИ ПОВНОЇ ЙМОВІРНОСТІ  ТА БАЙЄСА 

Питання, що розглядаються  у лекції 

     1. Формула повної ймовірністі.

     2. Формула Байєса. 

7.1. Формула повної  ймовірності 

     Нехай випадкова подія А може відбуватися тільки разом із однією з випадкових подій , які в подальшому називатимемо гіпотезами. Припустимо, що гіпотези утворюють повну групу подій, тоді

.   (7.1)

     Формула (7.1) називається формулою повної ймовірності. Доведемо її. Оскільки гіпотези утворюють повну групу подій, то подію А можна записати у вигляді об’єднання n попарно несумісних подій:

.

     За  аксіомою Р3 та теоремою множення ймовірностей (6.3) маємо

.

     Зауваження. Формула повної ймовірності справедлива у випадку зліченної множини гіпотез . Якщо випадкова подія А може відбуватися тільки разом із однією гіпотезами, то має місце формула

.

     Пояснимо  застосування формули повної ймовірності (7.1) на деяких прикладах.

     Приклад 7.1. До іспиту викладач підготував 30 білетів, у кожному з яких два питання. Іспит вважається витриманим, якщо студент відповідає на обидва питання навмання вибраного білета, або на одне питання білета та одне додаткове питання, що задає викладач. Знайти ймовірність того (подія ), що студент витримає іспит, якщо він знає відповіді на 45 питань.

     Розв’язання. Подія може відбутися разом із двома гіпотезами: студент відповідає на два питання білета}; студент відповідає на одне питання білета}. Зауважимо, що ці події не утворюють повної групи, тому що не вистачає події студент не відповідає на жодне питання білета}. Але цю гіпотезу можна не розглядати, оскільки .

    За  формулою повної ймовірності (7.1)

.

     Імовірності гіпотез знайдемо за формулою класичної  ймовірності (2.1):

 

     Умовні  ймовірності, виходячи з умови задачі, дорівнюють:

 

     Підставляючи  значення всіх ймовірностей в формулу  повної ймовірності (7.1), маємо

     Приклад 7.2. Є N екзаменаційних білетів. Студенти вважають, що серед них n білетів – “щасливі”. У кого більше шансів витягти “щасливий” білет: хто тягне білет першим, чи хто тягне білет другим?

     Розв’язання. Введемо випадкові події A={перший студент витягнув “щасливий” білет} і B={другий студент витягнув “щасливий” білет}. Імовірність події A знайдемо за формулою класичної ймовірності (2.1):

.

     Подія може відбутися разом із двома гіпотезами: перший студент витягнув “щасливий” білет}; перший студент витягнув “нещасливий” білет}. Отже, імовірність події B знайдемо за формулою повної ймовірності (7.1). Імовірності гіпотез і обчислюємо за формулою (2.1): ; . Відповідно умовні ймовірності дорівнюють:

 

     Таким чином,

.

     Отже, ймовірність витягнути “щасливий” білет не залежить від черговості витягування білетів.

     Приклад 7.3. В кожній із двох урн вміщено білих куль та чорних. Із першої урни навмання виймають одну кулю та перекладають у другу. Потім із другої урни навмання виймають одну кулю. Знайти ймовірність того (подія ), що ця куля біла.

     Розв’язання. Подія відбувається разом із однією із двох гіпотез: куля, яка перекладена із першої урни, – біла}; куля, яка перекладена із першої урни, – чорна}. За формулою класичної ймовірності (2.1):

 

     Умовні  ймовірності дорівнюють:

     За  формулою повної ймовірності (7.1):

. 
 
 
 

7.2. Формула Байєса 

     Нехай випадкова подія А може відбуватися тільки разом із однією з гіпотез , які утворюють повну групу подій деякого стохастичного експерименту. Нехай відомі апріорні, тобто ще до проведення експерименту, ймовірності гіпотез . В результаті проведеного експерименту відбулася подія А. Її поява впливає на ймовірності гіпотез. Постає питання: як змінюються ймовірності гіпотез після того, як відбулася подія А і, отже, відбулась одна з гіпотез , i=1, 2, …, n? Обчислення апостеріорних, тобто після дослідних, імовірностей гіпотез здійснюється за формулою Байєса

       (7.2)

     Доведемо  формулу (7.2). Якщо подія А відбулася, то це означає, що відбулася одна з n попарно несумісних подій , 2,..., n. За означенням 6.1 умовної ймовірності

     У знаменник дробу підставимо значення із формули повної ймовірності (7.1), отримаємо формулу (7.2).

     Наведемо  приклади застосування формули Байєса (7.2).

    Приклад 7.4. Через перешкоди система виявлення літака може давати помилкові дані про наявність цілі з імовірністю 0,05, а за наявності цілі система виявляє її з імовірністю 0,9. Імовірність появи літака в зоні роботи системи дорівнює 0,25. Надійшов сигнал про наявність цілі. Яка ймовірність помилки?

    Розв’язання. Введемо гіпотези:

    H₁ ={у зоні роботи системи з’явився літак};

    H₂ ={відсутність літака в зоні роботи системи}.

    За  умовою задачі P(H₁) = 0,25, тоді P(H₂) = 0,75. Нехай подія A = {надійшов сигнал про наявність літака}. Тоді P(A/H₁) = 0,9; P(A/H₂)=0,05. Помилка буде тоді, коли система дала сигнал про наявність цілі, але літака в зоні роботи системи не було. Отже, треба знайти За формулою Байєса (1.4) маємо

    Приклад 7.5. Телеграфне повідомлення складається з сигналів “крапка” та “тире”. Статистичні властивості перешкоди такі, що спотворюють у середньому повідомлень “крапка” та повідомлень “тире”. Відомо, що серед сигналів, які передаються, “крапка” та “тире” зустрічаються у відношенні 5:3. Знайти ймовірності подій: 1) прийнято сигнал “крапка”; 2) надіслали сигнал “тире”, а прийняли сигнал “крапка”.

     Розв’язання. 1) Подія А={прийнято сигнал “крапка”} відбувається разом із однією із двох гіпотез: посилали “крапку”}; посилали “тире”}. За умовою задачі Умовні ймовірності будуть такими Остаточно за формулою повної ймовірності (7.1) маємо

     2) Подія А відбулася. Потрібно обчислити . За формулою Байєса (7.2)

.