Лекции по "Алгебре"

ЛЕКЦІЯ 8

 

НЕЗАЛЕЖНІ ВИПРОБУВАННЯ. СХЕМА  БЕРНУЛЛІ 

Питання, що розглядаються  у лекції 

     1. Поліноміальний розподіл.

     2. Схема Бернуллі.

     3. Найбільш імовірна кількість  успіхів у схемі Бернуллі.

     4. Асимптотична формула Пуассона.

     5. Локальна теорема Муавра-Лапласа. 

8.1. Поліноміальний розподіл 

     Розглянемо  простір елементарних подій  деякого стохастичного експерименту. Нехай А₁, А₂, ... , А_k  – випадкові події, які спостерігаються в експерименті. Припустимо, що вони утворюють повну групу подій експерименту. Позначимо і будемо вважати, що , i =1, 2,…, k. Ясно, що .

     Нехай експеримент проводиться n разів, можливими результатами n раз проведеного експерименту будуть події . Тут , r=1, 2, …, n; 2, …, k – один із можливих результатів r- го випробування.

     Означення 8.1. Якщо ймовірність кожного окремого результату послідовності всіх n випробувань задовольняють умові

,

то випробування називаються незалежними.

     Прикладами  незалежних випробувань можна назвати  послідовність n кидань монети або грального кубика, послідовність проведень n тиражів якої-небудь лотереї, якщо умови проведення її незмінні тощо.

     Основною  задачею в схемі n незалежних випробувань є визначення ймовірності того, що в n незалежних випробуваннях подія відбудеться раз, подія – рази,..., подія – раз.

     Знайдемо  цю ймовірність. Одним із можливих результатів  в n незалежних випробуваннях може бути такий: в перших випробуваннях відбулася подія , у наступних випробуваннях відбулася подія , ..., в останніх випробуваннях відбулася подія . Оскільки випробування проводяться незалежно один від одного, то за теоремою множення ймовірностей для незалежних подій

.

     Кількість таких можливих результатів співпадає  з кількістю перестановок із повтореннями з n елементів, серед яких елементів i- ої ознаки (i= 1, 2, ... , k), тобто . Всі ці результати n незалежних випробуваннях попарно несумісні, а тому за аксіомою скінченої адитивності дорівнюють сумі ймовірностей всіх окремих результатів, тобто

= .       (8.1)

     Означення 8.2. Імовірності, які обчислюються за формулою (8.1), називаються поліноміальними ймовірностями. Вся сукупність цих імовірностей називається поліноміальними розподілом.

     Така  назва пов’язана з тим, що число співпадає з коефіцієнтом розкладу полінома , який містить вираз .

     Розглянемо  приклад на застосування формули (8.1).

     Приклад 8.1. В урні знаходяться 5 білих, 8 чорних та 7 синіх кулі. Навмання з урни десять разів виймаються кулі і кожен раз повертаються до урни. Знайти ймовірність того, що серед десяти вийнятих куль було 3 білі, 2 чорні та 5 синіх куль.

     Розв’язання. Введемо випадкові події ={вийнято білу кулю}, ={вийнято чорну кулю}, ={вийнято синю кулю}. За умовою задачі проведено незалежних випробувань. За формулою класичної ймовірності (2.1)

, , .

     Треба знайти ймовірність  . За формулою (8.1)

.  

     8.2. Схема Бернуллі 

     Розглянемо  найпростішу схему незалежних випробувань.

     Нехай в кожному випробуванні може бути тільки два результати: відбувається деяка подія А з імовірністю або протилежна подія відповідно з імовірністю .

     Означення 8.3. Схема незалежних випробувань з двома результатами в кожному випробуванні називається схемою Бернуллі.

     Для зручності появу події А в кожному випробуванні назвемо “успіхом”, а появу події – “невдачею”. Знайдемо ймовірність того, що в n незалежних випробуваннях подія А з’явилася m разів, відповідно подія – (n – m) разів. Позначимо цю ймовірність . Її легко отримати з формули (8.1), поклавши , , :

.    (8.2)

     Формула (8.2) називається формулою Бернуллі, а ймовірності, які обчислюється за цією формулою називаються біноміальними ймовірностями. 
 
 

    Приклад 8.2. Спортсмен п’ять разів стріляє по мішені. Імовірність влучення в мішень при одному пострілі дорівнює 0,4. Для одержання заліку необхідно влучити не менше трьох разів. Яка ймовірність одержання заліку?

    Розв’язання. Нехай подія A = {залік одержано}. За теоремою додавання ймовірностей для незалежних подій та формулою Бернуллі (8.2), маємо:

. 

     8.3. Найбільш імовірна  кількість успіхів  у схемі Бернуллі 

     Означення 8.4. Число , при якому набуває найбільшого значення, називається найбільш імовірною кількістю успіхів у схемі Бернуллі.

     Знайдемо  це число. За означенням 8.4 ймовірність  задовольняє системі нерівностей

     Значення  цих імовірностей, які знайдені за формулою (8.2), підставимо в цю систему  і після скорочення будемо мати

     Із  першої нерівності системи маємо  , а з другої – . Отже, число задовольняє нерівності

.

    Різниця між числами  і дорівнює одиниці. Звідси маємо такий висновок: найбільш імовірна кількість успіхів у схемі Бернуллі дорівнює: 1) якщо – неціле число; 2) якщо – ціле число, то існують два найбільш імовірних числа та .

     Приклад 8.3. Знайти найбільш імовірну кількість влучень у мішень при 20 незалежних пострілах, якщо ймовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,6. Яка ймовірність найбільш імовірної кількості влучень у мішень?

     Розв’язання. За умовою задачі n = 20, p =0,6. Отже, найбільш імовірна кількість влучень у мішень дорівнює . За формулою (8.2), знайдемо ймовірність, яка відповідає :

. 

8.4. Асимптотична формула  Пуассона 

     Наведених вище приклади показують, що обчислювати  ймовірності  при великих n за формулою (8.2) важко, особливо, коли ймовірність мала. Імовірність того, що рідкісна подія А (значення ) відбувається точно m разів при великої кількості дослідів , обчислюється наближено за асимптотичною формулою Пуассона:

 де                                     (8.3)

     Доведемо  формулу (8.3).

     У останній рівності перейдемо до границі, коли . Враховуючи, що , а , маємо

.

     Звідси  випливає асимптотична формула Пуассона.

     Зауваження. На практиці формулу (8.3) застосовують, якщо добуток

    Приклад 8.4. Словник має 1500 сторінок. Імовірність друкарської помилки на одній сторінці дорівнює 0,001. Знайти ймовірність того, що в словнику: 1) буде рівно 3 помилки; 2) не буде жодної помилки; 3) буде хоча б одна помилка.

    Розв’язання. 1) За умовою задачі ймовірність р = 0,001 – мала, а добуток пр =1,5 <10. Тоді за асимптотичною формулою Пуассона знаходимо

    

.

    2) Імовірність того, що в словнику  не буде жодної помилки, тобто  m = 0, знаходимо за тією ж формулою

    

.

    3) Подія А – у словнику буде хоча б одна помилка, є протилежною до події – у словнику немає жодної помилки. Тому

    

.

     Приклад 8.5. На факультеті 1825 студентів. Яка ймовірність того, що 1 вересня буде днем народження одночасно чотирьох студентів факультету?

     Розв’язання. Ймовірність того, що студент має день народження 1 вересня дорівнює . Кількість студентів Добуток пр = Отже, за асимптотичною формулою Пуассона (8.3) маємо

 

8.5. Локальна теорема  Муавра-Лапласа 

     Існують також інші асимптотичні формули для знаходження ймовірностей того, що подія А відбудеться m разів у n незалежних випробуваннях. Зокрема, якщо виконується співвідношення , то невеликі похибки дає формула, яка доведена в локальній теоремі Муавра-Лапласа. Наведемо без доведення цю теорему.

     Локальна  теорема Муавра-Лапласа. Якщо ймовірність того, що відбудеться подія А в кожному випробуванні постійна, причому , то ймовірність при достатньо великих значеннях n дорівнює

 де  . (8.4) 

     Приклад 8.5. Завод у середньому виготовляє 80 % виробів першого сорту та 20 % – другого. Знайти ймовірність того, що серед 400 навмання відібраних виробів, які виготовлені на цьому заводі, 84 виробу будуть другого сорту.

     Розв’язання. За умовою задачі

.

     Отже, . За формулою (8.4)