ТЕМА 2. ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ 

ЛЕКЦІЯ 9 

ДИСКРЕТНІ ВИПАДКОВІ ВЕЛИЧИНИ

Поняття, що вводяться в лекції

 

     1. Випадкова величина – random quantity.

     2. Дискретна випадкова величина – discreate random quantity.

     3. Ряд розподілу – row of distribution.

     4. Функція розподілу – function of probebility distribution. 
 

Питання, що розглядаються  в лекції 

     1. Означення та приклади випадкових величин.

     2. Дискретні випадкові величини.

     3. Функція розподілу випадкової  величини та її властивості. 
 

9.1. Означення та приклади випадкових величин 

    Випадкова подія є якісною характеристикою можливого результату стохастичного експерименту. Для успішного використання методів математичного аналізу в розв’язанні проблем теорії ймовірностей необхідно ввести кількісну характеристику випадкового результату стохастичного експерименту. Такою характеристикою є випадкова величина – одне з основних понять теорії ймовірностей. Наведемо строге математичне означення випадкової величини.

    Означення 9.1. Нехай – ймовірнісний простір стохастичного експерименту. Функція , яка визначена на просторі W, має значення у множині дійсних чисел R і для – подія , називається випадковою величиною.

    Функції, які задовольняють цим умовам, у теорії функцій називаються вимірними функціями відносно - алгебри F. Отже, можна сказати, що випадкова величина – це дійснозначна функція, яка задана на ймовірнісному просторі, вимірна відносно - алгебри F. Властивість вимірності випадкової величини потрібна для того, щоб мати можливість знаходити ймовірності подій вигляду . Можна довести, що з того, що випливає, що події вигляду

     , , ,

також належать - алгебрі F.

    Традиційно  аргумент у позначенні випадкової величини опускають і позначають випадкові величини літерами грецького алфавіту , а їх можливі значення літерами латинського алфавіту .

    Наведемо  деякі приклади випадкових величин: 1) кількість очок, які випали при  киданні грального кубика; 2) кількість влучень у мішень при n пострілах; 3) час безвідмовної роботи приладів; 4) помилки вимірювань; 5) тривалість життя біологічної особі тощо. Вже ці приклади показують наскільки можуть бути різноманітними випадкові величини. Для того, щоб їх вивчення було послідовним і систематизованим, випадкові величини поділяють в основному на два класи: дискретні та неперервні випадкові величини. 

9.2. Дискретні випадкові величини 

     Означення 9.2. Випадкова величина називається дискретною, якщо вона набуває скінчену або зчисленну множину значень.

     Можливі значення дискретної випадкової величини записують у вигляді числової послідовності  . Випадкова величина вважається заданою, якщо відомі всі її можливі значення та ймовірності, з якими ці значення набуваються.

    Означення 9.3. Законом розподілу будь-якої дискретної випадкової величини називається співвідношення, яке визначає залежність між значеннями випадкової величини та ймовірностями, з якими ці значення набуваються.

    Закон розподілу дискретної випадкової величини найчастіше задається рядом розподілу (табл. 9.1). 

                                           Таблиця 9.1 

 

    У табл. 9.1: , k = 1, 2,..., n,... . .

     Наведемо  приклад складання закону розподілу  дискретної випадкової величини.

    Приклад 9.1. Перевіряють деталі в режимі перевантаження. Імовірність пройти випробування для кожної деталі дорівнює 0,8. Випробування незалежні одне від одного і закінчуються одразу, як тільки деталь, яку перевіряють, виходить з ладу. Скласти ряд розподілу випадкової величини , яка задає кількість випробувань.

    Розв’язання. Дискретна випадкова величина може набувати нескінченної кількості значень: x₁=1, =2, ..., = k, ... Для знаходження ймовірностей, з якими ці значення набуваються, будемо використовувати теорему множення ймовірностей для незалежних подій. Отже, загальна формула визначення відповідних імовірностей буде такою:

, де р = 0,2,  k = 1, 2, ... .

    Таким чином, ряд розподілу  має вигляд (табл.9.2): 

                                                   Таблиця 9.2 

 
 
 

9.3. Функція розподілу  випадкової величини

та  її властивості 

    Ряд розподілу дискретної випадкової величини є повною ймовірнісною характеристикою цієї величини. Але дискретними випадковими величинами не вичерпуються всі види випадкових величин. Наприклад, ряд розподілу не підходить для опису випадкових величин, які набувають незліченної множини значень. Необхідно ввести універсальну ймовірнісну характеристику, яка годиться для опису будь-якої випадкової величини. Такою характеристикою є функція розподілу випадкової величини.

    Означення 9.4. Функція дійсної змінної , значення якої при кожному значенні аргументу дорівнює ймовірності події , тобто

,     (9.1)

називається функцією розподілу випадкової величини .

     Іноді функцію розподілу називають  інтегральним законом розподілу  випадкової величини.

     Наведемо  властивості функції розподілу випадкової величини.

     1. Функція розподілу  випадкової величини є монотонно неспадна функція.

     Доведення. Для будь-яких випадкова подія включає подію , тоді з властивості 4 ймовірності (лекція 4) випливає . Користуючись означенням 9.4, маємо .

     2.

     Доведення. Розглянемо дві числові послідовності та . Введемо позначення та . Послідовність випадкових подій буде монотонно спадною послідовність і . За аксіомою неперервності маємо

     Послідовність випадкових подій  – монотонно зростаюча, крім того, , тому

     3. Функція розподілу  випадкової величини є неперервною зліва, тобто

     Доведення. Нехай числова послідовність – монотонно зростаюча і . Введемо випадкові події: і . Тоді і послідовність подій “розширюється” до . Отже, . Враховуючи властивість 1 функції розподілу, маємо

.

     Зауваження. Якщо функцію розподілу визначити як , то при такому означенні вона буде неперервною справа.

     4. Область значень функції розподілу  є проміжок  .

     Ця  властивість випливає безпосередньо  з означення 9.4.

     5. Імовірність попадання випадкової величини в проміжок ) можна обчислити за формулою

            (9.2)

     Доведення. Введемо випадкові події , і , тоді подія , причому . За аксіомою скінченої адитивності ймовірності

 або  .

     Звідки

.

     6. В якості проміжку  ) розглянемо елементарний проміжок і застосуємо до нього формулу (9.2), тоді

Звідси випливає

.

     Отже, якщо x – точка неперервності функції розподілу, то і ймовірність . Якщо x – точка розриву функції розподілу, то ймовірність події дорівнює величині стрибка функції розподілу в цій точці.

     Нехай випадкова величина – дискретна, – її можливі значення. Тоді в кожній точці (n=1, 2, …) її функція розподілу має стрибки, величина яких дорівнює

(n= 1, 2, …). Таким чином, функція розподілу дискретної випадкової величини завжди розривна, має скінчену або злічену кількість стрибків у точках можливих значень випадкової величини. У загальному вигляді її можна записати так:

.   (9.3)

     Нехай тепер функція розподілу  деякої випадкової величини – неперервна. Це означає, що ймовірність події дорівнює нуля для всіх , тобто кожне окремо взяте значення не має додатної ймовірності. У цьому випадку можливі значення випадкової величини повністю заповнюють деякий проміжок, а, можливо, і всю числову вісь.

     Розглянемо  на прикладі побудову графіка функції  розподілу дискретної випадкової величини.

    Приклад 9.2. Три рази стріляють по мішені. Імовірність влучення при кожному пострілі дорівнює 0,3. Нехай випадкова величина означає кількість влучень при трьох пострілах. Треба:

    1) скласти ряд розподілу випадкової  величини  ;

    2) записати і побудувати графік  функції розподілу;

3) знайти  ймовірність події А ={кількість влучень буде не менше двох}.

    Розв’язання. 1. При складанні ряду розподілу необхідно знати значення та ймовірності p, з якими ці значення набуваються. За умовою задачі може набувати чотирьох значень: = 0, = 1, = 2, = 3. Імовірності, з якими ці значення набуваються, знайдемо за формулою Бернуллі:

, де k = 0, 1, 2, 3;  p = 0,3.

    Отже, ряд розподілу випадкової величини має вигляд (табл.9.3):

                                                       Таблиця 9.3 

 

    2. Записуємо функцію розподілу, користуючись рядом розподілу:

=