ЛЕКЦІЯ 11 

ЧИСЛОВІ ХАРАКТЕРИСТИКИ ВИПАДКОВИХ ВЕЛИЧИН

Поняття, що вводяться в  лекції

 

     1. Математичне сподівання – expectation.

     2. Дисперсія – dispersion.

3. Середньоквадратичне  відхилення – the square mean deviation.

     4. Медіана – mediana.

     5. Мода – moda.

6. Початковий момент -того порядку – the moment of s-order.

7. Центральний  момент  -того порядку – the central moment of -order.

     8. Унімодальний розподіл – unimodal distribution.

9. Полімодальний розподіл – multimodal distribution.

     10. Коефіцієнт асиметрії – coefficient asymmetry.

     11. Ексцес – excess.

Питання, що розглядаються  в лекції

 

     1. Математичне сподівання випадкової  величини.

     2. Дисперсія випадкової величини.

     3. Моменти випадкової величини.

     4. Мода та медіана випадкової  величини.

     5. Коефіцієнт асиметрії та ексцес  випадкової величини. 

     11.1. Математичне сподівання  випадкової величини 

     Закон розподілу випадкової величини, як би він не був записаний, повністю задає випадкову величину. Однак в деяких прикладних задачах достатньо мати лише деяке сумарне уявлення про найбільш характерні риси розподілу випадкової величини. Для прикладних застосувань теорії ймовірностей важливу роль мають деякі детерміновані (невипадкові) величини, які характеризують деяким чином поведінку випадкових величин. До цих сталих величин належать, перш за все, математичне сподівання, дисперсія, моменти. Введемо означення.

    Означення 11.1. Якщо – дискретна випадкова величина, яка має розподіл

, k = 1, 2,... ,

то її математичним сподіванням називається ряд, який визначається за формулою

     .     (11.1)

     Ряд (11.1) має збігатися абсолютно, в  супротивному випадку кажуть, що випадкова  величина не має математичного сподівання. Абсолютна збіжність ряду потрібна для того, щоб сума ряду (11.1) не залежала від порядку нумерації значень випадкової величини. Якщо величина набуває лише скінчену множину значень, то ряд (11.1) буде скінченою сумою.

    Означення 11.2. Якщо – неперервна випадкова величини, яка має щільність розподілу ймовірностей , то її математичним сподіванням називається величина, яка визначається інтегралом

                                                            (11.2)

за умови, що цей інтеграл збігається абсолютно.

     Математичне сподівання, як числова характеристика випадкової величини, характеризує її середнє значення. Це видно з механічної інтерпретації математичного сподівання. Якщо припустити, що матеріальна точка з абсцисою має масу, що дорівнює ( 2, ..., n), а вся одинична маса розподілена між цими точками, то математичне сподівання задає абсцису центра мас системи матеріальних точок. Якщо ж одинична маса розподілена неперервно на прямій з щільністю , то математичне сподівання можна інтерпретувати як центр тяжіння цієї маси. Наведемо приклади обчислення математичного сподівання випадкових величин.

    Приклад 11.1. За умовою задачі прикладу 9.2 обчислити математичне сподівання випадкової величини , яка задає кількість влучень при трьох пострілах

     Розв’язання. Беручи до уваги ряд розподілу випадкової величини (приклад 9.2) та формулу 11.1, маємо

      0·0,343+1·0,441+2·0,189+3·0,027=0,9.

    Приклад 11.2. В умовах прикладу 10.1 обчислити математичне сподівання неперервної випадкової величини , яка розподілена за законом Сімпсона.

     Розв’язання. У прикладі 10.1 було отримано щільність розподілу випадкової величини

    

     Отже, за формулою (11.2) маємо

     

,

оскільки  інтегрується непарна функція по симетричному проміжку.

     Наведемо  основні властивості математичного  сподівання.

     1. Математичне сподівання сталої  величини дорівнює нулю, тобто  MC= C, де C – будь-яка стала.

     Доведення. Сталу величину можна розглядати як випадкову величину, що набуває тільки одного значення С з імовірністю 1. Отже, за формулою (11.1)

     MC =

=C.

     2. Постійний множник виноситься  за знак математичного сподівання, тобто  .

     Ця  властивість випливає з відповідної  властивості рядів і інтегралів.

     3. Математичне сподівання суми  випадкових величин дорівнює  сумі математичних сподівань  доданків, за умовою, що останні  існують, зокрема для двох доданків  .

     Доведення наведемо для дискретних випадкових величин.

Нехай та – дискретні випадкові величини і , тоді випадкова величина матиме ряд розподілу

, .

Тоді

     

     =

.

     Доведення для неперервних випадкових величин  простіше провести після вивчення теми “Функції від випадкових аргументів”.

     4. Для формулювання наступної властивості  математичного сподівання введемо  поняття незалежних випадкових величин.

     Означення 11.3. Нехай – імовірнісний простір, на якому задані випадкові величини та . Назвемо ці величини незалежними, якщо незалежні події та при будь-яких дійсних значеннях та .

     Незалежність  випадкових величин означає, що

     

.

    Якщо  та незалежні випадкові величини, то

    

.

     Доведення наведемо для дискретних випадкових величин.

     Нехай та – незалежні дискретні випадкові величини, закони розподілу яких задані:

      , n = 1, 2, … ; , k = 1, 2, … .

     Із  незалежності випадкових величин випливає рівність

     

. 

     Із  означення математичного сподівання 11.1 маємо

     

. 

11.2. Дисперсія випадкової  величини 

    На  практиці зустрічаються випадкові величини, які мають однакові математичні сподівання, але відхилення значень від математичного сподівання є зовсім різним. Тому необхідно ввести числову характеристику, яка задає розсіювання випадкової величини навколо математичного сподівання. Такою характеристикою буде дисперсія.

     Означення 11.3. Дисперсією випадкової величини називається математичне сподівання квадрата відхилення цієї величини від її математичного сподівання, тобто

.                                 (11.3)

     Відхилення назвемо центрованою випадковою величиною, яка відповідає величині . Зрозуміло, що . За допомогою центрованої випадкової величини формулу (11.3) можна записати коротше

.

    Для дискретної випадкової величини формула (11.3) розписується так:

     .                       (11.4)

     Зауваження. Помітимо, що ряд (11.4) має тільки додатні члени, тоді він може збігатися і, отже, дисперсія випадкової величини буде скінченою. Цей ряд може розбігатися до , тоді дисперсія величини – необмежена. Отже, дисперсія будь-якої дискретної випадкової величини, як міра розсіювання можливих значень випадкової величини, завжди існує та є або скінченою невід’ємною величиною, або необмеженою. Зрозуміло, що всі ці висновки мають місце при умові існування математичного сподівання випадкової величини .

     Якщо  величина набуває лише скінчену множину значень, то ряд (11.4) буде скінченою сумою.

    Якщо  – неперервна випадкова величина, то формула (11.3) набуває вигляду:

.   (11.5)

     Аналогічне  зауваження можна зробити відносно дисперсії неперервної випадкової величини.

     Дисперсія, з точки зору механічної інтерпретації, дорівнює моменту інерції розподілення одиничної маси відносно центра тяжіння (математичного сподівання) цієї маси.

     Наведемо  основні властивості дисперсії.

     1. Дисперсія сталої величини завжди дорівнює нулю, тобто DC = 0, де C – будь-яка стала.

     Властивість очевидна, оскільки стала величина не має ніякого розсіювання.

     2. Постійний множник виноситься  за знак дисперсії в квадраті, тобто  .

     Доведення. За формулою (11.3) і властивістю 1 математичного сподівання випадкової величини

.

     3. Дисперсія будь-якої випадкової  величини дорівнює

     Доведення. За означенням (11.3)

=

.

     Цю  властивість часто використовують для обчислення дисперсії. Для дискретної випадкової величини вона набуває вигляду:

.

     А для неперервної випадкової величини вона записується так:

    4. Якщо та – незалежні випадкові величини, то

.

     Доведення. Враховуючи попередню властивість дисперсії та властивості математичного сподівання, маємо

=

.

     Наведемо  деякі приклади обчислення дисперсії.

    Приклад 11.3. За умовою задачі прикладу 9.2 обчислити дисперсію випадкової величини , яка задає кількість влучень при трьох пострілах.

     Розв’язання. Беручи до уваги ряд розподілу випадкової величини (приклад 9.2) та властивість 3 дисперсії, маємо

     Приклад 11.4. В умовах прикладу 10.1 обчислити математичне сподівання неперервної випадкової величини , яка розподілена за законом Сімпсона.