ЛЕКЦІЯ 2 

ІМОВІРНІСТЬ ВИПАДКОВИХ ПОДІЙ 

Питання, що розглядаються  в лекції 

     1. Міра вірогідності випадкових  подій.

     2. Класичне означення ймовірності  випадкових подій.

     3. Статистична ймовірність випадкових  подій.

2.1. Міра вірогідності  випадкових подій

 

     Якщо стохастичний експеримент повторювати неодноразово, то можна помітити, що деякі випадкові події з’являються частіше за інших. Щоб якось порівнювати випадкові події з цієї точки зору, треба ввести кількісну міру їх вірогідності, тобто таку кількісну характеристику випадкової події, згідно з якою можна було б казати, що одна випадкова подія більш вірогідна, ніж інша. Цю міру в подальшому називатимемо ймовірністю випадкової події. На жаль не можна навести єдиного означення ймовірності до всіх випадкових подій.

     Розглянемо  такі стохастичні експерименти, які  можна задавати скінченим простором  елементарних подій  . Нехай W={w₁, w₂, ..., w_n}. Алгебра – це множина всіх підмножин простору . Поставимо у відповідність кожному деяке число p_k так, щоб і назвемо його ймовірністю елементарної події . Нехай А – випадкова подія стохастичного експерименту, тобто . Це означає, що , . Подія А відбулася, якщо відбулася принаймні одна з елементарних подій wÎА. За ймовірність появи події А доречно взяти величину . Означена таким способом імовірність появи події А має такі властивості:

1) " АÎF: 0 P(А) £ 1;

2) P( ) = 1;

    3) P( ) = 1 – P(А);

    4) P(Æ) = 0;

    5) P(А В) = P(А)+P(В) – P(А В)

(теорема  додавання ймовірностей);

6) зокрема  для несумісних подій P(А В) = P(А)+P(В);

     7) якщо А Ì В, то P(А) £ P(В),

8) якщо  – повна група подій стохастичного експерименту, то .

2.2. Класичне означення  ймовірності випадкових  подій

 

    Нехай простір W складається із скінченого числа однаково можливих елементарних подій, тобто W={w₁, w₂, ... , w_n}. Однаково можливими вважають такі елементарні події, якщо нема сенсу припускати, що якась із подій буде відбуватися частіше за інші. Наприклад, якщо гральний кубик зроблено з однорідної речовини та витримана повна симетрія його граней, то при киданні кубика, він з однаковою можливістю може впасти на будь-яку з шести граней.

    Внаслідок однакової можливості появи кожної елементарної події логічно вважати, що

P(w₁) = P(w₂) = ... = P(w_n) =

.

    Нехай . Тоді

,                                          (2.1)

де  – число елементарних подій, які сприяють появі події ; – число всіх елементарних подій.

     Означення 2.1. Імовірність випадкової події, яка обчислюється за формулою (2.1), називається класичною ймовірністю.

     Зауважимо, що для класичної ймовірності  справедливі всі властивості 1) – 8).

     Приклад 2.1. Задача про вибір. Нехай є деталей, серед яких – деталей першого сорту, деталей – другого сорту, деталей – - того сорту, тобто . Із всієї партії навмання відбирають деталей. Обчислити ймовірність того (подія ), що серед відібраних деталей – першого сорту, – другого сорту, ... , – - того сорту, тобто .

     Розв’язання. Скористаємось класичним означенням ймовірності. Число всіх результатів експерименту дорівнює , число елементарних подій, які сприяють появі події дорівнює . Отже, ймовірність випадкової події , яка обчислюється за формулою (2.1), дорівнює

     Приклад 2.2. На 20 каналів зв’язку надходить 30 телеграм. Прибуття кожної з них на кожному каналі однаково можливе. Обчислити ймовірність того, що на один із каналів надійде 10 телеграм, на другий – дві, а всі інші розподіляться по різних каналах (подія ).

     Розв’язання. Кількість елементарних подій стохастичного експерименту, який розглядається в задачі, дорівнює , бо кожна телеграма може розміститися на каналах зв’язку двадцятьма способами. Кількість елементарних подій, які сприяють появі події дорівнює Дійсно, кількість способів, якими обираються 10 телеграм із 30, без урахування порядку, дорівнює ; кількість способів, якими обирається якийсь канал з 20 каналів, дорівнює 20; кількість способів, якими обираються 2 телеграми з 20, що залишилися, без урахування порядку, дорівнює ; кількість способів, якими обирається один із 19 каналів, дорівнює 19; 18 телеграм, що залишились, розподіляються по 18 каналах (з урахуванням порядку) 18! способами. Отже, ймовірність випадкової події , яка обчислюється за формулою (2.1), дорівнює

.

     Приклад 2.3. Десятеро пасажирів входять до ліфта шістнадцятиповерхового будинку. Кожен із них має однакову можливість вийти на будь-якому поверсі, починаючи з другого. Знайти ймовірність того, що 3 пасажири вийдуть на п’ятому поверсі, 4 – на одному із поверхів між шостим та десятим поверхами, а останні вийдуть на шістнадцятому поверсі (подія ).

     Розв’язання. Задача розв’язується за тією ж схемою, що попередня (поверхи – канали зв’язку, пасажири – телеграми). Тому кількість можливих результатів стохастичного експерименту в цій задачі дорівнює . Кількість результатів, які сприяють появі випадкової події , дорівнює , тобто спочатку обираємо трьох пасажирів із десяти, не враховуючи порядок, які вийдуть на п’ятому поверсі (способів такого вибору буде ). Поверх вже визначено, тому він обирається одним способом. Далі обираємо чотирьох пасажирів із семи, що залишилися, без урахування порядку (способів такого вибору буде ) і поверх, на якому вони вийдуть (способів такого вибору – 5 ). Останні троє пасажирів вийдуть на останньому поверсі одним способом. Таким чином

.

    Приклад 2.4. На полиці розташовано 20 книг. Їх перемішують і розставляють у довільному порядку. Знайти ймовірність того, що три певних із цих книжок стоятимуть поряд (подія ).

     Розв’язання. Кількість елементарних подій цього стохастичного експерименту дорівнює Для того, щоб обчислити кількість елементарних подій, які сприяють появі події , уявімо книжки, які нас цікавлять, зв’язаними разом. Тоді всіх книжок буде 18 і серед них одна товста, що складається з трьох книжок. Ці 18 книжок можна переставляти 18! способами. Але три книжки, що зв’язані в одну товсту, можна зв’язати 3! способами. Таким чином, число сприятливих події результатів дорівнює

.

2.3. Статистична ймовірність  випадкових подій

 

    Тривалі спостереження над появою чи не появою випадкової події  при дотриманні одного і того ж комплексу умов показують, що для широкого кола подій кількість появ чи не появ підкоряється стійким закономірностям. А саме, якщо ми за позначимо кількість появ події при незалежних випробуваннях, то виявляється, що відношення для достатньо великих у більшості таких серій спостережень зберігає майже постійну величину. Назвемо відношення відносною частотою появи події А. Вперше стійкість частот було виявлено на явищах демографічного характеру. Так вже в давнину було помічено, що для цілих держав і великих міст відношення кількості новонароджених хлопчиків до кількості всіх новонароджених із року в рік залишається майже незмінним. В старому Китаї задовго до нашої ери це число вважалось рівним 0,5. Пізніше, особливо у 17 та 18 сторіччях з’явився ряд фундаментальних праць, присвячених вивченню статистики народонаселення. Виявилось, що крім стійкості у відносному числі народжень хлопчиків та дівчаток, спостерігалися стійкі закономірності і іншого характеру: відсоток смертності у визначеному віці для визначених груп населення ( в залежності від соціальних та матеріальних умов), розподіл людей (визначеної статі, віку та національності) за зростом, довжиною ступні і т. і. У відомій книзі “Досвід філософії теорії ймовірностей” Лаплас розповів про один дуже цікавий епізод, що стався з ним при вивчені закономірностей народження хлопчиків та дівчаток. Численні статистичні матеріали, вивчені їм для Лондона, Петербурга, Берліна та всієї Франції, давали майже точно співпадаючі відношення кількості народжених хлопчиків до кількості всіх народжених. Всі ці відношення коливались протягом десятиріч біля одного і того ж числа, яке приблизно дорівнює . В той же час дослідження статистичних матеріалів аналогічного характеру по Парижу за 40 років (із 1745 до 1784) приводило до іншого числа. . Лапласа зацікавила ця суттєва різниця. Він почав шукати для неї раціональне пояснення. При детальному вивчені архівних матеріалів виявилося, що загальна кількість народжень по Парижу включало також всіх підкидьок. Виявилось також, що околишнє населення підкидало в основному новонароджених однієї статі, а саме дівчаток. Коли Лаплас включив до загальної кількості всіх народжених підкидьок, то відношення кількості народжених хлопчиків до кількості всіх народжених по місту Парижу співпало з аналогічним відношенням по всіх інших містах і по всій Франції в цілому.

    З часів Лапласа накопичено багато статистичних матеріалів, які дозволяють з великою впевненістю розраховувати наперед кількісні характеристики суспільно важливих демографічних явищ. Той факт, що при великій кількості випробувань, для ряду випадкових подій відносна частота залишається майже незмінною, примушує нас припустити, що існують незалежні від дослідника закономірності протікання явищ, виявлення яких і полягає в зазначеній сталості відносної частоти. Та обставина, що для подій, до яких можна застосовувати класичне означення ймовірності, відносна частота при великій кількості випробувань, як правило, близька до ймовірності, примушує вважати в загальному випадку, що існує деяка стала, навколо якої коливається ця частота. Цю сталу, що є об’єктивною числовою характеристикою появи події, природно назвати ймовірністю випадкової події, що досліджується. Таким чином ми прийшли ще до одного означення ймовірності.

     Означення 2.2. Статистичною ймовірністю випадкової події А називається число , що дорівнює відносній частоті появи цієї події при проведені серії з n експериментів, тобто

.

    Таке  означення ймовірності випадкової події інколи викликає недовіру, аргументоване  тим, що відносна частота появи випадкової події може змінюватися при проведенні різних експериментів. Але коли людині пропонують виміряти довжину якогось відрізка за допомогою лінійки, ні в кого не виникає сумніву в тому, що це можна зробити. Нікого не хвилює той факт, що якщо провести теж саме вимірювання більш досконалим вимірювальним пристроєм, то можна отримати інший результат. Справа полягає в точності вимірювання. Аналогічно треба відноситись і до статистичного означення ймовірності випадкової події.

    Зауважимо, що існує інша точка зору на статистичне  означення ймовірності випадкової події. В деяких підручниках пропонується за статистичну ймовірність випадкової події вважати границю послідовності відносних частот, яка виникає при проведені різних серій випробувань. Але з точки зору математичного аналізу в цьому означенні є деяке непорозуміння. Воно полягає в тому, що не можна отримати всі члени послідовності відносних частот, тобто не можна задати правила, за яким отримується довільний член цієї послідовності. Це означає, що не можна визначити границю послідовності, яку неможливо побудувати.

     З означення 2.2. випливають такі властивості статистичної ймовірності: