Лекции по "Алгебре"

     Розв’язання. Знаючи щільність розподілу ймовірностей випадкової величини та математичне сподівання , за формулою (11.5) маємо

    Розмірність математичного сподівання співпадає  з розмірністю випадкової величини, а розмірність дисперсії – ні. Для того, щоб розмірність характеристики розсіювання була така сама, як розмірність випадкової величини, вводять середньоквадратичне відхилення ( або стандартне відхилення)

. 

11.3. Моменти випадкової  величини 

     Поняття моменту в механіці використовують для характеристики розподілу мас. Аналогічно в теорії ймовірностей вводиться  поняття моментів випадкової величини для опису властивостей розподілу ймовірностей. Дамо означення початкових та центральних моментів випадкової величини.

     Означення 11.4. Початковим моментом порядку s випадкової величини називається математичне сподівання s – го степеня цієї величини:

.

     Очевидно, що , тобто перший початковий момент співпадає с математичним сподіванням.

     Якщо  – дискретна випадкова величини, яка має розподіл , k = 1, 2,... , то її початкові моменти обчислюють за формулою

    

.

     Якщо  – неперервна випадкова величини, яка має щільність розподілу ймовірностей , то її початкові моменти знаходять так:

     Доведення цих формул краще провести після  вивчення теми “Функції від випадкових аргументів”.

     Означення 11.5. Центральним моментом порядку s випадкової величини називається величина

.

     Очевидно, що , .

     Якщо  – дискретна випадкова величини, яка має розподіл , k = 1, 2,... , то її центральні моменти обчислюють за формулою

    

.

     Якщо  – неперервна випадкова величина, яка має щільність розподілу ймовірностей , то її центральні моменти знаходять так:

     Між початковими та центральними моментами  неважко встановити зв’язок. А саме

.

     Наприклад,

, ,

.

     Надалі  деякі моменти будемо використовувати  при вивченні розподілу випадкових величин та в математичній статистиці. 

11.4. Мода та медіана  випадкової величини 

     Означення 11.6. Модою дискретної випадкової величини називається її найбільш імовірне значення, тобто таке значення , ймовірність якого – найбільша.

     Означення 11.7. Модою неперервної випадкової величини називається абсциса точки максимуму щільності розподілу .

     Означення 11.8. Розподіл випадкової величини називається унімодальним, якщо він має одну моду, та полімодальним, якщо він має декілька мод.

     Якщо  щільність розподілу ймовірностей не має максимуму, а має мінімум, то такий розподіл іноді називають антимодальним. Прикладом антимодального розподілу є “закон арксинусу” з щільністю розподілу

     Означення 11.9. Медіаною випадкової величини (як правило неперервної) називається таке значення , для якого

.

     Отже, медіана характеризує таке значення випадкової величини, що ймовірність набути значення менше за медіану та ймовірність набути значення більші за медіану, дорівнюють між собою. Інакше кажучи, медіана – це абсциса точки, яка поділяє площу під кривою розподілу на рівні частини.

     Приклад 11.5. Знайти моду та медіану неперервної випадкової величини , щільність розподілу якої має вигляд

     Цей розподіл є розподіл Релея.

     Розв’язання. Для визначення моди випадкової величини знайдемо максимум функції при .

= 0, якщо  .

     Легко перевірити, що саме в точці  буде максимум. Отже, мода розподілу Релея дорівнює .

     Медіану випадкової величини знайдемо з умови  

     Із  рівняння маємо . 

11.5. Коефіцієнт асиметрії  та ексцес випадкової  величини 

     Означення 11.10. Коефіцієнтом асиметрії випадкової величини називається число

     Коефіцієнт  асиметрії є безрозмірна характеристика випадкової величини, яка визначає асиметрію розподілу цієї величини. Якщо , то крива розподілу випадкової величини симетрична відносно математичного сподівання. Якщо , то маємо праву асиметрію, тобто з переважною ймовірністю випадкова величина набуває значення, що розташовані правіше від її математичного сподівання, а якщо , то маємо ліву асиметрію закону розподілу.

     Означення 11.11. Ексцесом випадкової величини називається число

     Ексцес  характеризує крутість кривої розподілу випадкової величини . За еталонну криву розподілу вибирається крива Гаусса (нормальна крива), яка буде розглянута в лекції 13. Для неї Якщо для деякої випадкової величини , то її крива розподілу має крутість більше ніж крива Гаусса та пік – вище. Якщо , то крива розподілу такої випадкової величини більш полога в порівнянні з нормальною кривою.