Реализация эвристического обучения на уроках математики в основной школе

Весят два пустых бочонка.

Шустрый пес без акробата

Весит два мотка шпагата.

А с одним мотком ягненок

Весит, видите, бочонок.

Сколько весит акробат 

В пересчете на ягнят?

Решение. Изобразим условие задачи наглядно, обозначив акробата буквой А, собачонка буквой С, ягненка буквой Я, бочонки и мотки шпагата соответствующими изображениями (рис. 6).

 

Рис. 6

 

Элементы из третьего равенства переставим в первое условие, заменив каждый бочонок ягненком с мотком шпагата.

В равенство А+С=Я+ +Я+ подставим  элементы второго условия, т.е. заменим  два мотка шпагата собаченкой.

 

А+С=2Я+С

 

Итак, А = 2Я, акробат весит столько же, сколько и два ягненка. Задача решена.

Задача 1. Алеша и Боря вместе весят 82 кг, Алеша и Вова весят 83 кг, Боря и Вова весят 85 кг, Сколько  весят вместе Алеша, Боря и Вова?

Задача 2. Четверо купцов имеют некоторую сумму денег. Известно, что сложившись без первого, они соберут 90 рублей; сложившись без второго – 85 рублей; сложившись без третьего – 80 рублей; сложившись без четвертого – 75 рублей. Сколько у кого денег?

Задача 3. Бегемот весит  в 2 раза меньше, чем слон и в 4 раза больше, чем жираф, а жираф на 450 кг больше весит, чем зебра. Какой вес имеет каждое из названных животных, если зебра весит в 30 раз меньше, чем бегемот и слон вместе?

Задача 4. Помещик, рассчитав, что корова стоит вчетверо дороже собаки, а лошадь вчетверо дороже коровы, захватил с собой в город 20 рублей и на все эти деньги купил собаку, две коровы и лошадь. Сколько стоит каждое из купленных животных?

Задача 5. Сколько человек  в бригаде, если средний возраст  всех членов бригады 25 лет, бригадиру 45 лет, средний возраст членов бригады без бригадира 23 года?

Задача 6. Лев старше дикобраза  в два с половиной раза. По сведениям  удода тому назад три года. В  семь раз лев старше был, чем дикобраз. Учтите все и взвесьте сколько  же им вместе? Позвольте мне спросить у вас.

Задача 7. – Я на два года старше льва, - сказала мудрая сова.

- А я в два раза  младше вас, - сове ответил дикобраз.

Лев на него взглянул и  гордо молвил, чуть наморща нос:

- Я старше на четыре  года, чем вы почтенный иглонос.

А сколько всем им вместе лет? Проверьте дважды свой ответ.

Задача 8. Объем двух кадушек  равен объему большой и маленькой  канистры. Объем маленькой канистры равен объему двух фляжек. А объем  одной фляжки и бочонка равен  объему одной кадушки. Сколько потребуется  бочат, чтобы перелить в них воду из большой канистры?

Прием разбиения  задачи на части.

В случае, когда в задаче можно выделить такие части, которые  составляют самостоятельные задачи, то можно сформулировать их отдельно в виде подзадач и решить по очереди.

Задача. Заспорили три мудреца о том, кто из них самый мудрый. Наконец, они обратились к судье, славившемуся своей мудростью. «Скажи нам, справедливейший из судей, кто из нас самый мудрый?»

Задумался судья, а потом  и говорит: «Вот перед вами лежат 5 тюбетеек: 3 из красного бархата, а 2 - из черного. Сейчас вам завяжут глаза и наденут тюбетейки на головы. Когда повязки с ваших глаз снимут, самый мудрый из вас скажет, какая тюбетейка у него на голове».

Так и сделали. Сняли  повязки с глаз: видит каждый перед  собой красные тюбетейки на головах товарищей, а какая на своей голове - не знает. Наконец, один мудрец сказал: «О справедливейший из судей! Ты велел надеть на меня красную тюбетейку».

«Вот ты и есть самый  мудрый из вас троих» - решил судья.

Как мудрец догадался, что  на нем красная тюбетейка?

Решение. Так как всего было 5 тюбетеек:

3 красные и 2 черные, то возможны три различных  варианта:

а) на трех мудрецов надели 2 черные и 1 красную тюбетейку;

б) на трех мудрецов надели 1 черную и 2 красные тюбетейки;

в) на трех мудрецов надели 3 красные тюбетейки.

Каждый случай можно  рассмотреть отдельно. Причем любая  предыдущая подзадача помогает разобраться  в последующей подзадаче.

В случае а) кто-то из мудрецов увидел бы или 2 черные тюбетейки (если на нем самом была красная), или 1 черную (если на нем была черная). А это противоречит условию, где сказано, что каждый увидел только красные тюбетейки.

В случае б) любой из собратьев  обладателя черной тюбетейки увидел бы ее. А это тоже противоречит условию.

Остается случай в). К  нему можно прийти без всяких дополнительных рассуждений.

Но тот, кто догадался  о цвете своей тюбетейки, не знал, что каждый из спорщиков увидел только красные тюбетейки. Он мог предполагать, что на нем - черная. Но ему подсказало верный ответ молчание товарищей. Если бы кто-то из них увидел два черных головных убора, то сразу бы дал верный ответ относительно себя. Но молчание обоих свидетельствовало о том, что любой из них сомневался относительно того, какая тюбетейка у него на голове. А это могло быть только тогда, когда каждый увидел две красные тюбетейки.

Задача 1. Утомившись от споров и летнего зноя, три древнегреческих  философа прилегли немного отдохнуть  под деревом сада Академии и уснули. Пока они спали, шутники испачкали  углём их лбы. Проснувшись и взглянув друг на друга, все пришли в весёлое настроение и стали смеяться, но это никого не тревожило, так как каждому казалось естественным, что двое других смеются друг над другом. Внезапно один из мудрецов перестал смеяться. Так как он сообразил, что его собственный лоб также запачкан. Как он рассуждал?

Задача 2. У падишаха было трое мудрецов, но мудрецы всегда давали ему разные, часто противоречивые советы. Тогда падишах решил узнать, кто из этих мудрецов самый умный, чтобы прислушиваться к его советам. Созвав своих мудрецов, падишах показал им 5 тюбетеек: 3 чёрные и 2 белые. Завязав каждому мудрецу глаза, падишах велел надеть им на головы тюбетейки:

1) одному чёрную, двум  другим белые,

2) двум чёрные, одному  белую;

3) всем трём по чёрной.

Каждый мудрец видит  только тюбетейки у своих товарищей, но не видит своей. Кто из мудрецов может сказать, какого цвета на нём тюбетейка в каждом из трёх случаев? Как будут рассуждать мудрецы? Какой случай: 1), 2) или 3) падишах должен был использовать для определения наимудрейшего?

Задача 3. У падишаха было пять мудрецов. Им показали 3 белых и 4 чёрных тюбетейки. Какие тюбетейки нужно одеть на них в темноте, чтобы определить наимудрейшего (см. предыдущую задачу)?

Задача 4. У падишаха было три мудреца. Им показали 3 чёрных и 3 белых тюбетейки. В темноте на них надели 2 чёрных и 1 белую тюбетейки. Может ли кто-нибудь из мудрецов определить цвет своей тюбетейки ?

Задача 5. У падишаха было 8 мудрецов. Им показали 5 красных, 4 чёрных и 2 белых тюбетейки. В темноте  на них надели 4 красных и 2 белых  тюбетейки. Может ли кто-нибудь из мудрецов определить цвет своей тюбетейки?

Итак, резюмируя вышеизложенное, отметим: во-первых, на уроках математики в 5-6-х классах может проходить  работа по формированию следующих эвристических  приёмов:

- работа с гипотезами (выдвижение, проверка, анализ);

- моделирование проблемной  ситуации;

- прием конкретизации  проблемной ситуации;

- прием переструктурирования  задачи;

- прием разбиения задачи  на части.

Во-вторых, одним из важнейших  средств формирования приёмов эвристической  деятельности учащихся 5-6-х классов могут служить творческие задачи, способствующие развитию творческого мышления.

Обучение по данной системе  задач может осуществляться либо на специальных занятиях в виде факультатива по развитию творческого мышления, либо в рамках обучения математики.

 

2.3. Результаты экспериментальной  работы по реализации эвристического  обучения школьников на уроках  математики в 5-6классах.

Во время прохождения моей преддипломной практики был проведен педагогический эксперимент по внедрению эвристических приемов, методов и заданий в учебный процесс в 5-6 классах Оерской СОШ Джидинского района. Нами была разработана программа экспериментальной деятельности по организации ЭО математике в 5-6 классах. Нашей целью являлось теоретически обосновать и экспериментально проверить (апробировать) программу эвристического обучения на уроках математики в основной школе, включающей в себя разработку системы задач, позволяющих сформировать эвристические приемы. Основными задачами педагогического эксперимента выступали:

1) выявить основные закономерности, принципы и приемы организации эвристического обучения на уроках математики у учащихся 5-6 классов;

2) разработать программу эвристического обучения на уроках математики 5-6 классов;

3) разработка сборника эвристических задач с решениями для 5-6 классов для учителей математики и родителей.

Основными направлениями  экспериментальной работы являлись:

1) отбор, адаптация  к образовательным целям эвристических  методов и приемов обучения  и их применение на уроках  математики (математика 5-6 кл.) а именно: метод эвристической беседы, эвристического исследования, частично-поисковый медот. «Если бы…», придумывания, метод агглютинации, «Если бы……», метод проектов; а также исторические экскурсы, составление опорных сигналов, проведение игр и индивидуальных работ над ошибками;

2) использование на  уроках математики нами разработанных  или отобранных и адаптированных  к дидактическим целям эвристических  задач;

3) обоснование инвариантных  структурных элементов эвристических  уроков и требований к деятельности учителя по их реализации;

4) проведение вводной  и итоговой контрольных работ  в 6 классах, с использованием  различных задач.

5) проведение вводного анкетирования, опросов, бесед с учителями, анализ и математическая обработка полученных данных;

5) подведение итогов  экспериментальной работы и выявление  организационно-педагогических условий  эффективной реализации ЭО.

В проведении основной части  эксперимента участвовали 2 класса, в  одном из которых процесс обучения математике проходил по традиционным методикам (6 класс Тохойская СОШ), а в учебную работу с другим классом (6 класс Оерская СОШ) были внедрены и реализованы разработанные приемы и методы эвристического обучения математике.

Задания контрольной  работы №1

1. Поставьте вместо звездочек цифры:

  59,27

+**,45

  78,*3

182,1*

2. У щенят и утят вместе 44 ноги и 17 голов. Сколько щенят и сколько утят?
3. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

б) Аня никогда  не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист  и лучший художник?

Решения:

1.     59,27

+44,45

  78,43

182,15

2. 1. 12*2 = 24 ноги у утят

2. 5*4 = 20 лап у щенят

3. 24+20 = 44 ноги всего

4. 12+5 = 17 всего голов

Ответ: 12 утят и 5 щенят

3.  Аня – шахматист, т.к. по условию задачи дано, что она никогда не проигрывала мальчикам. Художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря, значит, художник Олег.  А Игорь – математик.

Ответ: Аня – лучший шахматист, Олег – лучший художник, Игорь – лучший математик.

Результаты входной контрольной работы в решении эвристических задач.

Таблица 1

Контрольный класс    Экспериментальный класс

	Ученики  Тохойской ООШ	оценка
1	Алина Ч.	5
2	Дарима Т.	5
3	Надежда Ж.	5
4	Алексей Ж.	5
5	Норжима К.	4
6	Кристина Т.	4
7	Зоя Т.	4
8	Бэлигто Б.	3
9	Юлия А.	3
	Итого средний балл:	4,2

	Ученики Оерской СОШ	оценка
1	Маргарита П.	5
2	Сэсэг Б.	5
3	Ксения К.	5
4	Юрий П.	5
5	Роман К.	5
6	Оксана Б.	4
7	Олег К.	4
8	Анатолий С.	3
9	Эрдэм Ч.	3
	Итого средний балл:	4,3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

С учениками 6-ых классов было проведено анонимное анкетирование (вводное и итоговое) с целью выявления образовательного эффекта от педагогического эксперимента (см. Приложение 3). Результаты анкетирования показывают, что элементы эвристического обучения практически не известны 80% школьников 6 классов. Но респонденты проявили бы повышенный интерес к урокам математики, если бы на уроках применяли  формы ЭО:  знания не предлагаются в готовом виде, их нужно добывать самостоятельно; учитель организует не сообщение или изложение информации, а поиск новых знаний с помощью разнообразных средств (компьютера,  ребусов, головоломок), где учащиеся под руководством учителя самостоятельно рассуждают, решают возникающие познавательные задачи, создают вместе с учителем и разрешают проблему, анализируют, сравнивают, обобщают, делают выводы и т. д. По мнению 90% опрошенных учеников эвристические уроки проводятся очень редко. 90% респондентов пожелало, чтобы эвристические приемы и методы были включены в процесс обучения математике.