Реализация эвристического обучения на уроках математики в основной школе

Что же известно про Степана? Степан не живет в Туле (там живет Иван) и не живет в Москве (там живет Дмитрий), следовательно, Степан живет в Новгороде - проведем сплошную линию. Но тот, кто живет в Новгороде, преподает химию - эта линия тоже сплошная. Так появляется третий треугольник из сплошных линий.

Ответ указан на графе  треугольниками. Задача решена.

4. Приемы моделирования  с помощью блок-схемы.

Если в задаче необходимо рассмотреть различные варианты ситуации, проанализировать их и сделать  соответствующие выводы, такую ситуацию можно наглядно представить блок-схемой, где каждый шаг в рассуждении выделен отдельным блоком (прямоугольником).

Задача. На некотором острове отдельными селениями живут «правдолюбы» и «шутники». «Правдолюбы» всегда говорят только правду, а «шутники» постоянно шутят, а поэтому всегда лгут. Жители одного племени бывают в селении другого племени, и наоборот. В одно из селений попал путешественник, но не знает в какое. Доказать, что путешественнику достаточно первому встречному задать вопрос: «Вы местный?», чтобы по ответу определить, в селении какого племени он находится.

Решение. Путешественник может попасть или в селение «правдолюбов», или в селение «шутников» - появляются два различных варианта. В селении «правдолюбов» путешественник может встретить как «правдолюба», так и «шутника». Аналогично, в селении «шутников» путешественник может встретить как «шутника», так и «правдолюба». Возможных вариантов стало уже четыре (рис. 5).

 

Рис. 5

 

Блок-схема позволяет  их представить наглядно и заметить, что положительный ответ в  любом случае возможен только в селении «правдолюбов», а ответ «нет» - только в селении «шутников».

На этих примерах моделей (полупрямая с точками, таблица, граф, блок-схема) отчетливо видна «главная эвристическая функция» моделей (Д.Б. Богоявленская [6] – порождающая, т.е. с модели «как бы считывается тот или иной принцип решения (идея, гипотеза, концепция)».

Задача 1. Жители города А говорят только правду, жители города Б – только ложь, а жители города В – попеременно правду и ложь (то есть из двух утверждений, высказанных ими, одно истинно, а другое ложное).

Дежурному по пожарной части  по телефону сообщили:

- У нас пожар, приезжайте  скорее!

- Где? – спросил  дежурный.

- В городе В, - ответили  ему.

Куда должна ехать  пожарная машина?

Задача 2. На четырех полках стояло 264 книги. Когда с первой полки  сняли 16, со второй переставили на третью 15, а на четвертую поставили 12 книг, то на всех полках книг оказалось поровну. Сколько книг было на каждой полке первоначально?

Задача 3. Купили 60 тетрадей, причем тетрадей в клетку было в  два раза больше, чем тетрадей в  линейку. Сколько частей приходится на тетради в линейку; на тетради  в клетку; на все тетради? Сколько  купили тетрадей в линейку? Сколько в клетку?

Задача 4. Мама дала своим  детям конфеты: дочери половину всех конфет и еще одну конфету, сыну половину остатка и еще 5 конфет. Сколько  всего конфет мама дала детям?

Задача 5. В нашем классе есть певцы и танцоры. Известно, что 1/5 всех певцов еще и танцует, а 1/4 танцоров еще и поет. Кого у нас в классе больше: певцов или танцоров?

Задача 6. Летит стая гусей  и навстречу ей один гусь.

- Здравствуйте сто  гусей! – сказал гусь.

- Нас не сто, - ответил  вожак стаи. – Вот если бы  нас было еще столько, да полстолька, да четверть столько, да еще один гусь – вот тогда бы нас было сто гусей.

Сколько гусей было в  стае?

Задача 7. В соревнованиях  по гимнастике Аня, Галя, Лера и Наташа заняли первые четыре места. Определите, кто какое место занял, если известно, что Галя вторая, Наташа, хоть и не стала победителем, но в призеры попала, а Лера проиграла Ане.

Задача 8. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся  молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что

- вода и молоко не  в бутылке;

- сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом;

- в банке не лимонад  и не вода;

- стакан стоит между  банкой и сосудом с молоком.

В каком сосуде находится  какая из жидкостей?

Задача 9. Алеша, Боря и Витя учатся в одном классе. Один ездит домой из школы на автобусе, другой - на трамвае, третий - на троллейбусе. Однажды, после уроков, Алеша пошел проводить друга до остановки автобуса. Когда мимо них проходил троллейбус, третий друг крикнул из окна: «Боря, ты забыл в школе тетрадь!» Кто начем ездит домой?

Прием конкретизации  задачи.

Прием конкретизации  задачи «состоит в нахождении более  частной задачи путем введения дополнительных видовых свойств явлений и  конкретных примеров общей задачи» (И.И. Ильясов [19]). Рассмотрим этот прием  на конкретных примерах задач.

Задача. Три ученицы - Галя, Лида и Наташа - в соревнованиях по гимнастике заняли три первых места. Когда же девочек спросили, кто из них занял первое место, они ответили так:

Галя: Я заняла первое место.

Лида: Я заняла не первое место.

Наташа: Я заняла не третье место, однако, вы учтите, что один из ответов моих подруг правильный, а другой - неправильный.

Кто занял в соревнованиях  первое место, если Наташин ответ  во всем правдив?

Решение. Итак, Наташин ответ правдив, значит, Наташа заняла не третье место, а первое или второе. Проанализируем ответы других девочек. Галя сказала, что заняла первое место. Правдив ли ее ответ? Это не известно. Конкретизируем задачу: пусть Галя сказала правду. Тогда Галя заняла первое место. В этом случае по условию задачи, Лида сказала неправду. Т.е. не верно, что Лида заняла не первое место. Следовательно, Лида заняла первое место. Но тогда получилось, что и Галя, и Лида заняли первое место, что противоречит условию. Выполним конкретизацию по-другому: пусть Галя сказала неправду. Т.е. неверно что, что Галя заняла первое место. Следовательно, Галя заняла второе или третье место. Тогда, в соответствии с условием задачи, известно, что Лида сказала правду, т.е. Лида также заняла не первое место, а второе или третье. Тогда получим, что первое место заняла сама Наташа.

Используем прием конкретизации  в более сложных задачах.

Задача. Четыре ученицы - Мария, Нина, Ольга и Поля - участвовали в лыжных соревнованиях и заняли четыре первых места. На вопрос, кто какое место занял, они дали три разных ответа:

1) «Ольга заняла первое  место, Нина - второе»;

2) «Ольга - второе, Поля - третье»;

3) «Мария - второе, Поля  – четвертое».

Отвечавшие при этом признали, что одна часть каждого  ответа верна, а другая - неверна. Какое  место заняла каждая из учениц?

Решение. Проанализируем ответы девочек.

1) «Ольга заняла первое  место, Нина - второе».

Что здесь истина? Неизвестно. Конкретизируем условие: пусть первая часть ответа - истина, а вторая часть - ложь. Исходя из этого, запишем предполагаемые истинные и ложные высказывания в табл. Теперь легко видеть, что в правом столбце таблицы оказалось два противоречивых утверждения: Ольга и Нина не могут одновременно занимать второе место. Значит, хотя бы одно из этих высказываний действительно ложное.

 

Истина	Ложь
Ольга - I место; Поля -III место; Мария - II место	Нина - II место; Ольга -II место; Поля - IV место

 

Но никаких противоречий мы не видим в левой колонке. Это  помогает нам быстро получить решение. Итак, в левой колонке отражены истинные места, завоеванные девочками, а Нине осталось четвертое место.

Строго говоря, это  решение неполное, так как мы не доказали, что других ответов быть не может. Для этого надо продолжить конкретизацию. Предположим, что первая часть ответа 1) неверна. Это означает, что верно следующее предположение:

«Ольга заняла не первое место, а Нина - второе». Но тогда  ложна первая часть ответа 2), а  значит, то, что Поля на третьем месте - истина. Но тогда из ответа 3) получится, что Мария - на втором месте, как и  Нина. А это противоречит условию задачи.

Других конкретизаций  рассматривать нет смысла, так  как любая конкретизация предложения 2) или 3) диктует истинность или ложность первой или второй части в предложении 1), которые уже обеспечили получение  ответа. Значит, найденный ранее ответ единственный.

Задача 1. Четверо ребят  – Игорь, Сережа, Миша и Юра –  играли во дворе в футбол и разбили  окно.

- Кто разбил окно? –  спросила тетя Даша.

- Окно разбил или  ваш Юра, или Миша, - сказал Сережа.

- Я окно не разбивал, - возразил Юра.

- Это сделал Миша, - сказал Игорь.

- Нет, Игорь, ты ошибся, - заметил Миша.

- Ну, что задали они  тебе задачу? – сказал дядя  Вася, наблюдавший эту беседу. –  Могу еще добавить, что трое  из этих футболистов всегда  говорят только правду. А вот  четвертого я плохо знаю.

Кто разбил окно? С кем  из ребят дядя Вася был мало знаком?

Задача 2. Одним из трех братьев поставил на скатерть кляксу.

- Кто испачкал скатерть? – спросила бабушка.

- Витя не ставил  кляксу, - сказал Алеша. – Это  сделал боря.

- Ну, а ты что скажешь?  – спросила бабушка Борю.

- Это Витя поставил  кляксу, - сказал Боря. – А Алеша  не пачкал скатерть.

- Так я и знала,  что вы друг на дружку сваливать  будете, - рассердилась бабушка. –  Ну, а какой твой ответ? –  спросила она Витю.

- Не сердись, бабуля! Я знаю, что Боря не мог это сделать. А я сегодня не готовил уроки, - сказал Витя.

Оказалось, что двое мальчиков  в каждом из двух своих заявлений  сказали правду, а один оба раза сказал неправду. Кто поставил на скатерть кляксу?

Задача 3. Кто украл  чемодан? Один из четырех гангстеров украл чемодан с деньгами. На допросе Алекс сказал, что чемодан украл Луи, Луи утверждал, что виновник Том, Том заверял следователя, что Луи лжет. Жорж настаивал только на том, что он не виноват. В ходе следствия выяснилось, что только один из гангстеров сказал правду. Кто?

Задача 4. Кто участвовал в ограблении? Известно, что из шести гангстеров ровно двое участвовали в ограблении. На вопрос, кто участвовал в ограблении, они дали следующие ответы:

Гарри: Чарли и Джордж.

Джеймс: Дональд и Том.

Дональд: Том и Чарли.

Джордж: Гарри и Чарли.

Чарли: Дональд и Джеймс.

Поймать Тома не удалось. Кто участвовал в ограблении, если известно, что четверо из гангстеров верно назвали одного из участников ограбления, а один назвал неверно  оба имени?

Задача 5. Дело Брауна, Джонса и Смита. Один из них совершил преступление. В процессе расследования каждый из них сделал по два заявления:

Браун: 1. Я - не преступник. 2. Джонс - тоже.

Джонс: 1. Браун - не преступник. 2. Преступник - Смит.

Смит: 1. Преступник - Браун. 2. Я - не преступник.

В процессе следствия  было установлено, что один из них  дважды солгал, другой дважды сказал правду, а третий - один раз солгал и один раз сказал правду. Кто совершил преступление?

Задача 6. В царстве  царя Гороха прошла молва, что убит, наконец-то, Змей-Горыныч. Царь Горох знал, что это мог сделать один из богатырей русских: Илья Муромец, Добрыня Никитич, или Алеша Попович. И, призвав их на двор свой, стал царь спрашивать. Трижды каждый богатырь речь держал и сказали они так: Илья Муромец:

1) Не я убил Змея  Горыныча.

2) Я уезжал в заморские  станы.

3) Змея Горыныча убил  Алеша Попович.

Добрыня Никитич:

1) Змея Горыныча убил  Алеша Попович.

2) Если бы я убил  его, то не сказал бы.

3) Много еще нечистой  силы осталось.

Алеша Попович:

1) Не я убил Змея Горыныча.

2) Я давно ищу какой  бы подвиг совершить.

3) И взаправду уезжал  Илья Муромец в заморские страны.

Кто убил Змея, если только два раза сказал каждый богатырь правду, а один раз слукавил?

Задача 7.. Браун, Джонс и Смит - свидетели ограбления банка. Браун показал, что преступники скрылись на синем «Бьюике». Джонс утверждал, что это был черный «Крайслер», а Смит, что это был «Форд», но не синий. По рассеянности, каждый из них указал правильно либо только марку, либо только цвет машины. На какой машине уехали преступники?

Прием переструктурирования задачи.

Прием переструктурирования задачи, по словам И.И. Ильясова [19] заключается  в изменении «расположения уже  имеющихся элементов как путем  извлечения соотношений между ними в новой диспозиции, так и перестановкой или перегруппировкой этих элементов».

Рассмотрим прием переструктурирования явлений за счет перестановки элементов.

Задача.

Акробат и собачонка