Реализация эвристического обучения на уроках математики в основной школе

Задача 7. В гостиницу  приехал путешественник. У него была цепочка из 7 звеньев. За каждый день пребывания в гостинице он должен расплатиться одним звеном цепочки, но при этом хозяин гостиницы предупредил, что согласен взять не более одного распиленного звена. Какие звенья надо распилить, чтобы прожить в гостинице 7 дней и ежедневно расплачиваться с хозяином?

Решение. Следует распилить  третье звено. При этом цепочка распадется на куски, состоящие из одного, двух и четырех звеньев. В первый день он должен отдать одно звено, во второй - два звена, получив при этом в сдачу одно, в третий день вновь одно звено, в четвертый - четыре звена и получить в сдачу обрывки в одно и два звена и далее повторить операции первых трех дней.

Задача 8. Как пересечь пустыню? Путешественник должен пройти по пустыне 80 км. За один день он проходит 20 км и может нести запас пищи и воды на 3 дня. Поэтому он должен делать промежуточные станции с запасами пищи и воды. Может ли он пересечь пустыню за 6 дней?

Задача 9. В бутылке, стакане, кувшине и банке находятся молоко, лимонад, квас и вода. Известно, что вода и молоко не в бутылке, сосуд с лимонадом стоит между кувшином и сосудом с квасом, в банке не лимонад и не вода. Стакан стоит около банки и сосуда с молоком. В какой сосуд налита каждая из жидкостей?

Задача 10. В некотором  стаде сороконожек и трехголовых  драконов всего 26 голов и 298 ног. У  каждой сороконожки одна голова. Сколько  ног у трехголового дракона?

Задача 11. Три поросенка построили три домика из соломы, из прутьев и из камней. Каждый из них получил один домик: Ниф-Ниф – не из камней и не из прутьев, Нуф-Нуф не из камней. Объясните, какой домик достался Наф-Нафу?

Задача 12. Три брата – Ваня, Саша и Коля – учились в разных классах одной школы. Ваня был не старше Коли, а Саша – не старше Вани. Назови имя самого старшего из братьев, среднего и младшего.

 

 

Приемы моделирования.

По определению Л.М. Фридмана «моделью некоторого объекта А (оригинала, прототипа) называется объект В, в каком-то отношении подобный (аналогичный) оригиналу А, но отличающийся от него». В нашем случае целью построения модели является «замена А в некотором мысленном (воображаемом) или реальном действии, исходя из того, что В более удобно для этого действия в данных условиях. Иными словами, при решении задач мы будем использовать модели - заместители. А моделированием Л.М. Фридман называет «особую деятельность по построению или выбору модели...». Все обучение математике связано с изучением различных математических моделей: число, функция, уравнение, геометрические фигуры и т.д. Однако, работая с моделями, изучая их, учащиеся не осознают свою деятельность в этом аспекте. Необходимо «явное введение в содержание обучения понятий... модели и моделирования»; учащиеся должны осознавать сущность и роль моделирования в математике и не только в ней. Школьники должны сами строить модели, сами изучать какие-то явления с помощью моделирования. Это «существенно меняет отношение школьников к учебным занятиям, делает их учебную деятельность более осмысленной и продуктивной». В 5-6-х классах мы предлагаем обучение приемам моделирования на таких доступных и понятных школьникам примерах, как таблицы, схемы, графы и др. Эти примеры имеют, быть может, не столько математическое, сколько общеинтеллектуальное, эвристическое значение. Рассмотрим различные приемы моделирования на примере конкретных задач.

1. Прием моделирования  на полупрямой.

Если в задаче имеется  множество объектов и требуется установить взаимоотношение между элементами этого множества (например, временной зависимости), то задачу можно решать на полупрямой.

Задача. Дядя Федор, кот Матроскин, Шарик и почтальон Печкин сидят на скамейке. Если Шарик, сидящий справа от всех, сядет между дядей Федором и котом, то кот окажется крайним слева. В каком порядке они сидят?

Решение. Построим модель описанной ситуации, считая обычный луч «скамейкой». Все участники, сидящие на скамейке обозначатся точками с соответствующими буквами. Условимся обозначать на горизонтальной полупрямой (первой буквой его имени) кто сидит справа, а кто сидит слева.

 а)

б)

 

 в)

         Рис.1

На рис. 1а показано, как все сидят на скамейке по условию задачи. По рис. 1б мы видим, если Шарик сядет между Дядей Федором и котом Матроскиным, то кот окажется крайним слева. Значит до того момента, как Шарик сядет между котом и Дядей Федором, кот был крайним слева, затем сидел Дядя Федор, а Шарик был крайним справа. Поэтому мы условие «если» убираем, и последовательность сидящих на скамейке указано на рис.1 в.

2. Прием моделирования  с помощью таблицы.

Если в задаче можно  выделить два или несколько различных  множеств и в процессе решения  необходимо установить соответствие между  элементами этих множеств, то при решении задачи можно использовать прием моделирования с помощью таблиц. Поле таблицы представляет собой декартово произведение этих множеств. Количество входов в таблицу определяется количеством выделенных в задаче множеств.

Задача. В одном из московских вузов на разных курсах учатся четыре студента. Определить фамилию, имя, курс, на котором учится каждый студент, если известно, что:

1) Борис прошлую летнюю  сессию сдал на отлично;

2) Василий должен был  летом ехать на практику в Омск, а Иванов собирался поехать домой в Челябинск;

3) Николай был курсом  старше Петра;

4) Борис и Орлов  коренные москвичи;

5) Крылов в прошлом  учебном году окончил школу  и поступил на тот же факультет,  на котором учился Зуев;

6) Борис иногда пользовался  прошлогодними конспектами Василия.

Решение. Построение модели. В задаче можно выделить три множества: множество имен студентом, множество их фамилий и множество курсов. Таблица с четырьмя входами будет охватывать все возможные соотношения между именем и фамилией, между именем и курсом и между курсом и фамилией.

Если теперь, в соответствии с условием задачи, из таблицы вычеркивать  заведомо невозможные пары элементов, можно прийти к решению задачи.

эвристический обучение математика школа

		Фамилия				Курс
			3.	Кр.	Ив.	Ор.	I	II	III	IV
Имя	Б.	+	-	-	-	-	-	+	+
		В.	-	-	-	+	-	-	-	+
		Н.	-	-	+	-	-	+	-	-
		П.	-	+	-	-	+	-	-	-
Курс	I	-	+	-	-
		II	-	-	+	-
		III	+	-	-	-
		IV	-	-	-	+

 

Отметим в таблице  данные из условия задачи.

Борис прошлую сессию сдал на отлично, следовательно, Борис  не на 1-ом курсе – в клеточке (Б.,1) ставим прочерк.

Так как Василий летом  едет в Омск, а Иванов в Челябинск, то значит фамилия Василия не Иванов - в клеточке (В., Ив.) ставим прочерк.

Так как Николай курсом старше Петра, то значит Николай учится не на 1-ом курсе – в клеточке (Н., 1) ставим прочерк.

Так как Борис и  Орлов коренные москвичи, то фамилия  Бориса не Орлов - в клеточке (Б., Ор.) ставим прочерк.

Так как Крылов в прошлом  году окончил школу, то сейчас он учится на 1-ом курсе - в клеточке (Кр., 1) ставим знак «+». Ясно, что ни Зуев, ни Иванов, ни Орлов тогда не учатся на 1-ом курсе - в этих клеточках ставим прочерки.

Так как Борис пользуется прошлогодними конспектами Василия, то значит Василий на один курс старше Бориса, но мы знаем, что Борис уже не на первом курсе, следовательно, Василий учится не на 1-ом и не на 2-ом курсах - в клеточках (В., 1) и (В., 2) ставим прочерки.

Кроме того, мы знаем, что Иванов из Челябинска, а Борис коренноймосквич, следовательно, Борис не Иванов - в клеточке (Б., Ив.) ставим прочерк. Из таблицы видно, что на 1-ом курсе учится не Борис, не Василий,не Николай, следовательно, на 1-ом курсе учится Петр – в клеточке (П., 1)можно поставить знак «+», а в клеточках (П., 2), (П., 3) и (П., 4) ставим прочерки. Но на 1-ом курсе учится Крылов, значит Петр носит фамилию Крылов - в клеточке (П., Кр.) ставим знак «+». Ясно, что Петр не может быть ни Ивановым, ни Зуевым, ни Орловым, а также Крыловым не могут быть ни Борис, ни Василий, ни Николай – во всех этих клеточках ставим прочерки.

Обратим внимание на столбец  «Ив.»: видно, что ни Борис, ни Николай, ни Петр не носят фамилию Иванов, следовательно, Ивановым может быть только Николай - в клеточке (Н., Ив.) ставим знак «+». Тогда ясно, что ни Орлов, ни Зуев не носят имя Николай - в этих клеточках ставим прочерки.

Обратим внимание на столбец  «Ор.»: ни Борис, ни Николай, ни Петр не носят фамилию Орлов, значит только Василий может быть Орловым –в клеточке (В., Ор.) ставим знак «+». Но тогда Василий не может быть Зуевым - вычеркиваем эту клеточку. Тогда из таблицы видно, что только Борис может быть Зуевым.

Итак, Петр Крылов учится на 1-ом курсе, но Николай Иванов курсом старше Петра, значит Николай Иванов учится на 2-ом курсе - отметим соответствующие клеточки.

Мы знаем, что Василий  Орлов курсом старше Зуева Бориса, значит Зуев Борис учится на 3-ем курсе, а Василий Орлов - на 4-ом. Задача решена. Ответ наглядно представлен в  таблице.

 

 

3. Прием моделирования  с помощью графов.

Ситуации, в которых  требуется найти соответствие между  элементами различных множеств, можно  моделировать с помощью графов. В  этом случае элементы различных множеств будем обозначать точками, а соответствия между ними – отрезками. Пунктирные линии будут обозначать известное отсутствие соотношений.

Задача. Три товарища - Иван, Дмитрий и Степан преподают различные предметы (химию, биологию и физику) в школах Москвы, Тулы и Новгорода. О них известно следующее:

1) Иван работает не в Москве, а Дмитрий - не в Новгороде;

2) москвич преподает  физику;

3) тот, кто работает  в Новгороде, преподает химию;

4) Дмитрий и Степан  преподают не биологию;

Какой предмет, и в  каком городе преподает каждый?

Решение. В задаче можно  выделить три множества: учебных предметов, городов, учителей. Каждое множество содержит по три элемента. Обозначим их точками - вершинами графа (рис. 4).

 

Рис. 4

 

В зависимости от условий  задачи будем соединять точки  отрезками, если имеет место соответствие между данными элементами, или пунктирной линией, если соответствия нет.

Задача сводится к  нахождению на графе трех сплошных треугольников с вершинами в  разных множествах (на доске и в  тетради их можно выделить разными  цветами).

Так, используя условие 1), проведем пунктирную линию, соединяющую объекты Иван и Москва, Дмитрий и Новгород.

В соответствии с условием 2) соединим сплошной линией вершины  Москва и физика, а условие 3) выразим  сплошной линией от точки Новгород до точки химия.

Дмитрий и Степан преподают не биологию, соединим соответствующие вершины пунктирными линиями. Кто же преподает биологию? Если это не Дмитрий и не Степан, то получается, что биологию преподает Иван. Эти объекты соединяет сплошная линия.

Где же живет преподаватель  биологии? Известно, что химик живет в Новгороде, а физик в Москве, следовательно, биолог живет в Туле. Обратим внимание на треугольник, образованный вершинами Иван, Тула, биология: в нем есть две сплошные стороны, значит, третью сторону также можно выделить сплошной линией. В самом деле, если Иван преподает биологию, а биолог живет в Туле, то Иван живет в Туле.

Что известно про Дмитрия? Дмитрий не живет в Новгороде (по условию) и не живет в Туле (там живет Иван), значит, Дмитрий  живет в Москве - проведем соответствующую  сплошную линию. Но москвич преподает физику - эта линия тоже сплошная. В треугольнике с вершинами в точках Дмитрий, Москва и физика две стороны сплошные, следовательно, третью сторону тоже можно выделить сплошной линией.