Реализация эвристического обучения на уроках математики в основной школе

- перенос исходных признаков и использование сходных задач;

- привлечение всех известных знаний о возможных видах явлений задачи и их характеристиках, морфологический анализ, установление типов решения проблем, рассмотрение с разных возможных сторон, выбор многих возможных начал;

- анализ данных и цели, анализ условий, явное представление всех фактов;

- анализ конфликта, осознание конфликта, фиксация противоречия, образование проблемного комплекса, формулирование идеального общего результата;

- запрет критики, мозговой штурм, выдвижение любых идей;

- переструктурирование и перегруппировка.

Все приведенные примеры  групп приемов представляют собой  по существу не группы разных приемов, а один прием вместо каждой группы имеющий различные названия.

Если далее провести систематизацию разных приемов, объединить их по содержанию в более общие  группы, то можно получить вполне операциональную  систему эвристических приемов  для обучения решению задач.

Итак, содержательно различными являются тридцать с лишним приемов. Они могут быть даже объединены в семейства. Приемы имеют состав операций и познавательный результат осуществления (обобщение, включение в структуру, моделирование и тому подобное). Соответственно, приемы могут отличаться только по составу операций, или только по результату, или по тому и другому одновременно. Приемы, сходные по результату при различных операциях, образуют семейство приемов. Объединение приемов в семейства является полезным. Это позволяет систематизировать приемы и дает возможность лучше понять их особенности и связи, а также уменьшает поле выбора приемов. Объединение приемов в семейства также не упускает представительство каждого семейства в выбираемой системе приемов для обучения решению задач.

Анализ приемов приводит к установлению следующих 11 семейств приемов:

1. Анализ условий задачи, анализ данных, анализ требований, анализ конфликта.
2. Доопределения, развертывание определений явлений задачи, движение от конца к началу, подведение под логические категории, подведение под диалектические категории, сближение данных и цели, резонанс.
3. Изменение уровня обобщенности задачи, обобщение задачи, использование известной общей задачи, конкретизация задачи, использование известной конкретной задачи.
4. Включение в новые связи, подведение под компоненты деятельности, включение в другую неизвестную структуру, включение в другую известную структуру, введение дополнительных элементов или отношений (неизвестных и известных), переструктурирование, деление задачи на части.
5. Анализ допущений, выделение доминирующих идей, критика очевидных решений, поиск лишних условий.
6. Моделирование, перекодирование текста в схему (модель), символическая запись.
7. Выдвижение любых гипотез, выдвижение маловероятных гипотез, выдвижение противоположных гипотез.
8. Обоснование принятия и отвержения гипотез, обоснование выдвижения гипотез, анализ достоинств и недостатков гипотез.
9. Переключение в другие проблемы, параллельное решение нескольких задач, перерыв в решении задач.
10. Вживание в образ явлений задачи, принятие роли объекта или процесса задачи, «метод демонов» (по Максвеллу).
11. Регулирование уровня уверенности в себе, повышение уровня уверенности в себе, понижение уровня уверенности в себе.

Помимо указанных семейств родственных приемов есть еще приемы, которые не образуют семейств. К ним относятся: анализ с разных сторон, комбинаторика свойств явлений задачи, поиск сначала общей, а затем частной идеи и наоборот. Из указанных трех приемов образуются два составных приема: морфологический анализ (включает анализ с разных сторон и комбинаторику) и определение области поиска неизвестного (включает поиск общей, а затем и частной задачи, анализ с разных сторон).

«В этой системе, так  или иначе, представлены почти все  значимые семейства эвристических приемов, известные на сегодняшний день», считает И.И. Ильясов.

 

Выводы  к главе 1

Таким образом, эвристическое обучение предлагает учителю совершенно по-другому решать проблему постановки целей обучения, разработки плана обучения, конструирования системы занятий, форм рефлексии и оценки. Трудно преодолеть распространенный стереотип мышления, традиционного поведения в обучении, накопленный годами.

Известно, что  в процессе изучения математики школьники  часто сталкиваются с различными трудностями. Однако в обучении, построенном эвристически, эти трудности часто становятся своеобразным стимулом для изучения. Так, например, если у школьников обнаруживается недостаточный запас знаний для решения какой-либо задачи или доказательства теоремы, то они сами стремятся восполнить этот пробел, самостоятельно "открывая" то или иное свойство и тем самым сразу обнаруживая полезность его изучения. В этом случае роль учителя сводится к тому, чтобы организовать и направить работу ученика, чтобы трудности, которые ученик преодолевает, были ему по силам. Ценность эвристических уроков по математике заключается в том, что учащиеся самостоятельно добывают новые знания, учатся их применять исходя из уже имеющегося опыта, учитель лишь подводит их правильному решению.

Цель эвристического обучения состоит в том, чтобы предоставить ученикам возможность творить знания, создавать образовательную продукцию по всем учебным предметам, научить их самостоятельно решать возникающие при этом проблемы. Обеспечить достижение этой цели помогает следующий принцип: по всем вопросам учебной программы ученики могут создавать свои аналоги. Они могут определить индивидуальный смысл занятий по предмету, поставить цели, отобрать темы, спланировать, проконтролировать и оценить свою работу. Чем большую степень включения учеников в конструирование собственного образования обеспечивает учитель, тем полнее оказывается их индивидуальная самореализация, существует множество методических пособий по курсу математики в средней школе, но в ходе нашей работы нам не встретилось, ни одного, в котором были бы собраны и обобщены данные, позволяющие учителям работать на уроках математики используя эвристические методы, не выходя за рамки школьного курса. Проведен анализ учебников по математике Н.Я. Виленкин, А.Г. Мордкович.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Глава II. экспериментальная апробация эвристического обучения на уроках математики основной школы

2.1.

 

 

 

2.2. Формирования эвристических приёмов при обучении математике школьников 5-6-х классов

По мнению многочисленных исследователей (П.Я. Гальперин, И.Я. Лернер), именно творческая или «проблемная познавательная задача» является формой передачи опыта эвристической деятельности, основным средством формирования творческого мышления. Сущность такой задачи состоит в том, что на основе некоторых данных в условии задачи, предъявляемых явно или предполагаемых известными ученику, и требований задачи, решающий должен разрешить проблему, найти искомое. И.И. Ильясов дает такую характеристику типовых, выводных и творческих задач: «... Задачи, которые приходится решать человеку, могут быть такими, что их можно решить путем простого воспоминания и применения знаний о способе их решения. В этом случае задача является типовой, стандартной... Если же формула решающему неизвестна, то задача приобретает уже другой характер. Сначала надо найти нужную формулу. Поиск может осуществляться либо путем выведения из каких-то других общих знаний, либо путем угадывания, пробами и ошибками и т.п. В первом случае задача является вводной, во втором - творческой…»

Рассмотрим теперь различные  эвристические приемы, используемые при решении творческих задач. К  эвристическим приемам мы относим  приемы второго этапа решения  творческих задач. Приемы 1-го и 3-го этапов достаточно стандартны и используются в обучении с первых уроков в первом классе. Заметим также, что творческие задачи встречаются во многих сборниках как учебного, так и развлекательного плана. Мы в своей работе смещаем акцент на характеристику эвристических приемов, используемых при решении творческих задач.

Система творческих задач, нацеленная на формирование приёмов  эвристической деятельности учащихся 5-6 классов, представляет собой пять групп задач. Каждая группа включает серию задач, направленную на формирование определённого эвристического приёма. В каждой последующей группе возможно использование приёмов, введённых в предыдущих группах.

I группа - задачи на формирование эвристического приёма выдвижения гипотез.

II группа - задачи на формирование эвристического приёма моделирования с помощью прямой, таблиц или графов.

III группа - задачи на формирование эвристического приёма конкретизации условия.

IV группа - задачи на формирование эвристического приёма переструктурирования условия задачи.

V группа - задачи на формирование эвристического приёма разбиения задачи на части.

Группы задач вводятся последовательно, таким образом, последовательно  происходит знакомство с различными эвристическими приёмами. Причем в  задачах последующей группы возможно применение приёмов, освоенных в  предыдущих группах.

Приемы работы с гипотезами (выдвижения любых гипотез, их проверка, анализ).

Этот прием подробно исследовался в работах П.Я. Гальперина и В.Л. Даниловой. «Его особенность составляли «бухгалтерия догадок» и систематическая их проверка; каждая догадка немедленно записывалась, потом все они проверялись, строго по очереди, и не только по результату, но и по источнику и по общему значению в системе условий». Обычно, решая задачу на смекалку, учащиеся беспорядочно высказывают гипотезы, тут же бегло их проверяют, часто не доведя проверку до конца перескакивают с одной гипотезы на другую, многократно возвращаются к уже предложенным, проверенным и отвергнутым гипотезам. Прием фиксации и последовательной проверки любых, даже самых невероятных гипотез, воспитывает систематичность мышления и, вместе с тем, повышает эффективность поискового процесса. Кроме того, следует заметить, что иногда гипотезы, возникающие сразу уже в ходе анализа являются несостоятельными, а «случайные идеи», кажущиеся абсурдными, могут оказаться правильными или полезными. Рассмотрим реализацию этого приема на примере конкретной задачи.

Задача. Олег, Игорь и Аня учатся в 6 классе. Среди них есть лучший математик, лучший шахматист и лучший художник. Известно, что:

а) лучший художник не нарисовал своего портрета, но нарисовал портрет Игоря;

б) Аня никогда  не проигрывала мальчикам в шахматы.

Кто в классе лучший математик, лучший шахматист и лучший художник?

Решение. 1 – ый этап – анализ условия задачи: учитель предлагает следующие вопросы: «Что известно в задаче?», «Что требуется узнать?».

2 – этап – поиск  решения.

Учитель: С чего можно  начать решение задачи?

Далее все предположения  детей записываются на доске.

а) лучший художник Олег, Игорь, Аня,

б) лучший шахматист Олег, Игорь, Аня,

в) лучший математик Олег, Игорь, Аня.

Учитель: Мы выписали несколько  предположений – гипотез, которые  необходимо проверить.

Проверяем гипотезу а). Может ли Игорь быть лучшим художником? Ученик: Нет, т.к. художник не нарисовал своего портрета, а нарисовал портрет Игоря, следовательно, лучший художник или Олег, или Аня.

Проверяем гипотезу б). Может ли Олег быть лучшим шахматистом? Ученик: Нет, т.к. Аня никогда не проигрывала мальчикам в шахматы, значит Аня лучший шахматист. Если Аня лучший шахматист, отсюда следует, что Аня не может быть лучшим художником, а значит лучший художник Олег, Игорь лучший математик.

Аналогично, все гипотезы проверяются в строгом порядке. Не все гипотезы могут подойти к условиям задачи. К вычеркнутым гипотезам не возвращаемся. У учащихся возникают две гипотезы а) и б). Когда же проверка показывает их несостоятельность, возникают различные предложения, в которых учащиеся пытаются обойти конфликт. Решение заходит в тупик. Поэтому следующим шагом может служить анализ отвергнутых гипотез.

Учитель: У нас было выдвинуто множество гипотез, но все они не верны. Что же в этих гипотезах нам мешало? Давайте обсудим неудачу гипотез а) и б).

Задача 1. В летний лагерь приехала отдыхать три друга: Миша, Володя и Петя. Известно, что каждый из них имеет одну из следующих фамилий: Иванов, Семенов, Герасимов. Миша – не Герасимов. Отец Володи – инженер. Володя учится в 6 классе. Герасимов учится в 5 классе. Отец Иванова – учитель. Какая фамилия у каждого из трех друзей.

Задача 2. Три подруги вышли в белом, синем, зеленом платьях и туфлях таких же цветов. Известно, что только у Ани цвет платья и туфель совпадает. Ни платье, ни туфли Вали не были белыми. Наташа была в зеленых туфлях. Определите цвет платья и туфель каждой подруги.

Задача 3. Черепаший разговор. Три черепахи ползут по прямой друг за другом. Первая говорит: «Сзади меня ползут две черепахи». Вторая говорит: «Впереди меня ползёт одна черепаха и сзади одна». Третья говорит: «Впереди меня ползёт одна черепаха и сзади одна». Могло ли такое быть?

Задача 4. На вечеринку собрались четверо друзей: Лена, Катя, Петя и Гриша. Петя пришел раньше Лены, но не был первым. Определите в какой последовательности друзья приходили к месту встречи, если Катя пришла последней.

Задача 5. Малыш и Карлсон сидели на крыше и наблюдали за голубями. На крыше сидело несколько голубей. Когда на крышу село еще 15 голубей, а улетело 18 голубей, то на крыше осталось 16 голубей. Сколько голубей первоначально наблюдали малыш и Карлсон?

Задача 6. В начале забега на 1000 метров вперед вырвался Андрей, вторым шел Борис, а третьим – Виктор. За время бега Андрей и Борис менялись местами 6 раз, Борис и Виктор 5 раз, Андрей и Виктор 4 раза. В каком порядке прибежали спортсмены? Почему?

Решение. Андрей и Борис менялись местами четное число раз, поэтому Андрей останется впереди Бориса. Андрей и Виктор менялись местами также четное число раз, поэтому Андрей останется впереди Виктора. Борис же и Виктор менялись местами нечетное число раз, поэтому Виктор придет раньше Бориса. Тогда порядок спортсменов на финише будет такой: Андрей, Виктор, Борис.