Фрактальная логика

Подставляя значение К, получаем:  W = n logk k = n.                                          

При увеличении разрешения масштаба, возможная энтропия логического ряда линейно увеличивается.

Однако логические фракталы демонстрируют гораздо меньшее разнообразие кортежей. Мало того, количество различных кортежей часто оказывается независимым от масштаба.

В качестве примера можно привести ЛРЛ и ИРЛ которые демонстрируют либо один, либо два различных кортежа на всех масштабах.

Ситуация удивительно напоминает ситуацию с природными структурами – вместо комбинирования новых и новых возможных структур-кортежей, природа "ленится" создавать новые структуры на новых масштабах. Например, вихревые структуры встречаются как на микро-масштабах (атомные и молекулярные структуры) мезо-масштабах (турбулентность воды или облаков) так и на мега-масштабах (спиральные галактики). Возможно, эта природная "лень" по производству новых форм лежит в основе самоподобия природных фракталов.

Такая "лень" присуща и знаковым системам – системам из слов  конечной длины. Из-за того, что в системах реализуются не все возможные, а только ограниченные слова, в них образуется информация, в противовес энтропии всех возможных состояний.

Илья Пригожин и Грегуар Николис[20] сравнили марковский процесс и хаотический процесс типа аттрактора Рёсслера с точки зрения вероятности наличия тех или иных последовательностей состояний. Их результаты можно интерпретировать как исследование логического ряда на предмет наличия тех или иных  кортежей.

Напомним, что марковским называется процесс с дискретным временем у которого есть марковское свойство – свойство отсутствия последствий: состояние системы в настоящий момент премени t0 однозначно определяет распределение вероятностей будущего развития при t>t0 и информация о прошлом поведении процесса до момента t0 не влияет на это распределение.

Логический ряд можно представить как марковский процесс, если марковским свойством будет обладать вероятность появления логического значения на некоторой итерации.

Николис и Пригожин рассмотрели марковский процесс, удовлетворяющий закону больших чисел и оценили число кортежей, превышающих некоторую заданную вероятность.

На примере создания биополимера, авторы рассмотрели случай, когда все кортежи аминокислот равновероятны. Они к выводу о том, что описание возникновения структуры биополимера неадекватно с точки зрения гипотезы равновероятности возникновения последовательностей аминокислот с фиксированной длиной. Всегда существуют выделенные последовательности аминокислот, формирующих биополимер.

Этот пример является дополнительной иллюстрацией "лени" природы, отбирающей из всех возможных комбинаций только ограниченное количество возможностей.

Рис 2.8.1 Илья Романович Пригожин (род. 1917) – бельгийский химик русского происхождения, лауреат Нобелевской премии по химии (1977 г.) за исследование диссипативных структур, образующихся в открытых системах.

Николис и Пригожин рассмотрели аттрактор Рёсслера как хаотическую последовательность нахождения системы в трех состояниях X,Y, Z:

ZYXZXYXZXYXZYXZXYXZYXZYXZXZYXZYXZXYXZYX…

Далее они переписали эту последовательность c помощью гиперсимоволов (кортежей) -  = ZYX,  = ZXYX, =ZX:

…

Далее авторы посчитали условные вероятности возникновения последовательностей (кортежей) с различной длиной на различных масштабах и показали, что появление кортежей не равновероятно. Это позволяет говорить о неслучайности процедуры, генерирующей рассматриваемый процесс.

Только на масштабе с разрешением пять аттрактор Рёсслера можно схематизировать марковским процессом.

Анализируя последовательность, генерируемую странным аттрактором, Николис и Пригожин замечают:

"При ближайшем рассмотрении статистических характеристик таких последовательностей выясняются некоторые удивительные особенности. Например, из всех возможных 37 последовательностей семисимвольной длины, которые можно построить на X, Y, Z, в динамике реализуются только 21. Более того, примерно для половины из них условная вероятность некоторого символа при условии, что заданы пять предыдущих символов, оказывается равной единице. Следовательно, всё выглядит так, как если бы в систему были встроены "грамматические правила", автоматически выполняемые в результате динамики."[21]

Для оценки только тех кортежей, которые реализовались в данном ряде на данном масштабе j, введем представление о масштабных кортежах (МCj). Для ЛРЛ и ИРЛ MCj=2 при нечетных j и МCj=1 на четных масштабах.

Реализованные кортежи являются информационной характеристикой логического ряда, описывая возникшую структуру.

Можно представить информацию через вероятность появления кортежа в ряде. Если в ряде присутствуют все возможные на масштабе кортежи, то информация в таком ряде равна нулю, а энтропия максимальна.

Введем определение масштабной информации IМj:

IМj =  Р (МCj) logk Р(МCj)                                                                                    (2.8.1.2)

Р (МCj) – вероятность  возникновения масштабных кортежей, которую можно оценить через отношение числа реализовавшихся масштабных кортежей за s итераций к числу всех возможных кортежей на этом масштабе. Ясно, что s должно быть достаточно большим.

Информация может меняться в зависимости от масштаба рассмотрения – например, у ИРЛ на масштабе 1 информация равна 0, а на других масштабах – нет.

Дадим определение накопленной на f масштабах  информации IS:

IS= IМj                                                                                                                               (2.8.1.3)

Дадим определение накопленного на разных масштабах числа кортежей М:

М = МСj                                                                                                                (2.8.1.4)

Ясно, что при наличии самоподобия ряда М и IS стремятся к бесконечности при устремлении к бесконечности f. Однако скорости устремления к бесконечности накопленной информации и накопленной энтропии разные.

Если рассматриваемый нами ряд обладает фрактальной структурой, то стремление М к бесконечности можно аппроксимировать степенным законом:

М(n)  nD                                                                                                                              (2.8.1.5)

Разрешение масштаб

а n – характерная длина кортежа на которой мы "рассматриваем" масштаб выступает в данном случае аналогом покрытия бесконечного множества значений логического ряда, образующего меру.

Представим логический ряд как ряд кортежей длиной n. Кортежу с номером i сопоставим вероятность Pi, того, что этот кортеж будет принадлежать некоторому ранее заданному и конечному множеству кортежей или иметь какое-либо свойство (например, свойство принадлежать множеству реализовавшихся на данном масштабе кортежей). Далее можно ввести набор величин Dq, вычисляемых для разных значений q:

Dq = ,

где суммирование ведется по всем кортежам.

Dq будет аналогом обобщенных размерностей.

В следующем подразделе постараемся формализовать интуиции размерности логического ряда более точно.

2.8.2 Аналог Хаусдорфовой размерности для логического ряда

Предположим, что рассматриваемый логический ряд есть результат бесконечного последовательного масштабного преобразования   кортежа A0:

А1 = А0, Аj = A j-1 = … = j A0                            (2.8.2.1)

Рассмотрим изменение масштаба  при увеличении разрешения масштаба  n в a раз:

Ai (n) = Ai (n/a)                                                                      (2.8.2.2)

Рассмотрим внутреннюю характеристику кортежа L – например, количество значений И на масштабе А:

L (Aj+1) = L (Aj)                                                        (2.8.2.3)

В зависимости от вида внутренней характеристики можно типологизировать различные размерности. 

Если у логического ряда существует подобие:

= ,                                                                                    (2.8.2.4)

то можно записать между L (Aj) и L (Aj) в виде:

L (Aj) = ad L (Aj),                                                        (2.8.2.5)

где d – некоторая степень – аналог размерности Хаусдорфа-Безиховича, определяемая в пределе:

d =                                           (2.8.2.6)

2.8.3 Аналогия с броуновским движением

Рассмотрим обратную связь a=И, 0.5ai+1: ai. Процесс эквивалентен бросанию монеты и генерирует логический ряд со случайным распределением значений.

Представим этот ряд как движение броуновской частицы, в котором перемещение частицы на расстояние + можно интерпретировать как И, а перемещение на - как Л.

При случайном процессе, перемещение броуновской частицы  задается гауссовым или нормальным распределением вероятностей:

р(,) = exp (-)                                                                                    (2.8.3.1)

Это означает, что на каждом интервале длительностью  изменение параметра  моделируется случайным образом, и вероятность того, что  заключено между  и +d, равна p(,)d. Последовательность значений {i} есть набор независимых гауссовых случайных чисел с дисперсией

2 = 2 р(,)d = 2D,                                                                                    (2.8.3.2)

где коэффициент D подчиняется соотношению Эйнштейна, которое носит достаточно общий характер:

D = 2.                                                                                                                              (2.8.3.3)

Данное, хорошо известное в статистике, соотношение справедливо для всевозможных  стохастических процессов с разными видами распределения вероятностей.

Если заново определить , заменив / на , новая дисперсия станет единичной и гауссовский процесс станет стандартным. Тогда, установив, что начальное значение   равно нулю, текущее значение в момент времени t будет определяться как

Х(t=n) =i.                                                                                                                (2.8.3.4)

В книге Енса Федера "Фракталы"[22] суммировано рассмотрение хорошо известного гауссовского процесса с точки зрения его масштабной инвариантности (в некоторых книгах используется термин автомодельность).

В этом случае процесс рассматривается в разных масштабах времени - с разным временным разрешением. То есть, регистрации параметра процесса производятся через каждый промежуток времени b, где b - некоторое произвольное число. Показано, что какое бы число b временных шагов ни разделяло моменты наблюдений, приращение  всегда составляют гауссов случайный процесс с независимыми значениями с =0 и дисперсией

2  = 2Dt при t=b.                                                                                                  (2.8.3.5)

То есть, с увеличением временного интервала фиксации параметра процесса в b раз, дисперсия процесса тоже увеличивается в b раз, а распределение вероятности, в зависимости от масштабного преобразования, будет иметь следующий вид:

р(,b) = exp (-).                                                                      (2.8.3.6)

Исходя из этого, можно сделать вывод о том, что гауссовский процесс обладает свойством подобия (скейлинга).

Он инвариантен в смысле распределения, то есть не меняет вида при преобразовании, которое меняет масштаб времени в b раз, а масштаб Х в b1/2 раз. Или можно сказать, что при изменении масштаба временного рассмотрения гауссовского процесса в b раз, текущее значение параметра процесса меняется в b1/2  раз.

Видно, что у этого процесса масштабы времени и значений меняются в разных пропорциях.

Преобразования, которые меняют масштабные характеристики процесса в разных пропорциях, называются аффинными, а процессы, не меняющие своего вида, характера протекания, при аффинном преобразовании, называются самоаффинными.

Н. Винер  постулировал случайную функцию Х(t) гауссовского процесса с независимыми значениями {} через приращение, для любой пары моментов времени t и t0:

Х(t) - Х(t0)   t - t0Н, где Н=1/2 и t  t0.                                                        (2.8.3.7)

Мандельброт ввел понятие обобщенного броуновского движения, заменив в последней формуле значение Н равное 1/2 на любое действительное число из интервала 0<H<1.

Случай, при котором Н=1/2, соответствует полностью независимым значениям  - процесс стохастичен, его значения друг с другом не коррелируют.

Чтобы усовершенствовать эту модель, оценить корреляции будущих значений процесса с прошлыми, но вместе с тем, сохранить преемственность моделей с гауссовскими распределениями, вводится понятие модели обобщенного броуновского движения. Обобщенное броуновское движение имеет бесконечно большое время корреляции.

Дисперсия приращений V(t - t0) имеет вид: