Фрактальная логика

Пересылка информации из блока обработки в выходной блок.

Пересылка информации из выходного блока во входной блок.

Построим таблицу истинности высказывания А в зависимости от итераций -  различных i:

Таблица 1.6.1 Таблица истинности парадокса лжеца

Парадокс – это результат бесконечного изменения логического значения машиной обратной связи.

Таким образом, математический “монстр” и логический парадокс лжеца могут быть представлены как результат бесконечного числа итераций машины обратной связи.

На основании этой общности мы будем постепенно вводить представление  о логических фракталах.

1.7 Парадокс лжеца: логический формализм через понятие обратной связи

Предположим, что значение высказывания “Я лгу” зависит от итерации i. Назовем это высказывание переменным высказыванием.

Назовем начальным условием  значение переменного высказывания при i=0.

Если высказывание имеет только одно значение, то такое высказывание мы будем называть постоянным.

Рассмотрим феноменологию парадокса лжеца – то есть, не будем интерпретировать то, как обратная связь преобразует высказывание, а лишь зафиксируем, что на выходе из обратной связи появляется высказывание с противоположным логическим значением. Это может зафиксировать операция отрицания.

Введем следующие обозначения:

ai – обозначение высказывания “Я лгу” на i-той итерации. Его значение может быть И или Л. Ясно, что переменное высказывание может быть представлено как ряд постоянных высказываний классической логики высказываний.

= – обозначение операции ввода начальных данных – присвоения значения высказыванию при i=0. Запись a0=И означает, то, что мы задаем на  нулевой итерации значение И.  Это интерпретация нашего предположения о том, что высказывание “Я лгу” истинно.

: - обозначение обратной связи, переводящей значение высказывания с i итерации на i+1 итерацию бесконечное число раз. Слева будем записывать обозначение значение на i+1итерации, справа –  на i итерации, в результате которой формируется значение на i+1 итерации.

 - обозначение операции отрицания, преобразующей значение обратной связи на противоположное – Л преобразуется в И, И преобразуется в Л.

Тогда обратную связь парадокса лжеца можно формализовать следующим образом:

a0=И, ai+1:  ai

В результате действия обратной связи образуется переменное высказывание или ряд постоянных  высказываний:

а0 a1 a2 a3 a4…                                                                                                  (1.7.1)

Далее, пользуясь рядом (1.7.1) последовательно запишем  значения переменного высказывания, рассчитанные по этому формализму. Таблица истинности из прошлого раздела будет представима в виде ряда значений переменного высказывания или ряда значений атомарных высказываний:

ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ…                                                                                    (1.7.2)

Таким образом, в этой интерпретации логическое значение парадокса лжеца – бесконечное чередование значений, генерируемых обратной связью.

Заметим, что указанное представление можно распространить и на теоретико-множественные парадоксы. Суждение “Множество всех множеств, не содержащих себя в качестве элемента, принадлежит самому себе” может быть представлено как бесконечная последовательность значений такого рода высказываний.

Структура парадокса в нашей интерпретации – бесконечная последовательность чередующихся логических значений.
Глава 2 Логические ряды и логические фракталы

2.1 Определение логического ряда. Виды рядов.

Введем точное представление о логическом ряде.

Логический ряд – одномерная упорядоченная последовательность логических значений k-значной логики, пронумерованных от 0 до бесконечности.

Ряды бывают сходящиеся, в этом случае значение ряда постоянно при i, периодические – значение устойчиво повторяется, и апериодические – значения, появляющиеся в произвольном порядке.

Аттрактор  логического ряда – устойчивая на бесконечность структура значений логического ряда.  Может быть: неизменное значение (аттрактор первого рода – унарный кортеж[18]), комбинация значений (аттрактор второго рода – бинарный кортеж, n-ka), апериодичность (аттрактор третьего рода).

Пусть мы задали для данной k-значной логики конечное множество аттракторов. Назовем их детерминированными аттракторами.

Законом будем называть ряд, для которого доказано  наличие  аттрактора из множества детерминированных аттракторов. Пример закона классической логики дан в разделе 2.3.

Значение высказывания, в случае двухзначной логики, может быть И или Л. В общем случае может быть любое конечное число вариантов значений. В качестве примера логического ряда двузначной логики можно привести ряд, представленный в таблице 1.5.1. Каждый член этого ряда упорядочивается номером. Номер значения фиксируется итерацией логического ряда i. Итерация i меняется от 0 до бесконечности.

Назовем классическим рядом ряд составленный из высказываний классической логики высказываний двухзначной логики.

Назовем рейхенбаховским рядом ряд с тремя возможными значениями – И, Л, Н и составленный из высказываний рейхенбаховской логики высказываний, описанной выше.

Назовем начальным условием  значение логического ряда при i=0.

Обозначим специальными терминами частные случаи логических рядов:

Вырожденный ряд – логический ряд, с одинаковыми значениями.

Например:

ИИИИИИИИИИ….                                                                                                  (2.1.1)

Соответственно, в частных случаях, И - вырожденный ряд (ИВ) – ряд с истинными значениями, Л-вырожденный ряд (ЛВ) – ряд с ложными значениями. Вырожденный ряд – пример ряда с аттрактором первого рода.

Вырожденный ряд – пример закона на множестве детерминированных аттракторов с одним элементом – И.

Ряд лжеца – классический логический ряд с регулярно чередующимися друг за другом  значениями истинности и ложности. В  зависимости от начальных условий, существует два ряда лжеца:

ИЛИЛИЛИЛИЛ…                                                                                                  (2.1.2)

ЛИЛИЛИЛИЛИ…                                                                                                  (2.1.3)

Мы будем различать И-ряд лжеца (ИРЛ) – ряд при начальном условии И – случай (2.1.2), и Л-ряд лжеца (ЛРЛ) – ряд при начальном условии Л – (2.1.3).

В нашей терминологии ряд лжеца имеет аттрактор второго рода.

2.2 Процедуры генерации логических рядов с помощью обратных связей. Прямая и обратная задача генерации логического ряда.

Уточним и формализуем данные  в разделе 1.7 определения.

Постоянное атомарное высказывание - символы a, b, c…

Значения постоянных высказываний в случае классической логики высказываний - И или Л. В общем случае высказывание может иметь k значений. Значения постоянных высказываний не меняются при изменении итерации.

Переменное атомарное высказывание - символы ai, bi, ci …

Сложное высказывание - высказывание, составленное из атомарных высказываний, тех или иных логических символов (например -  , , \/, &, , в классической логике) и технических знаков (скобки, запятые) по правилам определеной логики высказываний (например - классической или рейхенбаховской).

Обратная связь -  формула, описывающая способ присвоения нового значения высказыванию ai+1, при известных старых значениях ai по правилам определенной логики высказываний.

Записывается с помощью  символа двоеточия ":". Формула содержит левую и правую часть. Слева от двоеточия записывается переменное атомарное высказывание, справа - сложное высказывание, значение которого будет присвоено переменному атомарному высказыванию в следующей итерации.

Пример.

Запись "ai+1: ai&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию ai+1 значение сложного высказывания ai&b.

Система обратных связей - несколько обратных связей, меняющих свои значения одновременно на одной итерации. Система записывается путем записи в строчку всех обратных связей через точку с запятой.

Пример записи системы обратных связей:

ai+1: ai&b i; bi+1: ai&b i&c

Вероятность перехода – числовое значение от 0 до 1 изменения значения переменного атомарного высказывания на новое. Вероятность определяется с помощью генератора случайных чисел с равномерным распределением вероятности.

Пример.

Запись "0.8ai+1: ai&b" означает: присвоить переменному атомарному высказыванию bi+1 значение сложного высказывания ai&b с вероятностью 0.8. Ясно, что с вероятностью 0.2 обратная связь сохранит свое старое значение.

Если в обратной связи вероятность не указана, то она по умолчанию, равна 1.

Бифуркация – расщепление возможных значений атомарных высказываний с некоторой вероятностью.

Пример:

0.8ai+1: ai&b; 0.2ai+1: ai&c

Это означает следующее: в обратной связи высказывание ai+1 принимает значение  ai&b с вероятностью 0.8, а значение  ai&c с вероятностью 0.2.

Начальные условия - значения переменных атомарных высказываний при i=0. Запись a0  = И означает: «Присвоить начальному условию высказывания ai значение И.

Мир (множество) начальных условий – совокупность всех комбинаций значений начальных условий.

Возможность - значения переменных атомарных высказываний при i0.

Мир (множество) возможностей - совокупность всех комбинаций значений возможностей в обратной связи или системе обратных связей.

Граничные условия - значения постоянных атомарных высказываний в формуле.

Мир (множество) начальных и граничных условий - совокупность всех комбинаций значений начальных условий и значений граничных условий.

Прямая задача генерации логического ряда – построить логический ряд  при заданных обратных связях, граничных и начальных условиях, проанализировать все аттракторы рядов в мире начальных и граничных условий.

Обратная задача генерации логического ряда   – по логическому ряду реконструировать тип логики и систему обратных связей, которая сгенерировала этот ряд истинности.