Фрактальная логика

Пример решения прямой задачи генерации.

Дана система высказываний, построенная с помощью классической логики высказываний:

ai+1: (ai&bi) c; bi+1: (c\/ai) bi

Граничные условия: c есть Л.

Исследуем поведение системы при разных начальных условиях.

Рассмотрим мир начальных условий с фиксированными граничными условиями, и мир возможностей, обозначив одинаковыми цифрами одинаковые возможности и комбинации начальных условий:

Таблица 2.2.1 Исследование логического ряда

в мире начальных условий

Видно, что мир возможностей уже при первой итерации беднее мира начальных условий – в нем нет варианта 4.

Исследуем каждую комбинацию начальных условий.

Пусть a0 есть И, b0 есть И (комбинация 1), тогда по таблице, a1 есть Л, b1 есть И и реализуется вариант 3 (такой же как a0 есть Л, b0 есть И), который опять переходит в вариант 1. Обозначим знаком “>” переход от одной возможности к другой. Схема переходов: 1>3>1>3>…

Ряд для ai есть ИРЛ. Значение bi будет истинным всегда.

Для начальных условий по набору 2 переходы будут: 2>1>3>1… Аналогично и для 3: 3>1>3>1…

Для начальных условий при варианте 4: 4>2>1>3>1…

Вывод: при всех значениях начальных условий в случае граничных условий с есть  Л, наша система приходит к предельному циклу, при котором bi есть И, а аi колеблет свое значение.

Теорема 1 прямой задачи генерации.

Рассмотрим систему из n переменных высказываний k-значной логики, с вероятностью перехода 1. Такая система может иметь только два аттрактора – аттрактор первого рода или аттрактор второго рода с максимально возможным периодом длиной в kn значений.

Доказательство. Выпишем все возможные варианты переходов из мира начальных условий в возможности, используя обозначения предыдущего примера. Их всего kn. Запишем их в kn строчки:

1>1, 1>2, 1>3, …, 1> kn ,

2>1, 2>2, 2>3, …, 2 > kn ,

3>1, 3>2, 3>3, …, 3> kn,

…

kn >1, kn >2, kn >3, …, kn > kn .

Наличие какой-либо системы высказываний означает, что в мире возможностей одновременно не может быть двух разных переходов - из всех комбинаций переходов одновременно может реализоваться только по одной комбинации высказываний из каждой строчки.

Действительно, любое высказывание ai не может при одном и том же i иметь одновременно два значения.

Например, если у нас – в результате системы высказываний реализовался переход 1>1, то в этой системе высказываний переход из возможности 1 в возможность 2 невозможен.

Пусть Х – какое либо начальное условие из мира начальных условий (1, 2, 3…, kn), переходящее в возможность.

Назовем возможность новой, если она еще не реализовывалась в переходе, и старой, если она уже где-то встречалась.

При i=0 есть kn–1 новых возможностей, при i=1 есть kn-2 и т.д. Цикл образуется тогда, когда у нас встречается на i-q итерации старая возможность – повтор возможности. Если возможности на i и i+1 итерациях одинаковы, то образуется на цикл, а фиксированное значение. Таким образом, получается аттрактор ряда истинности первого рода.

С каждой новой итерацией количество новых возможностей уменьшается. Допустим, что у нас не встречаются старые возможности – циклы и фиксированные значения не образуются. Но тогда на  на i+1 итерации  число новых возможностей станет равным нулю, и мы неизбежно перейдем к старой возможности, которая образует цикл.

Таким образом, самый длинный цикл будет длину kn.

Теорема доказана.

2.3 Операции с логическими рядами

Рассмотрим множество всех логических рядов, обозначив отдельный ряд буквами А, В, С…

Назовем операцией над логическим рядом правило образования нового логического ряда, через преобразование  каждого значения старого логического ряда.

Операции могут быть унарными – над одним рядом и бинарные – с двумя рядами.

Рассмотрим множество классических рядов и зададим на нем логику классических рядов (ЛКР) в виде набора унарных и бинарных операций.

Зададим бинарные операции по аналогии с классической логикой высказываний – конъюнкцию &, дизъюнкцию \/, импликацию , тождество .

Например, А&B означает, что результатом этой операции является логический ряд, образованный конъюнкцией логических значений рядов А и В с одинаковыми номерами итераций. То есть, начальным условием этого ряда будет конъюнкция начальных условий А и В, значением при i=1 будет конъюнкция значений А и В при i=1 - и так далее до бесконечности.

Зададим три  унарные операции – отрицание, обозначаемое знаком , левый сдвиг на n значений – ln, правый сдвиг на n значений – rn.

Левый сдвиг на n значений – ln, операция, в результате которой получается новый ряд, образованный сдвигом всех значений старого ряда на n значений влево.

То есть i-тое значение преобразуется в i-1 значение. Если значение i-n определить невозможно (i-n – отрицательное число), то оно отбрасывается, и ряд пишется с i-n значения.

Правый сдвиг на n значений – rn, операция, в результате которой получается новый ряд, образованный сдвигом всех значений старого ряда на n значений влево.

То есть i-тое значение преобразуется в i-1 значение.

Законом ЛКР будем называть ряд с аттрактором первого рода – И.

То есть, множество детерминированных аттракторов ЛКР состоит из одного аттрактора – значения И.

Частным случаем закона является получившийся в результате некоторой операции И-вырожденный ряд (ИВ).

Формализм ЛКР:

А, В, С… – классические логические ряды, ИВ, ЛВ, ЛРЛ, ИРЛ – их частные случаи.

Операции: &, \/,  ,  , , ln, rn, где n меняется от 0 до бесконечности.

Технические символы:  ), (, 

Если А, В – классические логические ряды, то А&В, А\/В, АВ,  АВ, А, lnА, rnА - тоже классические логические ряды, где n константа – целое число, которое может меняться от 1 до бесконечности.

Теорема 1 ЛКР:

Законы классической логики высказываний имеют аналоги (так же записанные ряды и операции) в ЛКР.

Доказательство следует из того, что все высказывания ЛКР, составляющие ряды -  ai "подчиняются" законам классической логики – по определению ЛКР.

Вот некоторые аналоги законов.

АА – закон тождества,

А  А – двойного отрицания.

В ЛКР есть  специфические законы. Например:

ЛВ – закон отрицания Л-вырожденного ряда,

ЛРЛ\/ИРЛ – закон "аннигиляции" двух разных рядов лжеца.

А\/ИВ – закон дизъюнкции с истинно-вырожденным рядом.

(A&ЛВ) – закон отрицания конъюнкции ЛВ ряда,

l1ЛРЛИРЛ – закон сдвига ряда лжеца,

или в общем случае: lnЛРЛИРЛ где n – нечетное число.

Введем обозначения для различных логик. Модификации ЛКР, связанные с изменением числа операций будем обозначать ЛКР1, ЛКР2 и так далее.

Логику рейхенбаховских рядов зададим по аналогии с операциями, введенными на высказываниях с тремя значениями Рейхенбахом и обозначить ее модификации соответственно ЛРР1, ЛРР2 и так далее.

Логики, состоящие из k значений, где k – целое число от 4 до бесконечности обозначим как ЛkР1, ЛkP2 и так далее.

Например, для четырехзначных логических рядов можно задать логики Л4Р1, Л4Р2, Л4Р3 и так далее.

2.4 Кортежи, масштабы и инварианты логических рядов. Самоподобие. Определение регулярного логического фрактала.

Введем следующие понятия:

Кортеж – конечная последовательность, упорядоченный набор компонентов – элементов кортежа.

Логический кортеж – кортеж, составленный из  логических значений, принятых в данной k-значной логике.

Далее, употребляя термин "кортеж" мы будем иметь ввиду логический кортеж.

Длина кортежа – число компонентов кортежа.

Кортежи бывают:

Унарные – состоящие из одного значения – с единичной длиной,

Бинарные – состоящие из двух значений,

n-ки (тройки, четверки и так далее) – состоящие из трех, четырех и более значений.

Рассмотрим примеры кортежей в ЛКР:

Унарные – <И>, <Л>

Бинарные – <ИИ>, <ИЛ>, <ЛИ>, <ЛЛ>

Тройки – <ИИИ>, <ЛИИ>, <ЛЛИ>, <ЛЛЛ>, <ИЛЛ>, <ИИЛ>, <ИЛИ>, <ЛИЛ>.

Так как число кортежей при фиксированной длине кортежа конечно, то каждый логический ряд можно представить как бесконечную последовательность кортежей.

Рассмотрим в качестве примера ИРЛ, отделяя кортежи пробелом:

ИРЛ как последовательность унарных кортежей: И Л И Л И Л И Л …

ИРЛ как последовательность бинарных кортежей: ИЛ ИЛ ИЛ ИЛ ИЛ …

ИРЛ как последовательность троек: ИЛИ ЛИЛ ИЛИ ЛИЛ ИЛИ ЛИЛ …

ИРЛ как последовательность четверок: ИЛИЛ ИЛИЛ ИЛИЛ ИЛИЛ…

ИРЛ как последовательность пятерок: ИЛИЛИ ЛИЛИЛ ИЛИЛИ ЛИЛИЛ ИЛИЛИ …

Введем понятие масштаба и инварианта.

Масштаб с разрешением n (n-й масштаб) – бесконечный буквенный ряд, получающийся при последовательном обозначении составляющих ряд разных кортежей, длиной  n разными буквами.

При этом, для обозначения кортежей надо придерживаться следующего правила: начинать обозначение надо каждый раз с одной и той же буквы греческого алфавита при рассмотрении ряда на новом количестве значений в кортеже, а новый кортеж, встречающийся на исследуемом масштабе, обозначать следующей буквой алфавита.

Для ИРЛ масштаб с разрешением 1 будет следующим:

         …

масштаб ИРЛ с разрешением 2:

    …

масштаб ИРЛ с разрешением 3:

         …

масштаб ИРЛ с разрешением 4:

       …

масштаб ИРЛ с разрешением 5:

        …

Видна  интересная закономерность – четные масштабы тождественны между собой и нечетные масштабы тоже тождественны между собой.

Для описания масштабных характеристик рядов введем следующие определения:

Самоподобным рядом или инвариантом (инвариантным относительно определенных масштабов) будем называть ряд, у которого есть минимум два тождественных масштаба.

Универсальным инвариантом (универсально инвариантным) будем называть такой ряд, все масштабы которого тождественны.

ИРЛ не является универсально инвариантным, так как он имеет не тождественные масштабы.

ИРЛ является самоподобным или инвариантным относительно четных масштабов – четные масштабы имеют одинаковую структуру и ИРЛ является инвариантным относительно нечетных масштабов – нечетные масштабы тоже имеют одинаковую структуру. Примерами универсально инвариантного ряда являются ИВ и ЛВ.