Фрактальная логика

Тривиально инвариантным на выделенных масштабах рядом будем называть с тождественными обозначениями кортежей на описанных нами масштабах. ИРЛ на четных масштабах, а так же ИВ и  ЛВ на всех масштабах являются тривиально инвариантными и самоподобными рядами.

Регулярным логическим фракталом будем называть самоподобный ряд, у которого есть хотя бы два масштаба, внутри которых обозначения кортежей не тождественны. Или, другими словами, регулярный логический фрактал это самоподобный ряд, минимум два масштаба которого не являются тривиально инвариантными.

ИВ и ЛВ не являются логическими фракталами, а ИРЛ и ЛРЛ являются регулярными логическими фракталами.

2.5 Формализм масштабного преобразования. Преобразованный логический  фрактал.

n-мерное масштабное преобразование – унарная операция - преобразование данного логического ряда (затравки) в новый логический ряд путем последовательной  замены кортежей длиной n затравки на новые кортежи.

Масштабное преобразование должно быть задано на всем наборе возможных значений кортежей длиной n для данной k-значной логики. Полученный новый логический ряд так же может подвергаться масштабному преобразованию либо конечное число раз, либо до бесконечности.

Заметим, что масштабное преобразование можно интерпретировать в терминах обратной связи, рассмотренной в 1.4 – преобразование последовательно применяется к уже преобразованному этим преобразованием логическому ряду. Ясно, что эта обратная связь отличается от обратной связи – генератора логического ряда через итерации начальных условий.

Обозначим две задачи масштабного преобразования. Прямая задача масштабного преобразования – по заданной затравке и масштабному преобразованию описать результат преобразований через заданное конечное число преобразований или бесконечное число преобразований.

Обратная задача масштабного преобразования – по заданному ряду реконструировать множество затравок и соответствующие им масштабные преобразования.

Будем обозначать преобразование кортеж затравки в кортеж нового ряда знаком решетки – “#”. Назовем это преобразование на отдельном кортеже решеткой. Количество решеток R в преобразовании рассчитывается по формуле: R=kn, где k – количество значений в логике (для ЛКР это 2, для ЛРР это 3 и т.п.), n – длина кортежа.

Пример масштабного преобразования затравки иллюстрирован рисунком 2.5.1.

Рисунок 2.5.1 Схема масштабного преобразования затравки.

Масштабное преобразование чем-то напоминает сокращения в языке. Хофштадтер[19] (в блестящем переводе Марины Эскиной) рассмотрел следующее суждение: «БОГ, одолевающий гения», где слово «БОГ» – сокращение слов «БОГ», «Одолевающий», «Гения». При последовательной расшифровке сокращений получаем бесконечно разворачивающуюся последовательность суждений, в которых слово «БОГ» оказывается бесконечным сокращением самого себя. Интересно, что в этом случае обозначает слово БОГ?

Рассмотрим одномерное масштабное преобразование кортежей затравки в ЛКР. Набор значений унарных кортежей: И, Л. Поэтому для осуществления преобразования необходимы две решетки. В качестве примера можно взять следующий вариант преобразования:

И#ИЛ, Л#ЛЛ                                                                                                                              (2.4.1)

Это одномерное масштабное преобразование – преобразование унарных кортежей в бинарные кортежи.

Возможны и другие преобразования. Например:

И#ИЛЛЛЛИИ, Л#ЛИ                                                                                                                (2.4.2)

Рассмотрим двухмерное масштабное преобразование. Весь набор бинарных кортежей следующий: <ИИ>, <ИЛ>, <ЛИ>, <ЛЛ>. Для осуществления преобразования необходимы четыре решетки.  В качестве примера можно взять следующий вариант преобразования:

ИИ#Л, ИЛ#ЛЛЛИИИ, ЛИ#ИИ, ЛЛ#ИИИИИИИИИИЛ                            (2.4.3)

Вот еще один вариант:

ИИ#Л, ИЛ#Л ЛИ#И, ЛЛ#И                                                                                                  (2.4.4)

Это – двухмерное  масштабное преобразование – преобразование  бинарных кортежей унарными кортежами.

Рассмотрим отдельную решетку в n-мерном масштабном преобразовании. Пусть минимальное количество значений в преобразовании справа от всех решеток –  f, максимальное – s.

Если во всех решетках преобразования  n<f, то такое преобразование мы будем называть расширение n-ок кортежей. Если во всех решетках преобразования n>s, то такое преобразование будем называть сжатие n-ок кортежей.

Масштабные преобразования (2.4.1) и (2.4.2) являются расширениями унарных кортежей. Масштабное преобразование (2.4.4) – сжатием бинарных кортежей. Масштабное преобразование (2.4.3) – не является  расширением или сжатием.

Пример 2.4.1.

Возьмем  ИРЛ в качестве затравки, и зададим для нее расширение унарных кортежей: И#ИЛИ, Л#ИИЛ.

Выпишем получившиеся ряды, последовательно их нумеруя:

Затравка:   И Л И Л …

1: ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИИЛ …

2: ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ …

3: ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИИЛ ИЛИ ИЛИ ИЛИ ИИЛ…

Пример 2.4.2

Зададим  для ряда 3 из предыдущего примера сжатие бинарных кортежей:

ИИ#Л, ИЛ#И, ЛИ#И, ЛЛ#И.

Выпишем получившиеся логические ряды:

Затравка: ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ЛИ ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ЛИ ИИ ЛИ ЛИ ИЛ ИИ ИЛ ИЛ ИИ ЛИ ИЛ …

1: ИЛ ИИ ЛИ ИЛ ИИ ЛИ ИЛ ИЛ ИИ ИЛ ИИ ЛИ…

2: ИЛ ИИ ЛИ ЛЛ ЛИ ЛИ…

3. ИЛ ИИ ИИ…

Введем обозначение n-мерных масштабных преобразований по следующему принципу:  , где s – порядковый номер масштабного преобразования. Ясно, что для любой n количество масштабных преобразований бесконечно.

Преобразованным логическим фракталом мы будем называть ряд,  полученный в результате масштабного преобразования кортежей затравки неединичными кортежами, содержащими разные логические значения. Масштабное преобразование может осуществляться конечное или бесконечное число раз.

Соответственно если такой ряд является результатом бесконечного числа преобразований, то это бесконечно преобразованный логический фрактал. Если ряд является результатом s преобразований кортежей затравки, то это s-преобразованный логический фрактал.

Ясно, что если преобразование будут  содержаться одинаковые логические значения, то в результате мы получим ЛВР или ИВР.

Теорема масштабного преобразования.

Если в n-мерном преобразовании справа от решеток стоят кортежи с одинаковой длиной не равной n и нетождественными логическими значениями внутри кортежа, то получившийся в результате хотя бы одного такого преобразования ряд является регулярным логическим фракталом.

Доказательство.

Пусть справа от решеток в преобразовании стоит q кортежей. Рассмотрим затравку – ряд А и результат преобразования – ряд  В.

У ряда В есть два тождественных масштаба – с разрешением n и с разрешением s.

Так как логические значения внутри кортежей разные, то ряд В не является тривиальным. Поэтому, по определению, ряд В является логическим фракталам.

Теорема доказана.

Пример.

Рассмотрим затравку – ИВ.

Зададим  преобразование:

И#ИЛ, Л#ИЛ

В результате получим последовательность рядов:

ИИИИИИИИ…

ИЛИЛИЛИЛ…

ИЛИЛИЛИЛ…

…

В результате бесконечного числа преобразований мы получаем ИРЛ, который является регулярным фракталом, бесконечно преобразованным фракталом из затравки ИВ и s-преобразованным логическим фракталом из затравки ИВ где s – целое положительное число.

2.6 Фрактальная монадология.

Монадой мы будем называть кортеж с заданным  масштабными преобразованиями.

Этот кортеж будем называть затравкой монады.

Будем обозначать монады в честь автора "Монадологии" буквой L.

Пример.

Запись И L И#ИИИЛЛ, Л#ЛЛИИ означает монаду с затравкой в виде кортежа <И> и заданными масштабными преобразованиями для двух кортежей И#ИИИЛЛ, Л#ЛЛИИ.

2.6.1 Готфрид Вильгельм Лейбниц (1646 - 1716)

Кортеж-затравку будем называть реальным кортежем. Оставшиеся кортежи, на которых нам надо задавать преобразования, будем называть виртуальными.

Например, если  кортеж-затравка в ЛКР <ИЛ>, то виртуальными кортежами будут кортежи <ЛИ>, <ИИ>, <ЛЛ>. Масштабное преобразование монады надо задавать для всей совокупности реальных и виртуальных кортежей, общее количество которых равно R=kn (см.2.5).

Монада, при устремлении преобразований в бесконечность, преобразуется в логический ряд -  частный случай логического фрактала, с которым можно проделывать все операции, описанные выше. Таким образом, монада, наряду с обратной связью, может быть генератором логического ряда.

Пример.

Рассмотрим монаду  И L И#ИЛ, Л#ИЛ.

Получаем последовательность кортежей:

И

ИЛ

ИЛИЛ

ИЛИЛИЛИЛ

ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ

ИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛИЛ

В результате устремления этой процедуры к бесконечности, получим ИРЛ.

Монадология – решение прямой и обратной задачи – задачи по конструкции (реконструкции) монады.

Прямая задача – описать получившийся логический ряд с заданной затравкой-кортежем и масштабным преобразованием. Рассмотреть миры затравок и миры масштабных преобразований по определенным параметрам и описать получившиеся ряды. Исследовать их на тривиальность и самоподобие – по аналогии с логическими рядами.

Обратная задача – по заданному ряду или кортежу установить затравку-кортеж и масштабное преобразование.

2.7 Тезис о построении логического фрактала через два типа обратных связей

Вернемся опять к машине обратной связи, рассмотренной в разделе 1.6.

Проводя аналогии между этой моделью  и описанными процедурами построения логических фракталов, можно увидеть то, что  для построения логического ряда необходимо различать по крайней мере два типа обратных связей.

Первый тип обратной связи, описанный в 1.6, применяется для начальных условий и служит механизмом генерации логического ряда. Назовем эту связь итерационной обратной связью. Согласно доказанной нами теореме, эта обратная связь всегда сходится либо к аттрактору первого рода, либо к аттрактору второго рода.

Таким образом, можно сказать, что для этой обратно связи всегда найдется масштаб, на котором сгенерированный обратной связью ряд преобразуется с некоторым правым сдвигом в вырожденный ряд.  Говоря иначе, итерационная обратная связь с единичной вероятностью всегда образует ряд с повторяющимся на бесконечности кортежем.

Значит, итерационная обратная связь является отрицательной – она всегда сходится к какому-то кортежу.

Второй тип обратной связи применяется для затравки – логического ряда, к которому применяются масштабные преобразования. То есть, масштабные преобразования тоже могут быть интерпретированы в терминах обратной связи. Назовем эту связь масштабной обратной связью.

Эта обратная связь может быть положительной и генерировать логический фрактал. В связи с этим мы можем сформулировать тезис о построении логического фрактала:

Любой логический фрактал может быть построен как совокупность итерационной и масштабной  обратной связи.

Этот тезис  можно использовать в качестве общего  определения логического фрактала.

2.8 Количественные характеристики  логического фрактала

2.8.1 Энтропия и кортежная размерность

Для оценки сложности и скорости устремления количества масштабных кортежей ряда к бесконечности введем соответственно понятия энтропии и кортежной размерности логического ряда.

Мы уже знаем, что на масштабе с разрешением n в k-значной логике возможно К= kn различных кортежей.

Количество различных кортежей – это сложность ряда. Так как степенная зависимость велика для количественной оценки, введем, по аналогии с термодинамической энтропией, определение возможной энтропии логического ряда на заданном масштабе (W):

W = logk K,                                                                                                                               (2.8.1.1)