Фрактальная логика

V(t - t0)   t - t02Н,                                                                                                                (2.8.3.8)

а функция корреляции будущих приращений с прошлыми записывается в виде

С(t) = 22H-1 - 1.                                                                                                                              (2.8.3.9)

Ясно, что "гауссовости" не будет и во многих логических фракталах. Показатель Н, который также можно называть Н-размерностью показывает степень близости логического фрактала к случайному процессу типа классического броуновского движения или бросания монеты.

Оценить показатель Н можно различными методами -  например, методом Херста, оценивая накопленное количество И или Л на различных масштабах. Подробнее о методе Херста и обобщенном броуновском движении можно прочитать в уже упоминаемой книге Енса Федера.

              Таким образом, Н можно использовать как количественную характеристику логического фрактала.

Послесловие: проблемы и задачи фрактальной логики

«Минотавр берется мною под защиту. Тезей становится стандартным персонажем, личностью без воображения, почитающей все условности. Минотавр – поэт, он не похож на других, он совершенно свободен. Его изолировали от всех потому, что он угрожает установленному порядку.»

Хулио Кортасар[23].

В данном тексте были предъявлены подходы, с помощью которых можно постепенно уточнять понятия логического фрактала и фрактальной логики, перечислены основные представления и концептуальные установки фрактальной логики.

Что дальше? Постараемся пофантазировать.

…Роджер Пенроуз в книге «The Emperor's New Mind: Concerning Computers, Minds, and the Laws of Physics»[24] рассматривает следующий мысленный эксперимент. Пусть мы формализовали с помощью искусственного языка некоторые высказывания, и дали задание компьютеру определить  их  истинность или ложность. Это определение происходит на основании системы аксиом – набора формализованных алгоритмическим языком  мета-высказываний, определяющих все правила присвоения высказываниям логических значений.

Меняя систему аксиом, можно задавать возможные логики, рассматривать значения возможных высказываний. В частности, можно найти такую систему аксиом, в которой суждение «Я лгу» не образует противоречия.

Однако, согласно теореме Гёделя о неполноте, при любой полной системе аксиом всегда найдутся высказывания, которые будут противоречивы и зациклят компьютер  – введут в бесконечную последовательность вычислений, из которой невозможно выйти. В теории искусственного интеллекта  существует проблема остановки – не существует алгоритма,  позволяющего дать ответ о том, остановится или нет программа вычислений[25]. Таким образом,  не существует программы, которая могла бы показать – зациклен компьютер или нет.

Следовательно, любой достаточно сложный компьютер, работающий по определенной аксиоматической схеме всегда можно либо остановить, либо сломать. Вероятность остановки и ломки тем выше, чем сложнее аксиоматическая система.

Если рассматривать наше мышление с точки зрения аксиом, то оно необычайно сложно – требуется очень большое количество аксиом, необходимых для моделирования мышления. Тем не менее, мышление очень надежно – оно очень редко демонстрирует ломки или остановки. Это связано с тем, что наше мышление, по мнению Пенроуза, не устроено по принципу «аксиомы плюс высказывания» - мозг принципиальным образом отличается от компьютера, описанного выше.

Сэр Роджер Пенроуз (род. 1931)

Получил известность в начале 70 годов как соавтор (вместе со Сивеном Хокингом)  теории черных дыр. Кроме того, известны парадоксальные геометрические фигуры и мозаики Пенроуза. Последние были запатентованы Пенроузом как основа  многих логических головоломок и игр. Имеет личную страницу в Интернет и сам отвечает на письма.

Человеческое мышление решает алгоритмически неразрешимые задачи, которые поставили бы в тупик любую машину.  Этой точкой зрения Пенроуз оппонирует Тьюрингу – машина не может мыслить, так как процессы мышления принципиально  не представимы в рамках алгоритмов – например, алгоритмов машины Тьюринга.

Мышление, по мнению Пенроуза, является квантовой системой – мозг может производить  вычисления на алгоритмически неразрешимых задачах, аксиоматические системы которых нелокальны – находятся в особых "квантово-механических" состояниях.

Мозг умеет переходить от "квантово-механического" состояния – алгоритмически неразрешимого и нелокального к "классическому" через некую (весьма загадочную в рассуждениях Пенроуза) редукционную функцию – функцию локализации мышления в мысли.

Эти туманные рассуждения Пенроуза можно метафорически  проиллюстрировать фрактальной логикой.

Если представить логический фрактал как процесс определения аксиоматической системой истинности или ложности высказывания, то он является, по определению, нелокальной системой с точки зрения внешнего наблюдателя. Логическое значение логического фрактала нелокализовано в локальном знаке.

Поэтому логический фрактал может стать метафорой "квантомеханического состояния" в терминологии Пенроуза.

Аналогом классического или локализованного состояния аксиоматической системы будут ряды ИВ или ЛВ. Кроме того, мы будем считать классическим высказыванием и высказывания с аттрактором первого рода.

Ясно, что аналогом локального состояния могут стать законы фрактальной логики.

А вот пример "редукционной функции" или процедуры локализации, где А – логический фрактал:

А\/ИВ

Это уже знакомый нам закон дизъюнкции с истинно-вырожденным рядом.

"Редукционной функцией" может стать и оператор масштабного перехода.

Если перенести представления о локализации на процессы мышления, то мы сможем приблизиться  к пониманию мышления как фазового перехода от бесконечности к конечности, от делокализации к локализации.

В связи с этим можно сформулировать, тезис локализации – перехода высказывания из нелокального значения логического фрактала в локальное – классическое высказывание:

Для логического фрактала всегда найдется преобразование, переводящее его в вырожденный ряд или ряд с аттрактором первого рода.

Подчеркнем еще раз: это преобразование не есть конечный алгоритм. Проблема остановки накладывает ограничения на выход из бесконечного цикла. Представить это преобразование с помощью нашего локального мышления очень трудно – не смотря на то, что его можно формализовать фрактальной логикой.

Логический фрактал это «монстр» среди алгоритмов, так как он по определению зациклен – в идеальном фрактале невозможно выйти из обратной связи. «Монстр» по определению ненаблюдаем – при наблюдении он превращается в конечный объект описания.

Логический фрактал операционально замкнут. Он, говоря метафорически, не взаимодействует с внешним миром, не забирает информацию из окружающей среды. Для него не работают классические кибернетические модели входа и выхода, организации и среды. Наоборот, развивая интуиции Лейбница о монадах, можно сказать, что логический фрактал создает внешнюю среду, конструирует мир, периодически в него "вываливаясь" своими локализациями, образуя классические высказывания, диктуя внешнему окружению – какие именно локальные высказывания должны иметь фиксированные значения.

Можно предположить, что если это преобразование, останавливающее фрактал не есть алгоритм,  то оно спонтанно – если термин "спонтанность" можно вообще здесь употреблять. Это преобразование есть событие – ситуация, которая может случиться или не случиться.

Преобразование "Нелокальное – локальное" граничит с мистикой и метафизикой. У монады – логического фрактала, нет окон. В акте наблюдения фрактал локализуется в классическую форму, которая поддается интерпретации с помощью понятных нам представлений.

Процедуру локализации мышления можно проиллюстрировать  мифом о Тезее. Нелокальный бесконечный Лабиринт – символ фрактала, топики мышления. В идеальном лабиринте, так же как и во фрактале, невозможно остановиться, невозможно достигнуть цели.

В лабиринте можно только двигаться. Что и делает нелокальный конечный Минотавр (кстати, ненаблюдаемый) – символ хроноса мышления – бесконечного движения.

Минотавр распределен по всему лабиринту одновременно, поэтому для его описания более адекватной будет не траектория, а функция распределения вероятности его нахождения в том или ином месте.

Убийство Минотавра по своей методике и практикам интерпретации напоминает  эксперимент в квантовой механике, наблюдение квантово-механического объекта.

Акт наблюдения при исследовании природы – это эксперимент и одновременно убийство, расчленение того, что хочешь увидеть. Убийство сопряженное с насилием, с властью, с культурными практиками вторжения в запретные области.

Ученый успокаивает себя тем, что эксперимент-убийство - это вынужденные издержки научного метода, так как наблюдать и описывать можно только мертвое тело. Живое тело не локализовано, не подготовлено к специально выстроенному эксперименту.

Метафора "эксперимент-убийство" не нова. В качестве примера можно сослаться на работы Мишеля Фуко, блестяще описавшего становление экспериментальных практик в медицине[26].

Итак, чтобы убить Минотавра (совершить экспериментальный акт наблюдения) надо осуществить во-первых, сложную подготовку системы к акту эксперимента (найти пещеру, спуститься в нее, перейти из локального состояния в пограничное), а во-вторых, провести правильную интерпретацию эксперимента – сделать так, чтобы все поверили в то, что Тезей действительно убил Минотавра, а не принес голову от быка, а туловище от человека. Сделать это, как мы выяснили, сложно, так как до убийства (эксперимента) Минотавр ненаблюдаем, а после эксперимента мы видим не Минотавра, а что-то иное.

Развивая эту метафору, можно сказать, что убив Минотавра и выйдя из лабиринта-фрактала, Тезей локализовал и демистифицировал мышление, остановил бесконечные фракталы, решил проблему остановки.

Нить Ариадны (метафора линии), находится в руках героя. Линия – символ нового мышления, символ перехода от темного нелокального мифа к логосу европейской культуры.

Линия спрямляет фрактал-лабиринт, рождая геометрию и культуру мышления с линейными и локализованными понятиями. Лабиринт лишается своего права быть бесконечным, и от всей его парадоксальности до нас доходит только культурный шифр в виде послания: "Все критяне лжецы" – сказал один критянин". Лабиринт пропадает и выпрямляется, перестает замечаться новой культурой.

Нечто похожее происходит и с Минотавром. Невидимый и непонятный Минотавр локализуется в схеме объяснения, в знаках, в антропоморфных образах. Монстр оказывается всего лишь человеком с головой быка.

Если Тезей – экспериментатор, убивающий миф, то главным орудием убийства, главным мотивом признания эксперимента верным служит  интерпретация события эксперимента-убийства. Не важно, убил Тезей Минотавра или нет, важно то, что мы это интерпретировали именно так, а не иначе. Мы интерпретировали свою жизнь и свои события исходя из этой интерпретации.

Эксперимент показал, что Минотавра больше нет. Мышление линейно и локально. Всё ясно.

Но что-то в этой интерпретации эксперимента-убийства заставляет усомниться. Слишком всё просто. Это подозрительно. Мышление в этой метафоре становится слишком понятным. И самое главное – мертвым, не нужным, не мыслящим.

Проведем следующий мысленный эксперимент. Допустим, Тезей спустился в пещеру убивать Минотавра. Нам точно известно, что в момент времени Т либо нелокальный Минотавр убил (делокализовал) Тезея, либо локальный Тезей убил (локализовал) Минотавра. Эти события равновероятны  и дополнительны. Мы стоим около входа в пещеру и знаем, что если в момент наблюдения Т+dT мы видим Тезея, то Тезей убил Минотавра, если мы не видим Тезея, то произошло дополнительное событие.

Вопрос состоит в следующем – в каком состоянии находится Тезей на протяжении времени dT?

Так как Тезей спустился в лабиринт, то он стал одновременно классическим и квантово-механическим объектом. Значит, Тезей находится в состоянии суперпозиции локального и нелокального состояний – в состоянии суперпозиции жизни и смерти. Тезей находится в пограничном состоянии, и выходит из него только в момент наблюдения Т+dT.

Кое-кто может сказать, что я перепутал Минотавра с кошкой Шредингера, но, тем не менее, этот мысленный эксперимент нужен для обсуждения метафоры нелокальности и наблюдаемости мышления с точки зрения представлений фрактальной концепции.

Но если Тезей находится в состоянии суперпозиции, то  появление Тезея мы можем с такой же вероятностью интерпретировать как убийство Тезея – например, превращение Минотавра в Тезея, ведь никто нам не гарантирует, что Тезей, спустившийся в пещеру и Тезей вышедший из нее есть один и тот же человек.

Далее. Кто нам сказал, что Минотавр есть? Ведь его никто кроме Тезея не видел. И что мог видеть Тезей?

Переформулируем метафору. Кто нам сказал, что мышление нелокально, фрактально, голографично (нужное подчеркнуть) если это невозможно увидеть или почувствовать? Что, кто и и как обеспечивает познавательную целостность нашего эксперимента?