Фрактальная логика

Его действия можно интерпретировать как  переключение "гештальта" (парадигмы - воспринимающих и интерпретирующих способностей научного сообщества) на сборку нового понятия, на распознавание и интерпретацию фрактальных структур в конкретных познавательных контекстах. Мандельброт создал новые устойчивые перцептивные механизмы, и устойчивые лингвистические коммуникативные практики в науке, призвав научное сообщество по-новому оценить давно известные вещи (например - различные типы размерностей, парадоксы измерения, множества, типа множества Кантора).

Поэтому, фрактальная геометрия не есть "чистая" геометрическая теория. Это скорее концепция, новый взгляд на хорошо известные вещи, перестройка восприятия, заставляющая исследователя по-новому видеть мир.

Мандельброт сделал сильный методологический ход, перейдя от некомуникабельного современной ему науке "чистого" конструктивного "монстра", к фракталу - предмету измерения математики и прикладных наук. Для этого он сконструировал две процедуры отождествления - процедуру отождествления рекурсивных математических "монстров" как фракталов и процедуру отождествления предметов измерения фрактальной концепции и предметов измерения теоретических конструктов прикладных исследований (географии, лингвистики, материаловедения и др.). В этом смысле, он ввел цельность представления в разрозненные нагромождения фактов и моделей, создав (предустановив), по меткой метафоре Ю.А. Данилова, "фрактальную" гармонию - фрактальный порядок интерпретируемого мира. Мандельброт запустил интерсубъективный механизм самодостраивания, самоорганизации этого порядка.

После подобного "переключения внимания" в научном сообществе интерсубъективно фиксируется познавательная ценность категории фрактала, формируется некоторое "личностное" знание - подразумеваемое знание о фрактале, предающее статус очевидности категории фрактала, создающее контекст фрактальной концепции и снимающее необходимость точного определения фрактала.

В диссертационной работе[10] было показано, что введение фрактальной геометрии в практики интерпретации природы можно интерпретировать с точки зрения принципов дополнительности, наблюдаемости и соответствия квантовой механики.

В качестве иллюстрации  дополнительности схем измерения фрактальной геометрии, эксплицируем логические процедуры измерения природного фрактала – береговой линии.

С трудностями при измерении длины береговой линии Британии столкнулся в начале нашего века английский гидромеханик Ридчардсон при попытке заменить береговую линию ломаной с длиной L=N при исследовании зависимости длины ломаной от шага циркуля в разномасштабных картах (рис. 1.5.1).

Рис 1.5.1 К измерению длины береговой линии Британии

Рис 1.5.2 Зависимость длины побережий L() от шага циркуля .

Оказалось, что при уменьшении единицы измерения , длина L резко возрастает:

Таблица 1.5.1

Мандельброт предложил аппроксимировать степень “убегания” длины береговой линии L() в зависимости от  степенным законом:

L()=a1-D

Он показал, что размерности D различных побережий отличаются (рис. 1.5.2), и могут служить достаточно информативной географической характеристикой, описывая степень извилистости, скрученности побережья.

Зададимся вопросом - почему факт "разбегания" длины был долгое время – до работ Мандельброта, не замечаем научным сообществом географов? Почему географы не обращали внимания на работы Ридчардсона? Как можно интерпретировать эту селективную избирательность?

Если побережье - "действительно" фрактал, то почему, этого так долго "не замечали" географы? С чем это связано?

С одной стороны, можно сказать, что факт невнимания к аномальному поведению длины побережья - ошибка географов, которую исправила фрактальная теория.

Но как назвать ошибку, для которой не было корректно сформулированной задачи – не существовало  образцов ответов?

Поэтому, нам интереснее рассмотреть факт невнимания к результатам Ридчардсона не в терминах ошибки или заблуждения, а в терминах интерсубъективности восприятия предмета исследования.

С этой точки зрения весьма интересной представляется концепция личностного знания М.Полани. Факт невнимания географов к масштабному "разбеганию" длины побережья, выразившийся, в частности, в попытках найти и обосновать "истинный", "самый верный" масштаб измерения обусловлен отсутствием "влиятельной метафизики" и соответствующей ей научной теории, и как следствие - языка описания, способов интерпретации.

В результате этого рождается селективный отбор эмпирических фактов:

"...в научном исследовании всегда имеются какие-то детали, который ученый не удостаивает особым вниманием в процессе верификации точной теории. Такого рода личностная избирательность является неотъемлемой чертой науки."[11]

Когда внимание учного направлено на линию, происходит интенциональный акт понятийного "схватывания" линии, который, несомненно, связан с "влиятельной метафизикой" евклидианской исследовательской программы, определяющей свойства сознания ученого, характеристики познавательной среды, в которую он погружен. Личностная избирательность - результат этого "схватывания", абстрагирования понятия.

Математические «монстры» (затем преобразившиеся в фракталы) - яркий пример личностной избирательности научного сообщества, не желающего принимать "в свою компанию" то, что "противоречит здравому смыслу".

Ситуация становится более интересной, когда появляются дополнительные схемы объяснения, когда бывшие «монстры» теряют свои маргинальные статусы. В дополнительности кроится конфликт, вызов коммуникационной тотальности единой схемы объяснения

Для корректного рассмотрения данной проблемы введем понятие о принципе дополнительности фрактальной геометрии, когда природный феномен, в зависимости от понятийных установок исследователя или научного сообщества, может менять свой понятийный статус.

По аналогии с интерпретацией квантово-механических событий копенгагенской школой Бора и Гейзенберга, можно предположить, что при соотнесении природного феномена с предметами разных теорий (фрактальной геометрией и геометрией Евклида) образуются комплиментарные предложения, по крайней мере одно из которых может быть определенным, тогда как другое - неопределено.

Будем считать, что утверждение о том, является ли природный феномен, например, евклидовой линией или фракталом, является неопределенным до тех пор, пока мы не уточним, в рамках какой теории  мы его пытаемся объяснить - на языке фракталов, или на языках других геометрий. Только после такого уточнения и задания соответствующей процедуры отождествления одно из дополнительных понятий приобретает определенность.

Пусть:

А - высказывание “длина побережья Британии равна 2 километра”,

В - высказывание “фрактальная размерность побережья Британии равна 1.23”.

Высказывания А и В находятся в отношении, напоминающим отношение дополнительности в квантовой механике. Если измерена длина побережья, и результаты измерения выражены высказыванием А, то А - истинно или ложно. В этом случае высказывание В о том, что побережье Британии имеет фрактальную размерность принципиально неопределено - фиксированием длины мы задали линейность предмета измерения побережья предустановив ему единичную, нефрактальную размерность.

Длину и фрактальную размерность измерить при одном и том же масштабном преобразовании нельзя. А дополнительно к В. И наоборот - В дополнительно к А. как и в квантовой механике, дополнительность в данном случае симметрична.

Эти высказывания подпадают под определение отношения дополнительности В.С.Меськова[12]: “Два высказывания находятся в отношении дополнительности, если и только если: 1) они не могут быть одновременно истинными; 2) они не могут быть одновременно ложными; 3) если одно из них является истинными или ложным, то второе - неопределенным; 4) если одно из них является неопределенным, то второе может принимать любое из допустимых истинностных значений”.

Данные утверждения могут быть записаны в “трехзначной” логике Рейхенбаха:

ААВВВА ,

где:  - обычная дизъюнкция,   - альтернативная (по Рейхенбаху) импликация,   - “циклическое” (по Рейхенбаху) отрицание.

Как известно, Г. Рейхенбах, наряду с М. Штраусом и П. Феврие был основоположником семантического подхода в логике квантовой механики, суть которого заключалась в логической экспликации дополнительности рассмотрению дополнительности  как отношению между высказваниями о дополнительных величинах.

Рис. 1.5.3 Ганс Рейхенбах (1891 - 1953)

Немецкий философ и логик. Профессор философии физики в Берлинском университете. Преподавал в Стамбульском университете и в Калифорнийском университете США.

Рейхенбах приводит следующую таблицу значений[13]:

Таблица 1.5.2

Таблица 1.5.3