Фрактальная логика

В 1912 году - через девять лет после 1903 года, поляк Вацлав Серпинский пополняет “монструарий” новыми фигурами - своими “салфетками” и треугольниками. На время перед первой мировой войной  приходится расцвет полемики вокруг теоретико-множественных парадоксов в сообществе логиков.

В двадцатых-тридцатых годах ХХ века русский инженер адмирал А. Крылов применил функции без производных для моделирования процесса колебаний  корабля:  "монстры" постепенно стали приобретать физический смысл.

Рис 1.3.4 Фрагмент публикации  Х. Коха  "Une mйthode  gйomйtrique   йlйmentaire pour l'йtude de certaines questions de la thйorie des courbes planes", Acta Mathematica 30 (1906 г.),145-174

1.3.5 Давид Гильберт (1862 – 1943)

Великий немецкий математик, оставивший крупный вклад в теории инвариантов, основаниях геометрии, в логических основаниях математики. Его исследования "монстров" тесно переплетались с поисками непротиворечивых оснований геометрии.

1.3.6 Публикация Д. Гильберта (1890), анализирующая работы Пеано

1.3.7 Вацлав Францижек Серпинский (1882 - 1969)

Основные труды Вацлава Серпинского связаны с теорией множеств и ее приложением к топологии. Кроме этого, на русском языке известны работы Серпинского по теории чисел и арифметике.

1.3.8 Построение треугольника Серпинского

Рис. 1.3.9 Алексей Николаевич Крылов (1863-1945)

Всемирно известный кораблестроитель. Разработал схемы расчетов основных характеристик корабля – остойчивости и плавучести. Создал теорию килевой качки, заложил основы строительной механики, динамики и вибрации кораблей.

Совпадения биографические.

Георг Кантор  – пример математика и логика, который в своем творчестве обращался как к анализу парадоксов, так и  к построению и исследованию “монстров” причем на одном и том же примере. В 1883 году Кантор публикует свою работу “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten”, в котором демонстрирует пример построения “монстра” – множества точек, называемого сейчас множеством Кантора. Это множество образовано в результате бесконечного итерационного процесса, похожего на процесс построения кривой Коха (рис. 1.3.11). Кантор последовательно отбрасывал  из отрезка единичной длины сначала среднюю часть, а потом средние части  всех оставшихся фрагментов. Проделав эту процедуру бесконечное число раз, великий логик рассмотрел свойства получившегося множества точек – так называемой канторовой пыли. Кантор показал, парадоксальность этого “монстра”. Мощность получившегося множества точек оказалась равной мощности множества точек на отрезке.

В этом примере встретились парадокс и “монстр” – “монстр” оказался иллюстрацией парадоксального понятия мощности множества, воплощением непонятной бесконечности. Кантор пытается понять бесконечность и  строит концепцию для ее описания.

Рис.1.3.10 Георг Фердинанд Кантор (1845-1918)

По выражению Гильберта, развив теорию множеств, Кантор построил рай для математиков. Первым ввел в математику понятие актуальной бесконечности, сопоставив ей математические объекты – трансфинитные  числа. Построил теорию трансфинитных чисел, связав ее с теорией множеств. Ввел понятия мощности множества и подобия множеств.

Рис. 1.3.11 Построение канторовой пыли

Рис 1.3.12 Первая страница работы Кантора “Ьber unendliche, lineare Punktmannigfaltigkeiten” (1883)

Не случайным, с точки зрения изучения биографических совпадений, оказывается увлечение логикой Бернарда Больцано. В 1837 году Больцано пишет книгу "Попытка нового понимания логики", в которой он попытался ввести новую неформализованную "Про-Лейбницевскую" логику.

Попытки поиска оснований логики предпринимал и Джузеппе Пеано – автор кривой Пеано, исследовавший  в 80-90 годах XIX  века понятия числа. Пеано интересовался рекурсивными схемами – процедурами, с помощью которых можно определить понятие числа.

Работы Пеано оказали влияние на Бертрана Рассела, его взгляды периода "Принципов математики".

Совпадения социальные.

И “монстры” и парадоксы – это контрпримеры, противоречащие существующим на данный момент парадигмам в сообществе ученых, частные случаи, разрушающие хорошо выстроенные научные  представления.

Есть совпадения в отношении научного сообщества к “монстрам” и парадоксам. Удивление, испуг, растерянность, заменялись запретами на их применение и попытками создать новую теорию, свободную от “монстров” и парадоксов – описать логически корректные и непротиворечивые основания математики.

Этот процесс был проанализирован  Имре Лакатосом в его книге «Доказательства и опровержения». Лакатос назвал его “monster barring” - процессом “исключения монстров” - как некоторой позитивистской программы ухода от парадоксальности при исследовании геометрических и логико-математических объектов, построенных путем бесконечных рекуррентных процедур.

Книга «Принципы математики» Б. Рассела и А. Уайтхеда с этой точки зрения предстает как попытка исключения монстров, попытка найти непротиворечивые первые принципы, основания математики, свободные от рекурсий и бесконечных кругов, заселяющих логику "монстрами". Попытка, на взгляд Лакатоса, неудачная[3].

Совпадения операциональные: дискретность процедур.

Построение “монстров” и парадоксов можно представить как набор дискретных операций-алгоритмов, напоминающих рецепт. Сначала договариваются о каких-то правилах игры, а потом описываются конечные мыслительные или геометрические операции, исполнение которых приводит к тому, что появляется “монстр” или парадокс.

Совпадения самодостраивания и цикличности.

И “монстры” и парадоксы есть результат применения процедур к одному и тому же объекту и изменений этого объекта, исходя из состояния этого объекта. Парадокс – это самореферентное суждение, суждение о суждении. «Монстр» - самореферентная рекуррентная процедура.

В случае с парадоксами суждение  начинает бегать по кругу  – от “Высказывание истинно, значит оно ложно” к “Высказывание ложно, значит, оно истинно”. Мысль зацикливается и не может остановиться. При этом, суждение пытается обосновать себя самого – объектом анализа суждения становится само суждение, рождается новое значение, разрушающее присутствие старого значения. Это и есть “самодостраивание”: зацикливаясь, мыслительная процедура, выстраивает сама себя и рождает парадокс.

Аналогичный процесс запускается и при построении “монстров”. Фигуры Коха, Пеано или Серпинского не есть выстроенные объекты, а есть процессы самодостраивания – процессы бесконечных изменений одного и того же объекта.

“Монстр” есть выстраивание - циклический, постоянно возвращающийся  процесс изменения. Если процесс итераций остановить, то “монстр” тут же превратится в обычную ломаную линию с конечным количеством особых точек.

Совпадения  бесконечности.

Суждение, попав в логический круг, начинает вертеться в нем – значения не фиксируется, и меняется бесконечное число раз по циклу: “Суждение истинно значит ложно, суждение ложно значит истинно”.

Так же, до бесконечности, продолжается построение “монстра”.

Бесконечность присутствует как в изменении значений парадоксального высказывания, так и в итерациях “монстров”.

Бесконечность сводит с ума борцов с монстрами, являясь символом нелогичности и иррациональности.

Концептуальные совпадения

Есть несколько научных и философских концепций, обращающихся одновременно и к математическим монстрам, и к логическим парадоксам.

Во-первых, это теория хаоса и концепция сложности (complexity), синергетическая парадигма, которые приводят парадоксы в качестве результата "линейного" мышления. «Монстры» в этих концепциях -  формы нового, "нелинейного" мира.

Во-вторых, это концепция автопоэзиса, бурно развиваемая сейчас философами, биологами и социологами, основателями которой считаются чилийские биологи и эпистемологи Умберто Матурана и Франциско Варела[4]. Франциско Варела в своих работах приводил монстры и парадоксы в качестве моделей саморазвивающихся, самодостраивающихся автопоэтических систем[5].

Многие статьи У. Матураны и Ф. Варелы присутствуют в ИНТЕРНЕТ. В качестве отправной точки можно сходить на сервер www.synergetic.ru, где присутствуют обзоры и библиография работ.

Наша задача состоит в том, чтобы выстроить совпадения математических "монстров" и логических парадоксов на концептуальном поле фрактальной геометрии.

Рис 1.3.15 Иллюстрация бесконечного самодостраивания и цикличности: метафора автопоэзиса. М. Эшер. Руки.

1.4 Исторический очерк фрактальной геометрии

…( и что этот образ? не явь и не сон,

не заболеванье и не исцеленье,

а с криком летящая над колесом

мгновенная ласточка одушевленья)

тогда он и скажет себе: - Чудеса!

Не я ли раздвинул тяжелые вещи,

чтоб это дышало и было как сад,

как музыка около смысла и речи,

и было псалтырью, толкующей мне

о том, что никто, как она, не свободен, -

словами, которых не ищут в уме

делами, которых нигде не находят...

Ольга Седакова "Последний читатель"

"Почему геометрию часто называют холодной и сухой? Одна из причин заключается в ее неспособности описать форму облака, горы, дерева или берега моря. Облака - это не сферы, горы - не конусы, линии берега - это не окружности, и кора не является гладкой, и молния не распространяется по прямой. Природа демонстрирует нам не просто более высокую степень, а совсем другой уровень сложности. Число различных масштабов длин в структурах всегда бесконечно.

Существование этих структур бросает нам вызов в виде трудной задачи изучения тех форм, которые Евклид отбросил как бесформенные - задачи исследования морфологии аморфного. Математики, однако, пренебрегли этим вызовом и предпочли все больше и больше отдаляться от природы, изобретая теории, которые не соответствуют ничему из того, что можно увидеть или почувствовать."

Этими, ставшими уже популярными, словами американский математик Бенуа Мандельброт начинает свой всемирно известный бестселлер “The Fractal Geometry of Nature”[6].

Фрактальная геометрия, по Мандельброту это и есть настоящая геометрия природы, отличающаяся от традиционных геометрий, уводящих человека в царство безжизненных  абстракций. Природа аморфна и причудлива.

Фрактал - форма природного хаоса, форма аморфного, форма бесформенного, приближающая взгляд и ум человека к природе.

Термин "фрактал" предложен Мандельбротом. Вот что пишет он сам по этому поводу в разделе “Фрактал” и другие неологизмы” во введении к своей книге “Фрактальная геометрия природы”[7]:

"Я создал термин фрактал от латинского прилагательного fractus. Соответствующий латинский глагол frangere означает "разрывать, прерывать": создавать нерегулярные фрагменты. Это, следовательно, имеет (подходящее для нас!) значение дополнительное к термину "фрагментированный" (как и к фракция (fraction), рефракция (refraction)), fractus также "нерегулярный", оба значения сохраняются в термине fragment.

Правильнее поизносить - frac'tal - с ударением таким же, как и в слове fraction.

Сочетание “фрактальное множество” (fractal set) будет определена строго, но сочетание “природный фрактал” (nature fractal) будет подано свободно - для определения природных примеров, которые полезно репрезентировать с помощью фрактальных множеств. Например, броуновская кривая - это фрактальное множество, а физическое броуновское движение - это природный фрактал.

(Поскольку алгебра происходит от Арабского jabara = “связывающего вместе”, фрактал и алгебра стоят в этимологических оппозициях!)

Обычно, в моих путешествиях по вновь открытой или заново определенной территории, я часто перемещался под влиянием права на присваивание имени поворотным пунктам этой территории. Как правило, тщательно созданный неологизм представляется более лучшим, чем добавление новый морщина к уже затасканному термину.”

Мандельброт рассматривает математические аналоги природных форм и уточняет представление о фракталах – особых геометрических множествах, форма которых принципиально отличается от традиционных геометрических форм типа точки, линии и плоскости.

В качестве примера фракталов Мандельброт рассмотрел множества Жюлиа Мандельброта  на комплексной плоскости.

В основе построения этих множеств лежит рекуррентная процедура - процесс итерации zf(z,c), где z -комплексная переменная, c - комплексная константа, f - нелинейная функция.

Если x и y - координаты плоскости, то переменная z=x+iy, константа c=p+iq, а, например, нелинейную функцию можно выбрать такую: f(z,c)=z*z+c.

Тогда если c=0, то все точки z делятся на три класса: