Лекції "Проектний аналіз"

2.2. ЦІННІСТЬ ГРОШЕЙ  У ЧАСІ

2.2.1. Поняття майбутньої і теперішньої вартостей

  Життєвий  цикл проектів досить тривалий, тому виникає  проблема зіставлення вигід і  затрат, що виникають у певному  періоді. Концепція оцінки грошей у  часі ґрунтується на тому, що вартість грошей з плином часу змінюється з урахуванням норм прибутку на ринку грошей. Нормою прибутку часто виступає позичковий процент, тобто сума доходу від використання грошей на ринку капіталів. У процесі порівняння вартості коштів застосовують два поняття: майбутня вартість коштів (future value — FV) та теперішня вартість коштів (present value — PV).

  Майбутня  вартість (FV) являє собою суму інвестованих у теперішній момент коштів, в яку вони мають перетворитися через певний проміжок часу з урахуванням певної ставки процента.

  Під ставкою процента розуміють вимір часової вартості грошей, суму процента на інвестиції, яка може бути отримана за даний період часу. Якщо інвестування здійснюється у короткому проміжку часу, то користуються простим процентом — сумою, яку нараховано на первинну вартість вкладу в кінці одного періоду. Він обчислюється за формулою:

        І = р · і · n, (2.2.1)

де  I — грошовий вираз процента, сума процентних грошей, які нараховано за період інвестування; p — первинна вартість вкладу; i — процентна ставка; n — кількість періодів платежів.

  Майбутня  вартість розраховується таким чином:

        FV = PV + I,  (2.2.2)

де PV — теперішня вартість грошей.

  Якщо  інвестування здійснюється у тривалому  проміжку часу, то користуються складним процентом. Це сума доходу, яка утворюється в результаті інвестування за умови, що сума нарахованого процента не виплачується після кожного періоду, а приєднується до суми основного вкладу і у подальшому платіжному періоді сама приносить дохід.

  Процес  переходу від теперішньої вартості (PV) до майбутньої (FV) називається компаундуванням.

  Компаундування (нарахування) — операція, що дозволяє визначити величину остаточної майбутньої вартості за допомогою складних процентів.

  Рівняння  для розрахунку майбутньої вартості шляхом компаундування має такий вигляд:

        FV = PV(1 + i)ⁿ, (2.2.3)

де  FV — майбутня вартість; PV — теперішня вартість; i — ставка процента у поточному або реальному виразах; n — кількість років або строк служби проекту; (1 + i)ⁿ — коефіцієнт (фактор) майбутньої вартості для i та n.

  Процес  дисконтування являє собою операцію, протилежну компаундуванню (нарощуванню  складних процентів) при обумовленому кінцевому розмірі коштів.

  Дисконтування — процес визначення теперішньої вартості потоку готівки шляхом коригування майбутніх грошових надходжень за допомогою коефіцієнта дисконтування.

  Для ілюстрації наведемо приклад. Припустимо, що ви поклали у банк 1000 грн. під 20 % річних. Яку суму ви матимете наприкінці першого року? Для початку визначимо, що теперішня вартість або початкова сума вашого рахунку PV = 1000 грн., а процентна ставка, яку виплачує банк за один рік, i = 20 %. Майбутня вартість по закінченні одного року (n = 1) FV дорівнює початковій ставці, помноженій на 1,0 плюс процентна ставка i = 0,2. 
Отже, наприкінці першого року ви матимете 1200 грн. (1000 + + 1000 × 0,2, або 1000 × (1 + 0,2)).

  Розглянемо, яким буде результат, якщо ви залишите свої 1000 грн. на банківському рахунку на 3 роки. Майбутня вартість початкової суми на кінець третього року може бути визначена за допомогою рівняння (2.2.3):

FV = 1000 × (1 + 0,2)³ = 1728 грн.

  Теперішня вартість (PV) являє собою суму майбутніх грошових надходжень, що наведені з урахуванням певної ставки процента до теперішнього періоду.

  Аналогічно  у дисконтуванні може застосовуватися простий і складний проценти, але на практиці використовують тільки складний процент. Розрахунок має такий вигляд:

        PV = FV / (1 + i)ⁿ = FV · 1 / (1 + i)ⁿ,  (2.2.4)

де 1 / (1 + і)ⁿ — фактор процента теперішньої вартості або коефіцієнт дисконтування.

  Приклад 1. Очікується, що дохідність інвестиції складатиме 5 % річних. Відповідно до формули (2.2.3) 100 грн., вкладені зараз, через рік коштуватимуть:

FV₁ = 100 · (1 + 0,05) = 105.

  Якщо  інвестор бажає продовжити вкладення, то наприкінці наступного року вартість вкладу дорівнюватиме:

FV₂ = FV₁ · (1 + i) = 105 · (1 + 0,05) = 110,25,

або за формулою (2.2.1):

FV₂ = PV · (1 + i)² = 100 · (1 + 0,05)² = 110,25.

  Процес  нарощування вартості початкових 100 грн. можна подати у вигляді табл. 5.

  Приклад 2. Припустимо, що інвестор бажає отримати 200 грн. через 2 роки. Яку суму він має помістити на терміновий депозит зараз, якщо процентна ставка становить 5 %?

  Для розрахунку скористаємося формулою (2.2.4):

PV = 200 : (1 + 0,05) = 181,40.

  Таблиця 5

РОЗРАХУНОК  МАЙБУТНЬОЇ ВАРТОСТІ КОШТІВ

  У цьому випадку величина i сприймається як ставка дисконту (її часто називають просто дисконтом).

  Випадок, який розглянуто у прикладі 2, можна інтерпретувати наступним чином:

  181,40 грн. та 200 грн. — це два способи подати одну й ту ж суму коштів у різні моменти часу: 200 грн. через два роки дорівнюють 181,40 грн. сьогодні.

  Для спрощення розрахунків майбутньої і теперішньої вартостей можна користуватися таблицями значення фактора майбутньої і теперішньої вартостей (див. додатки 1, 2), в яких наведено готові розрахунки за формулами (1 + і)ⁿ та 1 / (1 + i)ⁿ для різних значень (i) та (n).

  Розрахунки, що виконуються при відборі проектів, досить часто містять необхідність визначення вартості рівновеликих платежів (або надходжень), які здійснюються через однакові проміжки часу продовж певного періоду. Такі платежі називають ануїтетом. Розрізняють майбутню вартість ануїтету (вартість ануїтету на момент останньої виплати) та теперішню вартість ануїтету (дисконтована сума ануїтету на дату останньої виплати).

2.2.2. Номінальна та  реальна процентні  ставки

  Як  у компаундуванні, так і у дисконтуванні  користуються ставкою дисконту, яка  є очікуваною майбутньою альтернативною вартістю грошей, іноді теперішньою або реальною ставкою процента або окремою величиною, що залежить від наведеної строкової обмеженої цінності грошей (про це мова піде нижче).

  Під час оцінки проектів необхідно обрати один з методів приведення всіх грошових потоків до базового року. Якщо використовується метод дисконтування, то всі грошові потоки приводять у відповідність з першим (або нульовим) роком. При застосуванні методу компаундування всі грошові потоки приводять до останнього n-го року.

  При оцінці величини грошових потоків з  урахуванням фактора часу найбільш поширеними проблемами є:

  1) складність вибору відповідної процентної ставки;

  2) непослідовність у користуванні показниками процентних ставок.

  Величина  процентної ставки відображає вартість капіталу для інвестора, наприклад рівень дохідності за облігаціями державної позики. Оскільки цінність грошей у реальному виразі може знижуватися протягом часу через інфляцію, у проектному аналізі використовують такі дві ставки:

• реальна процентна ставка (r) — ставка доходу на капітал без урахування інфляції. У разі використання реальної ставки процента необхідно проводити розрахунок грошових потоків у постійних цінах, тобто нейтралізувати вплив інфляції;
• номінальна (теперішня) процентна ставка (i) — ставка доходу з позицій інвестора на приватному ринку, яка включає інфляцію (t) і тому визначається підсумовуванням реальної ставки процента та величини темпу інфляції:

        i = r + t , (2.2.5)

де  r — реальна процентна ставка (дохідність інвестицій); t – темп інфляції.

  Якщо  інфляція має значні темпи, то розрахунок номінальної процентної ставки здійснюється за формулою складних процентів:

        i = r + t + r · t , (2.2.6)

де  r · t — інфляційна премія.

  Інфляційна  премія — це премія за інфляційне очікування, яку інвестори додають до реального, вільного від ризиків рівня доходу (норми прибутку).

  Величина  реальної ставки визначається за рівнянням:

         .  (2.2.7)

  Якщо  в аналізі проекту використовують лише реальні (постійні) ціни, то для визначення вартості капіталу не слід збільшувати на інфляцію річні виробничі експлуатаційні витрати і вигоди.

  Розглянемо  вплив інфляції на номінальні та реальні  рівні доходів фірми. Визначимо, як зміна темпу інфляції вплине на величину номінальних доходів та рівень дохідності до і після сплати податку (табл. 6 і 7). Розрахуємо номінальні ставки дохідності згідно з різними темпами інфляції — 20, 100 та 150% на рік.

  Таблиця 6

РОЗРАХУНОК  НОМІНАЛЬНОЇ СТАВКИ

ДОХІДНОСТІ  ІНВЕСТИЦІЙ, %

  Величина  номінальної ставки дохідності за першим сценарієм дорівнює 140%, за другим — 300, за третім — 400%.

Рис. 10. Динаміка змін номінальної ставки дохідності до сплати  
податків за різними інфляційними сценаріями

  Розрахунки, наведені у табл. 6, свідчать, що при збільшенні темпів інфляції номінальний дохід від інвестицій зростає більш високими темпами, і навпаки, при повільному зменшенні інфляції номінальна дохідність спадає стрімкіше.

  Таблиця 7

РОЗРАХУНОК  РІВНЯ НОМІНАЛЬНОЇ  ДОХІДНОСТІ  
ПРИ РІЗНИХ ТЕМПАХ ІНФЛЯЦІЇ, %