Шпаргалка по "Статистике"

Оскільки відповідно до першої властивості  середньої арифметичної å ( Х _і – ) = 0, то при розрахунку такого роду характеристик використовують або модулі, або квадрати відхилень. У результаті маємо такі характеристики варіації: середнє лінійне відхилення, середнє квадратичне відхилення та дисперсію. Розрахункові формули цих показників наведені в табл. 4.6.1.

Якщо  статистична сукупність надана у  вигляді інтервального варіаційного ряду, то для розрахунку показників варіації використовуються розрахункові формули за зваженою формою. При цьому замість індивідуального значення ознаки обирається середина відповідного інтервалу.

Середнє лінійне відхилення являє  собою середню відстань між середньою  арифметичною величиною та відповідними індивідуальними значеннями окремих  ознак, а це завжди додатна величина. Саме тому у формулах відхилення кожної варіанти від середньої арифметичної береться за модулем.

Дисперсія являє собою середній квадрат відхилень і пов’язана  з середнім квадратичним відхиленням  таким співвідношенням:

 

,     

де s – середнє квадратичне відхилення;

 D = s  ² – дисперсія.

квадратичне, або  стандартне

 

24. Коефіцієнти варіації, їх роль у статистичному аналізі.

Варіацією ознаки називають різницю у числових значеннях ознак одиниць сукупності та їх коливання навколо середньої величини, що характеризує сукупність. Чим менша варіація, тим одноріднішою є сукупність і більш надійною (типовою) є середня величина.

До основних абсолютних і відносних  показників, що характеризують варіацію, є такі: розмах варіації; середнє лінійне відхилення; дисперсія; середнє квадратичне відхилення; коефіцієнт варіації тощо.

Розмах варіації - це різниця між найбільшим та найменшим значеннями ознаки.

Величина показника залежить тільки від крайніх значень ознаки і  не враховує всіх значень, що містяться  між ними.

Досконалішим є визначення варіації через інші показники, які дають змогу усунути недолік розмаху варіації.

Середнє лінійне відхилення являє собою середню арифметичну з абсолютних значень усіх відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої.

Наявність абсолютних значень відхилень  від середньої пояснюється так: середня арифметична має нульову  властивість, згідно якої сума відхилень  від середньої індивідуальних значень  ознаки зі своїми знаками дорівнює нулю; щоб мати суму всіх відхилень, відмінних від нуля, кожне з  них слід брати за абсолютною величиною.

Основним недоліком середнього лінійного відхилення є те, що в  ньому не враховуються знаки відхилень, тобто їх спрямованість. Тому цей показник варіації використовується рідко (аналіз складу працюючих, ритмічність виробництва, обертання коштів у зовнішній торгівлі тощо). Показниками варіації, які б усунули недоліки середнього лінійного відхилення, є дисперсія та лінійне квадратичне відхилення.

Дисперсією називають середню арифметичну квадратів відхилень індивідуальних значень ознаки. В залежності від вихідних даних дисперсія може обчислюватись за формулами середньої арифметичної простої або зваженої.

Дисперсія - це один з найбільш розповсюджених в економічній практиці узагальнюючих показників розміру варіації у сукупності. Дисперсію використовують не лише для оцінки варіації, а й для вимірювання зв'язків між досліджувальними факторами; розклад дисперсії на складові дозволяє оцінити вплив різних факторів, які обумовлюють варіацію ознаки.

Середнє квадратичне відхилення, як і дисперсія, виступає в якості широко використовуємого узагальнюючого показника варіації.

Смислове значення середнього квадратичного  відхилення таке саме, як і лінійного відхилення: воно показує, на скільки в середньому відхиляються індивідуальні значення ознаки від їх середнього значення. Перевага цього показника порівняно із середнім лінійним відхиленням полягає у відсутності умовного припущення з підсумування відхилень без врахування їх знаків, бо відхилення використовуються у квадратній степені. Крім зазначеного, перевагою даного показника у зрівнянні з дисперсією є те, що середнє квадратичне відхилення виражається в тих же одиницях вимірювання, що і значення досліджувальної ознаки (грн, кг, га тощо). Тому цей показник називають також стандартним відхиленням.

Коефіцієнтом варіації називають процентне відношення середнього квадратичного відхилення до середньої арифметичної величини ознаки.

Чим більше коефіцієнт варіації, тим  менш однорідна сукупність і тим менш типова середня для даної сукупності. Встановлено, що сукупність кількісно однорідна, якщо коефіцієнт варіації не перевищує 33%.

Дисперсія посідає особливе місце  у статичному аналізі соціально-економічних  явищ і є важливим елементом статистичних методів, зокрема у дисперсному аналізі.

27. Статистичні характеристики  диференціації та концентрації.

Ступінь нерівномірності  розподілу досліджуваної ознаки, не пов’язаний ні з обсягом сукупності, ні з чисельністю окремих груп, називають концентрацією. При дослідженні нерівномірності розподілу досліджуваної ознаки за територією поняття “концентрація” замінюють поняттям “локалізація”. Централізація означає зосередженість (скупченість) обсягу ознаки у окремих одиниць (наприклад, капіталу в окремих комерційних банках, продукції якогось виду на окремих підприємствах і т. ін.).

Узагальнюючий показник централізації І_Z розраховується за формулою:

,    

де m_i – значення ознаки і-ої одиниці сукупності ;

    - обсяг ознаки всієї сукупності;

    n - обсяг сукупності (кількість одиниць, що входять у сукупність).

Коефіцієнт концентрації (коефіцієнт Лоренца) є узагальнюючою для сукупності характеристикою відхилення розподілу від рівномірного і визначається за формулою:

 

.  

Чим ближче значення цього показника  до 1 (100%), тим вищий рівень концентрації, при значенні К=0 розподіл ознаки за всіма одиницями сукупності є рівномірним. При визначенні цього коефіцієнта можна оперувати як частками одиниці, так і відсотками. Порівняння структур на основі відхилень часток дозволяє вимірювати диференціацію сукупності за даними інтервальних рядів із нерівними інтервалами та атрибутивних рядів розподілу.

Оцінка рівня  концентрації при вивченні економічних  явищ дуже часто здійснюється по кривій концентрації Лоренца. Для її побудови необхідно мати частотний розподіл одиниць досліджуваної сукупності та відповідний до нього частотний розподіл ознаки, що вивчається. При цьому для зручності розрахунків і підвищення рівня аналітичності даних одиниці сукупності, як правило, розбиваються на рівні групи – 10 груп по 10% одиниць в кожній групі, або – 5 груп по 20% одиниць і т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25. Види дисперсій. Правило декомпозиції (розкладання) дисперсій.

Для ознак метричної  шкали дисперсія — це середній квадрат відхилень індивідуальних значень ознаки від середньої:

Дисперсія альтернативної ознаки обчислюється як добуток часток: , де — частка елементів сукупності, яким властива ознака, d₀ — частка решти елементів (d_o = l-d₁). Застосуємо основну формулу дисперсії до цих характеристик структури:

Якщо сукупність розбито на групи  за певною ознакою х, то для будь-якої іншої ознаки у можна обчислити дисперсію як у цілому по сукупності, так і в кожній групі. Центром розподілу сукупності в цілому є загальна середня центром розподілу

в у-й групі — групова середня Відхилення індивідуаль-

них значень ознаки у від загальної середньої у можна подати як дві складові: Узагальнюючими характеристиками цих відхилень є дисперсії: загальна, групова та між-групова.

Загальна дисперсія характеризує варіацію ознаки у навколо загальної середньої:

Групова дисперсія характеризує варіацію відносно групової середньої:

Узагальнюючою мірою внутрішньогрупової варіації є середня з групових дисперсій:

Різними є й групові середні  Мірою варіації їх навколо загальної середньої є міжгрупова дисперсія

Отже, загальна дисперсія  складається з двох частин. Перша  характеризує внутрішньогрупову, друга — міжгрупову варіацію.

Взаємозв'язок дисперсій  називається правилом розкладання (декомпозиції) варіації:

28. Аналіз нерівномірності  розподілу – коефіцієнти локалізації  та концентрації.

Коефіцієнт локалізації визначається для кожної складової сукупності за формулою:

,.  де d_i - частка i-ої групи розподілу за кількістю елементів сукупності;

    D_i - частка i-ої групи розподілу за обсягом значень ознаки._.

Коефіцієнт концентрації (коефіцієнт Лоренца) є узагальнюючою для сукупності характеристикою відхилення розподілу від рівномірного і визначається за формулою:

.  Чим ближче значення цього показника до 1 (100%), тим вищий рівень концентрації, при значенні К=0 розподіл ознаки за всіма одиницями сукупності є рівномірним. При визначенні цього коефіцієнта можна оперувати як частками одиниці, так і відсотками. Порівняння структур на основі відхилень часток дозволяє вимірювати диференціацію сукупності за даними інтервальних рядів із нерівними інтервалами та атрибутивних рядів розподілу.

Значення коефіцієнта коливаються  в межах від нуля (рівномірний розподіл) до одиниці (повна концентрація). Чим більший ступінь концентрації, тим більше значення коефіцієнта К. У нашому прикладі К= 1,28 : 2 = 0,64, що свідчить про високий ступінь концентрації споживання електроенергії у промисловості регіону.

Коефіцієнти концентрації широко використовуються в регіональному аналізі для оцінювання рівномірності територіального розподілу виробничих потужностей, фінансових ресурсів тощо.

Оцінка рівня  концентрації при вивченні економічних  явищ дуже часто здійснюється по кривій концентрації Лоренца. Для її побудови необхідно мати частотний розподіл одиниць досліджуваної сукупності та відповідний до нього частотний розподіл ознаки, що вивчається. При цьому для зручності розрахунків і підвищення рівня аналітичності даних одиниці сукупності, як правило, розбиваються на рівні групи – 10 груп по 10% одиниць в кожній групі, або – 5 груп по 20% одиниць і т.д.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

26. Характеристики форми  розподілу: коефіцієнти асиметрії  та ексцесу.

Аналіз закономірностей розподілу  передбачає оцінювання ступеня однорідності сукупності, асиметрії та ексцесу  розподілу.

Однорідність сукупності — передумова використання інших статистичних Методів (середніх величин, регресійного аналізу  тощо). Однорідними вважаються такі сукупності, елементи яких мають спільні властивості і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність властивостей елементів, а лише наявність у них спільного в істотному, головному.

В однорідних сукупностях розподіли  одновершинні (одномодальні). Багатовершинність свідчить про неоднорідний склад сукупності, про різнотиповість окремих складових. У такому разі необхідно перегрупувати дані, виокремити однорідні групи. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації, який завдяки властивостям а в симетричному розподілі становить =0,33. Згідно з цим критерієм сукупність домогосподарств за рівнем забезпеченості житлом практично однорідна ( = 0,34).

З-поміж одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні. У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена ліворуч, маємо правосторонню асиметрію, і навпаки. Зазначимо, що асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка призводить до зміщення центра розподілу. Ступінь асиметрії різний — від помірного до значного.

Як уже  зазначалося, у симетричному розподілі  характеристики центра — середня, мода, медіана — мають однакові значення, в асиметричному між ними існують  певні розбіжності. У разі правосторонньої  асиметрії > Me > Mo, а в разі лівосторонньої, навпаки, < Me < Mo . Чим більша асиметрія, тим більше відхилення Очевидно, найпростішою мірою асиметрії є відносне відхилення яке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу; при правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній — А < 0.

Іншою властивістю одновершинних  розподілів є ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центра розподілу. Цю властивість називають ексцесом розподілу.