Шпаргалка по "Статистике"

Метод обчислення середнього рівня  динамічного ряду залежить від статистичної структури показника. В інтервальному ряді абсолютних величин, рівні якого динамічно адитивні, використовується середня арифметична проста:

де п — число рівнів ряду.

У моментному ряді, за припущення про рівномірну зміну показника між датами, середня розраховується як півсума значень на початок і кінець періоду:

Якщо в моментному ряді п > 2 і між суміжнимі датами однакові інтервали, розрахунок виконується за формулою середньої хронологічної:

Обгрунтування та розрахунок такої середньої наведено в підрозд. 4.4.

У моментних рядах з різними інтервалами між датами розраховується середня арифметична зважена:

де D, — інтервал часу між датами, т — кількість інтервалів.

Середній абсолютний приріст (абсолютна швидкість динаміки) обчислюється діленням загального приросту за весь період на довжину цього періоду у відповідних одиницях часу (рік, квартал, місяць тощо):

При обчисленні середнього темпу зростання  враховується правило складних процентів, за якими змінюється відносна швидкість динаміки (нагромаджується приріст на приріст). Тому середній темп зростання обчислюється за формулою середньої геометричної з ланцюгових темпів зростання:

де п — кількість темпів зростання за однакові інтервали часу.

Урахувавши взаємозв'язок ланцюгових і базисних темпів зростання, формулу середньої геометричної можна записати так:

Отже, середній темп зростання можна  обчислити на основі:

• ланцюгових темпів зростання к₁

• кінцевого (за весь період) темпу  зростання К_п;

• кінцевого у_п і базисного у₀ рівнів ряду.

При інтерпретації  середньої абсолютної чи відносної  швидкості динаміки необхідно вказувати часовий інтервал, до якого належать середні, та часову одиницю вимірювання (рік, квартал, місяць, доба тощо).

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

34. Суть тенденції розвитку, методи виявлення та аналізу.

Будь-який динамічний ряд у межах  періоду з більш-менш стабільними умовами розвитку виявляє певну закономірність зміни рівнів — загальну тенденцію. Одним рядам притаманна тенденція до зростання, іншим — до зниження рівнів. Зростання чи зниження рівнів динамічного ряду, у свою чергу, відбувається по-різному: рівномірно, прискорено чи уповільнено. Нерідко ряди динаміки через коливання рівнів не виявляють чітко вираженої тенденції.

Щоб виявити й схарактеризувати основну тенденцію, застосовують різні способи згладжування та аналітичного вирівнювання динамічних рядів.

Суть згладжування полягає в укрупненні інтервалів часу та заміні первинного ряду рядом середніх по інтервалах. У середніх заємоврівноважуються коливання рівнів первинного ряду, внаслідок чого тенденція розвитку вирізняється чіткіше.

Залежно від схеми формування інтервалів розрізняють ступінчасті та ковзні (плинні) середні. Ряди цих середніх схематично зображено на рис. 8.2 для інтервалу т = 3. Очевидно, що ковзна середня більш гнучка і може краще відбити особливості тенденції.

При розрахунку ковзних середніх кожний наступний інтервал утворюється на основі попереднього заміною одного рівня. Оскільки середня належить до середини інтервалу, то доцільно формувати інтервали з непарного числа рівнів первинного ряду. У разі парного числа рівнів необхідна додаткова процедура центрування (усереднення кожної пари значень ).

Ряд ковзних середніх коротший за первинний на (т - 1) рівнів, що потребує уважного ставлення до вибору ширини інтервалу т. Якщо первинному ряду динаміки притаманна певна періодичність коливань, то інтервал згладжування має бути рівним або кратним періоду коливань.

Метод ковзних середніх застосовують також для попередньої обробки  дуже коливних динамічних рядів; можливе  подвійне згладжування.

При аналітичному вирівнюванні динамічного ряду фактичні значення y_t замінюються обчисленими на основі певної функції

Y = f(t), яку називають трендовим рівнянням (t — змінна часу,

Y — теоретичний рівень ряду).

Вибір типу функції грунтується на теоретичному аналізі суті явища, яке вивчається, і характері його динаміки. Зазвичай перевага надається функціям, параметри яких мають чіткий економічний зміст і вимірюють абсолютну чи відносну швидкість розвитку. Суттєвою підмогою при виборі функцій є аналіз ланцюгових характеристик інтенсивності динаміки. Якщо ланцюгові абсолютні прирости відносно стабільні, не мають чіткої тенденції до зростання чи зменшення, вирівнювання ряду вико нується на основі лінійної функції: . Якщо ж відносно

стабільними є ланцюгові темпи  приросту, то найбільш адекватною такому характеру динаміки є експонента . У зазначених функціях t — порядковий номер періоду (дати), а — рівень ряду при t = 0. Параметр b характеризує швидкість динаміки: середню абсолютну в лінійній функції і середню відносну — в експоненті. Коли характеристики швидкості розвитку зростають (чи зменшуються), використовуються інші функції (парабола 2-го степеня, модифікована експонента тощо).

 

35. Використання трендових рівнянь при виявленні тенденції розвитку.

Якщо згладжування ряду динаміки не дає можливості виявити тенденцію  розвитку або її характер, то відповідь  на це питання можна напевне одержати за допомогою аналітичного вирівнювання заданого (вихідного) динамічного ряду методом найменших квадратів.

Метод аналітичного вирівнювання дає  змогу не лише виявити тенденцію  розвитку, а й кількісно виміряти її.

Під аналітичним вирівнюванням ряду динаміки у статистиці розуміють побудову функції Y = f(t), яка аналітично виражає залежність значень ознаки Y від часу t. Такі функції, а також їх графіки називають трендовими кривими. За допомогою трендової кривої завжди можна виявити основну тенденцію розвитку явища, що вивчається, а також її характер.

Процес побудови трендової кривої складається з двох етапів:

• вибір виду функції f(t);
• обчислення параметрів функції f(t).

Вид функції f(t) можна встановити візуально за кореляційним полем з урахуванням економічної (фізичної тощо) суті явища, що вивчається.

На  практиці при виборі виду тренду перевага звичайно віддається функціям, параметри  яких мають чіткий економічний зміст:

• лінійна – у = a + bt – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середній абсолютний приріст);
• квадратична, або параболічна – y = a + bt + ct ² – (a – середній початковий рівень ознаки, b – середня початкова швидкість зростання,                            с – середній приріст швидкості зростання);
• показникові – y = a·b ^t – (a – середній початковий рівень ознаки,             b – середній темп зростання).

Після вибору виду залежності її параметри  обчислюються за методом найменших  квадратів. Цей метод забезпечує такий вибір параметрів тренду, щоб  мінімізувати суму квадратів відхилень  фактичних значень рівнів ряду від  теоретичних рівнів, що розраховані  за відповідних значень t.

Найпростішою формулою, що відтворює тенденцію розвитку, є лінійна функція:

  Параметри та згідно методу найменших квадратів знаходяться рішенням системи нормальних рівнянь:

,     (

де  y – фактичні рівні ряду;

      t – порядковий номер періоду або моменту часу.

 

Розрахунок  параметрів значно спрощується, якщо за початок відліку часу (t = 0) обрати центральний інтервал. Значення умовних  періодів t залежать від того, парну  чи непарну кількість рівнів має  динамічний ряд.

Якщо  число рівнів парне (наприклад, 6), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 4.9.1.

 

Таблиця 4.9.1

Значення параметра t у разі введення умовного нуля для парної кількості  рівнів динамічного ряду

Фактичний період	1	2	3	4	5	6
Умовний період	– 5	– 3	– 1	1	3	5

 

Якщо  число рівнів непарне (наприклад 7), умовні періоди мають значення, наведені в табл. 4.9.2.

Оскільки  мета введення умовного нуля – максимальне  спрощення розрахунків, то відстані між сусідніми рівнями динамічного  ряду з умовними періодами мають  бути мінімальними, проте однаковими впродовж усього ряду. Таким чином, у разі парної кількості рівнів динамічного  ряду відстані між будь-якими двома  рівнями з умовними періодами  дорівнюють двом; у разі непарної кількості  рівнів динамічного ряду відстані між  будь-якими двома рівнями з  умовними періодами дорівнюють одиниці. Умовні періоди, розташовані ліворуч  умовного нуля, набувають від’ємних  значень, а ті, що розташовані праворуч – додатних.

Незалежно від кількості рівнів у динамічному  ряді з умовними періодами å t = 0, а тому система нормальних рівнянь для лінійної моделі тренду матиме такий вигляд:

.    Тоді параметри а₀ та а₁ для лінійної моделі тренду розраховуються за формулами:

              

Якщо  у трендовій моделі використовуються нелінійні функції, то вони приводяться до лінійного вигляду за допомогою певних математичних перетворень [13, с. 186 – 198; 16, с. 204 – 219].

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

36. Інтерполяція та екстраполяція  на основі часових (динамічних) рядів.

Зробити прогноз явища у означає обчислити значення ознаки Y на той майбутній період часу t, який нас цікавить. Очевидно, що будь-який прогноз може бути тільки наближеним і може вважатись реальним тільки за умови збереження у майбутньому тенденції розвитку явища та її характеру. Метод прогнозування на періоди за межами ряду динаміки (на майбутнє або за минулі періоди часу) називають екстраполяцією. Екстраполяцією в статистиці називають знаходження невідомих рівнів наприкінці або на початку динамічного ряду. Цей прийом полягає в тому, що за знайденими математичними рівняннями передбачають попередній або майбутній розвиток явищ. Метод прогнозування на періоди пропущених періодів часу в середині ряду динаміки називають інтерполяцією. Інтерполяцією в статистиці називають знаходження показника в середині ряду динаміки, на якого немає даних. Інтерполяція ґрунтується на припущенні, що за певними даними можна визначити характер розвитку явища в цілому.

Точковий прогноз здійснюється за допомогою екстраполяції трендової моделі, тобто прогнозоване значення явища обчислюється за встановленою формулою. При цьому слід мати на увазі той факт, що рівняння трендової кривої побудоване з використанням умовних періодів, а тому для визначення точкового прогнозу вводиться наступний період. Наприклад, якщо динамічний ряд містить шість періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного, сьомого періоду (див. табл. 4.7.1); якщо динамічний ряд містить сім періодів, то точкова оцінка розраховується для наступного (умовного) четвертого періоду (див. табл. 4.7.2).

Інтервальний прогноз являє собою інтервал значень ознаки у, який із заданою ймовірністю покриває (або має покривати) справжнє значення:

 

де у_t – точковий прогноз;

 – довірче число, яке  обирається з таблиць розподілу  Стьюдента (якщо кількість рівнів динамічного ряду менше 30) або з таблиць нормального розподілу (якщо кількість рівнів динамічного ряду більша за 30);

 – залишкове середнє квадратичне  відхилення.

Залишкове середнє квадратичне  відхилення розраховується за формулою: ,    

де Y – фактичні рівні досліджуваного динамічного ряду;

Y_t – теоретичні значення трендової моделі у відповідні періоди;

n – кількість рівнів динамічного ряду;

m – число параметрів трендової моделі (для лінійної моделі m = 2).

Такий інтервал називають довірчим інтервалом, а відповідну ймовірність – довірчою ймовірністю.

На  відміну від точкового інтервальний прогноз може розроблятися лише на наступний період.

37. Сезонні коливання,  методи їх вимірювання.

Сезонним коливанням називають більш-менш стійкі внутрішньо-річні коливання в рядах динаміки, зумовлені специфічними умовами виробництва чи споживання певного виду продукції.

Для дослідження внутрішньорічних коливань можна використовувати різні методи (простої середньої, Персонса, ковзної середньої, аналітичного згладжування, рядів Фур'є), які дають змогу оцінити сезонність з різною точністю, надійністю та трудомісткістю.

Аналіз сезонності розглянемо на прикладах  реалізації товарів культурно-побутового призначення за допомогою різних методів, з поступовим переходом  від простих способів дослідження  до складніших.

Сезонні коливання характеризуються спеціальним показником, який називають  індексом сезонності І_s В сукупності ці індекси утворюють сезонну хвилю.

Індекс сезонності — це процентне відношення однойменних місячних (квартальних) фактичних рівнів рядів динаміки до їх середньорічних або вирівняних рівнів.