Шпаргалка по "Статистике"

У деяких випадках вихідна база розрахунку середньої приводиться не до середньої  арифметичної, а до іншої форми - середньої гармонічної

За своїми властивостями середня  гармонічна може застосовуватися тоді, коли загальний обсяг ознаки формується як сума зворотних значень варіант. Таким чином, середня гармонічна - це обернена величина до середньої арифметичної, розрахована з обернених величин усереднюваних варіюючих ознак.

Gрипустімо, що один робітник працював 1 годину, а другий - З години. Тоді середні витрати робочого часу визначимо за формулою:

Ця середня гармонічна зважена  застосовується в тих випадках, коли невідомий знаменник вихідної бази.

В економічній практиці виникає  потреба в використанні середньої  геометричної.

Середня геометрична розраховується за формулою:

Цей вид середньої будемо розглядати при аналізі рядів динаміки.

При розрахунку середніх величин необхідно  проводити логічний контроль їх достовірності. При перевірці слід звернути увагу  на наступне: по-перше, значення середньої  величини не повинно виходити за межі мінімального і максимального значень  ознаки; по-друге, значення середньої  величини ближче до того значення ознаки, якому відповідає більша вага середньої.

20. Види рядів розподілу,  частотний їх аналіз, графічне  зображення.

Внаслідок зведення і групування матеріалів статистичного спостереження отримуємо ряди розподілу, які представляють собою упорядкований розподіл одиниць досліджуваної сукупності на групи за певною ознакою. Вони характеризують склад досліджуваного явища, закономірності його розвитку, свідчать про його однорідність.

Ряди розподілу можуть бути утворені: а) за кількісною ознакою; б) за якісною  ознакою. Відповідно, розрізняють два  види рядів розподілу: а) варіаційний; б) атрибутивний.

Прикладом атрибутивного ряду розподілу  може бути розподіл населення України за статтю.

Таблиця 4 Характеристика статевої структури населення України

Роки	Кількість населення, млн. чол.	В тому числі		% до всього  населення
			чол.	жін.	чол.	жін.
1970	47,1	21,3	25,8	45	55
1979	49,8	22,8	27,0	46	54
1989	51,7	24,0	27,7	46	54
1990	51,8	24,1	27,7	46	54

Прикладом варіаційного ряду розподілу  може бути розподіл робітників цеху за стажем роботи.

Таблиця 5

	Розподіл	робітників	цеху		за стажем
Стаж  роботи	0-5	5-10		10-15		15 і більше
Кількість  робітників	10	18		20		12

Варіаційний ряд складається з  двох елементів: варіантів і частот.

Варіантою називають окремі значення варіюючої ознаки.

Частотами називають числа, які  показують кількість повторень  того чи іншого варіанта. Частоти можуть виражатися як в абсолютних, так  і у відносних величинах (у  коефіцієнтній чи відсотковій формі). Сума частот становить обсяг ряду розподілу.

Варіаційні ряди залежно від  групувальної ознаки поділяються на дискретні та інтервальні. За дискретною ознакою, кількість значень якої обмежена, утворюється дискретний ряд розподілу (див. табл. 6).

Таблиця 6

Розподіл робітників за тарифними розрядами

Тарифний  розряд	Кількість робітників, чол.
1-й	2
2-й	5
3-й	15
4-й	25
5-й	50
6-й	10
Разом	107

За неперервною ознакою, що варіює в широких межах, будується інтервальний ряд розподілу. При цьому варіанти групуються в інтервали, а частоти відносяться не до окремих значень ознаки, як у дискретних рядах, а до всього інтервалу (див. табл. 7).

Таблиця 7

Розподіл робітників за тарифними розрядами

Тарифний розряд	Кількість робітників, чол.
1-2-й	7
3-4-й	40
5-6-й	60
Разом	107

 

21. Характеристики центру  розподілу: середня, мода, медіана,  їх взаємозв’язок. 

Завданням середньої величини є  характеристика рівня ознаки одним  числом у всіх одиниць однорідної сукупності, в яких розмір ознаки коливається  або варіює.

Середня величина - це узагальнюючий  показник, що характеризує рівень варіюючої ознаки в якісно однорідній сукупності.

Середня величина - це узагальнююча характеристика сукупності явищ за ознакою, що варіює, тобто це узагальнюючий показник, який характеризує типовий рівень ознаки, що варіює, в розрахунку на одиницю  однорідної сукупності.

Середня арифметична – використовується для усереднення прямих значень ознак шляхом їх підсумовування. Якщо дані не згруповані:

 

 де  - варіанти, тобто значення ознаки, що осереднюється для i- ої одиниці сукупності;

    n – число одиниць у сукупності.

За формулою середньої арифметичної простої  обчислюються також середні у  хронологічному ряду, якщо інтервали  часу, за який подаються значення ознак, рівні. Якщо у хронологічному ряду наведені моментні показники, то для обчислення середньої вони замінюються півсумами значень на початок і кінець періоду.

Середня геометрична визначається як добуток відносних величин динаміки , які є кратним співвідношенням -го значення показника до попереднього ( -1). Формула середньої геометричної простої , де   - символ добутку;  - число осереднюваних величин.

.

У інтервальних рядах, припускаючи рівномірний розподіл у межах -го інтервалу, як варіант використовують середину інтервалу. При цьому ширину відкритого інтервалу умовно вважають такою ж, як і сусіднього закритого інтервалу.

Мода (Мо) – значення варіанти, яке найчастіше повторюється в ряду розподілу. У дискретних рядах моду легко відшукати візуально, безпосередньо за найбільшим значенням частоти або частки.

В інтервальному ряду за тим самим принципом визначається модальний інтервал, тобто інтервал, частота якого має найбільше значення. Якщо треба більш точно встановити модальний рівень, його обчислюють за формулою:

 

,  (4.6.1)

 

де Мо – мода;

х _Мо – нижня межа модального інтервалу;

h _Mo – ширина модального інтервалу;

f _Mo – частота _{модального} інтервалу;

f _{Mo – 1} – _{частота} попереднього (перед модального) інтервалу;

f _{Mo + 1} – частота наступного (після модального) інтервалу.

Слід зауважити, що ця формула використовується для  інтервальних варіаційних рядів з рівними інтервалами.

Медіана (Ме) – варіанта, що ділить упорядкований варіаційний ряд на дві, рівні за обсягом частини. Наприклад, якщо в ряді розподілу робітників за віком Ме = 30, це означає, що половина робітників мають вік менше 30 років, половина – старші за цей вік.

Визначаючи  медіану, використовують кумулятивні  частоти S_fi  або частки S_di. У дискретному ряду медіанним буде значення ознаки, кумулятивна частота якого перевищує половину сукупності, тобто   S_fi ≥ 0,5å f_i (для кумулятивної частки S_di ≥ 0,5).

Кумулятивні частоти визначаються доданням наступного значення частоти до суми значень  попередніх частот. При цьому не має значення які інтервали у  варіаційному ряді розподілу: рівномірні чи нерівномірні.

В інтервальному ряду за цим принципом визначають медіанний інтервал.

Значення  медіани, як і значення моди, обчислюють за інтерполяційною формулою:

,  де  Ме – медіана;

х_Ме – нижня межа медіанного інтервалу;

h_Me – ширина медіанного інтервалу;

0,5å f _i – половина сукупності;

S _{fMe - 1} – сума накопичених частот до медіанного інтервалу;

f _Ме – частота медіанного інтервалу.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

22. Графічні методи визначення  структурних середніх (моди, медіани).

Значення  моди можна також визначити графічним  способом за допомогою гістограми (див. рис. 4.6.1.).

Графічним методом  мода визначається так: на гістограмі (рис. 4.6.1) беремо прямокутник з найбільшою висотою, лівий верхній кут цього  прямокутника (точка B) з’єднуємо з  лівим верхнім кутом прямокутника, розташованого праворуч (точка D), а  верхній правий кут найбільшого  прямокутника (точка С) з’єднуємо  з правим верхнім кутом прямокутника, розташованого ліворуч (точка А); з перетину прямих АС і BD (точка М) на вісь абсцис опускаємо перпендикуляр, який і визначить значення моди.

Для визначення моди за інтервальним варіаційним рядом з нерівними інтервалами в аналітичному вираженні перегруповують вихідний варіаційний ряд на ряд з рівними інтервалами або замість частот використовують відносні частоти. Для визначення моди графічним способом будують гістограму відносних частот. Основу прямокутників становлять розміри інтервалів, а висоту – відношення відповідної частоти до ширини інтервалу. Для кожного інтервалу визначається відносна частота за формулою:

,  

де  w_i – відносна частота i–го інтервалу;

f_i – частота  i–го інтервалу;

h_i – ширина  i–го інтервалу.

Принцип визначення моди лишається  тим самим, що й для інтервального варіаційного ряду з рівними інтервалами.

Медіану можна визначити й графічним  способом, використовуючи для цього  кумулятивний полігон. Медіана визначається так: на осі ординат відкладають  точку, що дорівнює половині суми частот. З цієї точки проводять лінію, паралельну осі абсцис до її перетину з лінією кумулятивного полігону (точка А). З точки А на вісь абсцис опускають перпендикуляр, координата якого і буде медіаною.

23. Вимірювання варіації  ознак – абсолютні міри варіації: розмах варіації, середнє лінійне  та середнє квадратичне відхилення.

Для вимірювання та оцінювання варіації використовуються абсолютні та відносні характеристики. До абсолютних належать: варіаційний розмах, середнє лінійне  та середнє квадратичне відхилення, дисперсії; відносні характеристики подаються низкою коефіцієнтів варіації, локалізації, концентрації.

До відносних характеристик  варіації належать різноманітні коефіцієнти, найбільш поширене використання серед  яких мають коефіцієнти варіації, що побудовані на відношенні абсолютних характеристик з середньою арифметичною. Кожна з названих характеристик має певні аналітичні переваги під час вирішення тих чи інших завдань статистичного аналізу.

Методика обчислення характеристик  варіації залежить від виду ознаки Х та наявних даних (первинні чи похідні, згруповані чи ні).

Розмах варіації – різниця між найбільшим і найменшим значеннями ознаки, розраховується за формулою:

 

R = X _max – X _min,   де  X _max – максимальне значення ознаки;

X _min – мінімальне значення ознаки.

Розмах варіації характеризує межі, в яких змінюється кількісне значення ознаки. Цей показник встановлює крайні числові значення варіант, що складають  досліджувану сукупність.

В інтервальному ряду розподілу розмах варіації визначають як різницю між верхньою межею останнього інтервалу та нижньою межею першого. Проте, якщо інтервал відкритий, для обчислення розмаху варіації використовується середина інтервалу. Звичайно, спочатку інтервал має бути закритим згідно з відповідними правилами.

Крім розмаху варіації, у практиці статистичного аналізу широко застосовують інші абсолютні характеристики варіації, що ґрунтуються на відхиленнях індивідуальних значень ознаки від середньої  арифметичної.