Ряды динамики

    Закодируем  значения эндогенной переменной (см. табл. 18) 

          Таблица 18

    Кодированные  значения эндогенной переменной

 

     Для определения коэффициентов линейного  тренда а0 и а1 применим МНК (метод наименьших квадратов): сумма квадратов отклонений эндогенной переменной – минимальна

                                                            n                   n

            Sкв = Σ (yi - ŷi)² = Σ (yi - a0 - ati)² min    (40)

                                                       i=1                                i=1      
 
 

     Продифференцируем Sкв отдельно по а0 и а1 и прировняем частные производные к нулю.

                                                                                        (41)

                                              (42)

      Система уравнений  имеет вид:

     

           (43) 

     Решая систему уравнений, получим:

                          (44) 

             (45)

         Произведем вычисления  и .

t = (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) / 6 + 21 / 6 = 3,5

Yt = (3203,3 + 3075,0 +2905,7 + 2718,2 + 2657,0 + 2665,0) / 6 = 2870,7.

     Таблица 19

     Расчетные данные

 

 

Подставим расчетные данные, приведенные в табл.     в формулы ( 44),   ( 45 ) и получим: 

а1 = 58218,2 – 6 * 3,5 * 2870,7 / 91 – 6 * (3,5)² = 58218,2 – 60284,7 / 91 – 73,5;

     а1 = -2066,5 / 17,5 = -118,086; 

      а0 = 2870,7 – (-118,086) * 3,5 = 2870,7 – 413,301 = 3284. 

        Таким образом, уравнение тренда имеет вид: 

        Yt = 3284 – (-118,06) * t               (46) 

        С использованием найденной функции  находится «точечный» и «интервальный»  прогноз изменения исследуемого  показателя на следующий интервал. 

         «Точечный» прогноз:

Спрогнозируем численность рабочих на 2001 год.

Он соответствует  t = T + 4 = 6 + 4 = 10

ŷ = 324 – (-118,086) * 10 = 2103,14,

что соответствует 3079 рабочим.

«Интервальный»  прогноз, определяется по формуле:

     

          (47)

где

Ut – значение «интервального» прогноза в период времени t;

ŷt – значение «точечного» прогноза в период времени t;

tα – t – статистика критерия Стьюдента;

σ – стандартная  ошибка y;

n – количество наблюдений.

Стандартная ошибка вычисляется по формуле:

                        (48)

где

yi – наблюдаемые значения эндогенной переменной;

ŷt – значение эндогенной переменной полученной по уравнению тренда;

n – объем выборки.

Таблица 20

Промежуточные вычисления

 

     Стандартная ошибка равна:

     

     df = n – 2 = 6 – 2 = 4;

     При α = 0,05

По таблице  значений t-критерия Стьюдента: t 0,05;4 = 2,774; 

Отсюда можно  найти «интервальный» прогноз.

U10 = 2103,14   2,7764 * 72,110 / √6 = 2103,14   2,7764 * 72,110 / 29,445;

     U10 = 2103,14 +  81,751 = 2185 – верхнее значение;

     U10 = 2103,14 -  81,751 = 2021 – нижнее значение;

     Можно записать так,   2185чел. > 2103чел. > 2121чел. 
Изобразим это на рис. 14

     Динамика  движения численности  рабочих на последующие  годы

     М 1:1

     

 

                                                        t – время, год

                                                       Yt – численность рабочих, чел

     Рис. 14 
Раздел 3 Индексы

    Известны  данные об изменении потребительских  цен на услуги за IV  квартал 2001г. и I, II, III квартала 2002 года: в %  

IV квартал 2001 года.

Октябрь – 102,5;

Ноябрь – 101,5;

Декабрь – 101,4; 

I квартал 2002 года

Январь – 107,5;

Февраль – 102,7;

Март – 103,7; 

II квартал 2002 года.

Апрель – 102,4;

Май – 101,0;

Июнь – 101,6; 

III квартал 2002 года.

Июль – 101,8;

Август – 102,5;

Сентябрь – 102,8. 

3.1 Рассчитать индивидуальные индексы потребительских цен:

       а) цепные;

       б) базисные. 

     а) Поскольку в условии даны не цены на какой-то продукт или вид услуг, а их изменение по отношению к  предыдущему месяцу в %, то можно  считать, что это цепные индексы цен, по которым можно сделать следующий вывод, что в октябре 2001 года цена на услуги по сравнению с сентябрем повысилась на 2,5%, в ноябре по сравнению с октябрем - на 1,5%, в декабре – на 1,4%. В январе 2002 года цена повысилась на 7,5% по сравнению с декабрем 2001 года, в феврале на 2,7% больше, чем в январе и т. д. 

      б) Для того, чтобы рассчитать базисные индексы цен, следует воспользоваться  условием взаимосвязи базисных и  цепных индексов.

      И так, произведение цепных индексов –  дает базисный индекс последующего периода.

      В октябре базисный индекс будет также  – 102,5%;

      В ноябре = 102,5 * 101,5 = 104,0%;

      В декабре = 101,5 * 101,4 = 102,9%;

      В январе 2002г.  101,4 * 107,5 = 109,0%;

      В феврале 2002г. 107,5 * 102,7 = 110,4%;

      В марте – 102,7 * 103,7 = 106,5%;

      В апреле – 103,7 * 102,4 = 106,2%;

      В мае – 102,4 * 101,0 = 103,4%;

     В июне – 101,0 * 101,6 = 102,6%;

      В июле – 101,6 * 101,8 = 103,4%;

      В августе – 101,8 * 102,5 = 104,3%;

     В сентябре – 102,5 * 102,8 = 105,4%;

        

     Таким образом, базисные индексы составили:

      Октябрь – 102,5%;        Февраль  – 110,4%;     июнь – 102,6%;

      Ноябрь  – 104,0%;  март – 106,5%;           июль – 103,4%;

      Декабрь – 102,9%         апрель – 106,2%;        август – 104,3%;

      Январь  – 109,0%;          май  – 103,4%;             сентябрь – 105,4%.

           

По базисным индексам видно, что потребительская  цена на услуги в октябре 2001 года по сравнению с сентябрем повысилась на 2,5%, в ноябре – на 4,0%, в декабре  – на 2,9%, в январе 2002г. – на 9%, в  феврале – на 10,4%, в марте - на 6,5% и т. д.

      3.2  Для большей наглядности изменения цены на услуги, отразим цепные и базисные индексы на рис. 14