Лекции по "Кристаллографии и методы исследования структур"

      Если  же в элементарной ячейке необходимо определить положение какой-либо одной конкретной плоскости, то указывают ее действительные координаты в отрезках, которые обозначаются  (H, K, L), где

H=qh; K=qk; L=ql    ,                                     (1.9)

а   q - коэффициент пропорциональности.

      Например, плоскость (333) на рис.1.12. Следует при  таком построении всегда помнить, что  индексы (hkl) или (HKL) обратно пропорциональны отрезкам, отсекаемым плоскостями на координатных осях.  

      В элементарной ячейке кристалла можно  выделить так называемые эквивалентные плоскости, для которых межплоскостные расстояния одинаковы и которые расположены симметричным образом по отношению друг к другу и координатным осям. Вся совокупность таких плоскостей в элементарной ячейке кубической сингонии определяется простой перестановкой индексов и изменением их знака. Эквивалентными будут например, плоскости (100), (010), (001), (0 0), ( 00), (00 ) - всего 6 эквивалентных плоскостей. Из индексов (110) путем перестановок индексов и знаков можно получить 12 эквивалентных плоскостей и т.д.

      Количество  эквивалентных плоскостей определяется числом перестановок из данных индексов и называется множителем повторяемости. Например, множитель повторяемости  для плоскости (100) равен 6. Для других плоскостей значения множителей повторяемости приведены в табл.1.1

                                            

                                                                                        Таблица 1.1

 

      Множитель повторяемости учитывается при  расчетах интенсивности отраженных различными атомными плоскостями рентгеновских  лучей.

      4-ый  индекс гексагональной  системы. В гексагональной системе плоскости часто характеризуют четырьмя индексами (hkil). Это связано с тем, что во всех сингониях элементарную ячейку выбирают в виде параллелепипеда, а в гексагональной - в виде гексагональной прямоугольной призмы (рис.1.13). Направления осей x, y, u совершенно равноценны, а периоды повторяемости a, b, d  по этим направлениям равны. Поэтому, приняв одну ось координат (вертикальную) за z, мы две другие с равным правом могли бы взять за оси x и y. Чтобы не было неопределенности, берут на горизонтальном основании призмы не две, а три оси, расположенные одна по отношению к другой под углом 120°. При этом узлы, узловые прямые и плоскости характеризуются не тремя, а четырьмя индексами.

      Для определения положения точки  в трехмерном пространстве необходимы, как известно, три координаты. Поэтому четвертый индекс  i  не является независимым. Он равен:

i = – (h+k)                                          (1.10)

     Введение  четвертого индекса во многих случаях  бывает полезным. Например, он помогает различать эквивалентные плоскости гексагональной элементарной ячейки. Так, все боковые плоскости в гексагональной элементарной ячейке (рис.1.13) будут являться эквивалентными. Однако по трем индексам плоскостей (100), (010), ( ) и т.д. этого установить не удается. Более наглядно эквивалентность плоскостей обнаруживается при рассмотрении четырех индексов плоскостей. В этом случае те же плоскости 1, 2, 3 (рис.1.13) запишутся как ( ), ( ), ( ) и т.д. Таким образом, при введении четвертого индекса все плоскости эквивалентны и индексы таких эквивалентных плоскостей можно получить перестановкой трех первых индексов. 

 

Рис. 1.13. Система координат в гексагональной ячейке. 
 

1.10. Некоторые формулы  структурной кристаллографии 

     1.Угол между плоскостями. При решении некоторых задач структурного анализа  положение плоскости часто характеризуют направлением нормали к ней. Это используется для широко распространенных ортогональных кристаллов, так как в этом случае индексы плоскости (h,k,l) и нормали к ней [h,k,l] совпадают. Для них при определении угла между плоскостями достаточно вычислить угол между их нормалями. Докажем это. Пусть плоскость с индексами (h,k,l) отсекает на осях отрезки OA, OB, OC и является ближайшей к началу координат из данного семейства плоскостей.

     Поскольку отрезки, отсекаемые плоскостью на осях, обратно пропорциональны индексам плоскости, то можно записать:

OA=a/h, OB=b/k, OC=c/l

     Допустим, что прямая ON имеет те же индексы [hkl], и в векторной форме мы можем записать эту прямую как

ON = h a + k b+ l c

     Если  прямая [h k l], действительно, перпендикулярна (h k l), то вектор ON должен быть перпендикулярен любой прямой, лежащей в этой плоскости, например AB, и их скалярное произведение должно быть равно нулю:

(ON × AB) º 0. 

     Рассмотрим  его величину

(ON × AB) = {ON ( b/k - a/h)} = {( ha+ kb+lc) (b/k-a/h)}= h/k(ab) + b² + l/k(c b) - a² -k/h(ba) - l/h(ca) º 0

      Чтобы левая часть обратилась в нуль, необходимо и достаточно:

1) (a × b) = (c × b) = (b × a) = (c × a)  = 0, что справедливо для случая сингоний, где a=b=g=90°

2) a= b.

     Взяв  затем вместо AB другие прямые в плоскости (hkl):   BC, AC и проведя аналогичные рассуждения, получим дополнительные требования a=c и b=c.

      Таким образом, тождество выполняется  для кубической сингонии, и можно  считать доказанным, что плоскость  и нормаль к ней в кубической решетке всегда имеют одинаковые индексы.

      В этой сингонии угол между плоскостями (равный углу между нормалями к плоскостям) можно записать на основании соотношения (1.4) как

cos j =                         (1.11) 

     Выразим при помощи кристаллографических индексов и основные величины в элементарной ячейке: период идентичности, межплоскостное расстояние и объем элементарной ячейки.

      2. Период идентичности. Под периодом идентичности подразумевают расстояние между ближайшими идентичными узлами, лежащими на одной прямой. Он обозначается через I.

      Периоды идентичности по осям координат равны  длинам трансляций a, b, c. Период идентичности вдоль произвольного направления равен вектору:

     I= ma + nb+ pc  ,                                      (1.12)

где m, n, p - координаты узла, лежащего на этом направлении и ближайшего к началу координат. (Числа m, n, p могут не совпадать с индексами прямой, параллельной этому направлению, но всегда им кратны).

      Абсолютное  значение вектора I можно найти из квадратичного выражения:

I = m²a²  + n²b² + p²c² + 2mnabcosg + 2mpaccosb + 2npbccosa ,      (1.13) 

что для кубической системы I составляет:

I=a                                      (1.14)

      3. Объем элементарной ячейки. Объем параллелепипеда, как известно, равен произведению площади основания на высоту. Если элементарная ячейка построена на векторах a, b, c, то площадь основания S будет равна  

S=|a| |b| sin(ab) или S=|[ab]|                                 (1.15) 

Тогда объем элементарной ячейки  элементарной ячейки V равен:

V=S×h=|a|×|b×|sin(ab)×|c|×cos(cs)=|c|×|s|×cos(cs)=(c×s)=(c[ab])

Окончательно

V= (c[ab])                

 Аналогично  имеем:

V = (a[bc]) = (b[ca]) =(c[ab])                              (1.16) 

Раскрытие этих скалярных произведений дает:

V= abc                 (1.17)

Естественно, что для ортогональных сингоний выражение (1.17) упрощается:

                                    V=abc                                              (1.18)

или для  кубической сингонии:

                                    V=a³                                                                           (1.19)

     4. Межплоскостное расстояние. Межплоскостное расстояние d - это расстояние между соседними параллельными плоскостями кристалла. Оно равно длине перпендикуляра, опущенного из начала координат на плоскость, ближайшую к началу координат. Величина d связана с индексами соответствующих плоскостей.

     Возьмем для простоты решетку с ортогональной  системой координат. Плоскость (hkl) отсекает на осях x, y, z отрезки OA, OB, OC, равные а/h, b/k, c/l соответственно. Если ON перпендикуляр, опущенный из начала координат к этой плоскости, то по условию |ON|= d  и  из треугольника OAN получим ON/OA= cos a или dh/a=cosa.

  Аналогично: dk/b= cosb; dl/c= cosg.

     Как известно, для ортогональной системы  координат выполняется равенство: