Лекции по "Кристаллографии и методы исследования структур"

           A₁B - A₂C = ml ,                                          (2.19)

где m = 0,1,2,3…, A₂C - разность хода падающих лучей; A₁B - разность хода вторичных рассеянных лучей.

     Подставляя  значение отрезков A₁B и A₂B, получим:

                   a(cosa - cosa₀) = ml ,                                     (2.20)

где m - определяет порядок дифракции. В направлениях, в которых это условие соблюдается, рассеянные лучи дают максимумы интенсивности, в других направлениях они практически полностью погашаются.

      Полученное  уравнение, названное условием Лауэ, позволяет определить направление всех дифракционных максимумов от атомного ряда, если известны расстояния между атомами a, длина волны лучей l и угол падения рентгеновских лучей a₀:

    cos a = m + cos a₀  .                                   (2.21)

Но выражение (2.21) есть не что иное как уравнение конуса (рис.2.8) в тригонометрической форме. 

 

Рис. 2.8. Графическое изображение уравнения  Лауэ для одномерного ряда.

  В полученном семействе конусов рассеяния каждый конус и, соответствующий ему угол раствора a, связаны с определенным значением целого числа m. Принимая во внимание, что размеры рассеивающего объекта очень малы по сравнению с расстоянием его до фотопластинки, можно считать, что конуса, соответствующие разным m, имеют общую вершину.

      Осью  всех этих конусов является атомный ряд, а вершина находится в точке пересечения первичного пучка рентгеновских лучей с атомным рядом (рис.2.8). Для m=0 a=a₀, т.е. направление первичного пучка рентгеновских лучей всегда совпадает с образующей нулевого конуса.

      Очевидно, уравнение (2.21) будет выполнимо не при всяких соотношениях m и l. Рассмотрим, при каких условиях не выполнимо уравнение Лауэ, т.е. при каких условиях не будет наблюдаться явление дифракции. Косинусы a и a₀ всегда должны быть по абсолютной величине меньше или равны 1, и максимально возможное значение |ml/a|, очевидно, будет равно

|m |_max = |cos a - cos a₀|_max    ,                           (2.22)

то есть l£2a/m, или при m=1 l£2a. Таким образом, для получения дифракционной картины необходимо, чтобы l»2a. Величина a обычно порядка нескольких ангстрем. Следовательно, и l не может быть больше этой удвоенной величины. Если, наоборот, l будет очень мала, получим громадное количество дифракционных максимумов, и они будут сливаться.

      Исходя из соотношения Лауэ, можно установить число всех возможных дифракционных конусов при заданном l, a и a_0. Пусть угол падения a₀=90°, т.е. cosa₀=0, тогда поскольку |ml/a|£1, число дифракционных конусов определяется соотношением  между l и a.  При l=1,54 Å и a »5 Å величина m не может быть больше трех, т.е. будет иметь место всего лишь семь конусов рассеяния, отвечающих  m = -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3.

      Рассмотрим  теперь трехмерную систему атомов, предполагая, что все атомы находятся  в узлах решетки. Эффект дифракции в этом случае будет аналогичным тому, который происходит в кристаллах.

      Рассматривая  дифракцию рентгеновских лучей  вдоль трех различных кристаллографических направлений, не находящихся в одной  плоскости, получим 3 независимые  уравнения Лауэ, являющиеся условием дифракции рентгеновских лучей в кристаллах. Обычно берут направление вдоль основных кристаллографических осей a, b, c. 

                             (2.23) 

Здесь b₀ и g₀ - углы между падающим  лучем и осями y и z;

b и g - углы между дифракционным лучом и теми же осями;

b и c - периоды вдоль осей y и z соответственно.

     Так же, как и для отдельного атомного ряда, дифракция на трехмерной решетке  будет возможна только в том случае, когда длина волны рентгеновского луча сравнима с периодом решетки. При этом одновременно должны выполняться все три условия Лауэ.

      Дифракционная картина, создаваемая атомной сеткой, резко отличается от той, которая  создается атомным рядом. Дифракционные  лучи теперь пойдут не по сплошным коническим поверхностям, а по дискретным направлениям и при пересечении с рентгеновской пленкой дадут отдельные точки.

      Это легко представить, рассмотрев графическое  решение системы уравнений Лауэ. Каждое из уравнений определяет направление  луча дифракции как конус, осью которого является одна из осей X, Y или Z (рис.2.8). Общим решением системы является пересечение всех трех конусов по одной прямой. Такая прямая и определяет направление луча дифракции на трехмерной решетке. Однако одновременное пересечение трех конусов по одному направлению не всегда возможно (рис. 2.9). 

 

Рис. 2.9. Графическое изображение уравнений  Лауэ для трехмерной решетки.

      В кристалле, при облучении монохроматическим  пучком лучей и неизменном его  положении, такой случай может иметь  место очень редко. Добиться в какой-то момент выполнения трех условий можно:

1. непрерывно меняя длину волны падающего пучка (или, что равносильно, беря излучение со сплошным спектром) и
2. при постоянной l, меняя углы a₀, b₀, g₀, т.е. меняя положение кристалла.

      При постоянной l и неподвижном кристалле можно не получить ни одного дифракционного луча, а следовательно, и пятен на рентгенограмме будет очень мало. 

      2.5. Общее интерференционное  уравнение трехмерной  решетки 

      Три уравнения Лауэ, определяющие направление  интерференционных максимумов, можно свести к одному, общему интерференционному уравнению, которое записывается в векторной форме.

      Рассмотрим  так же, как и раньше, дифракцию  рентгеновских лучей на атомном  ряде. Разность хода двух соседних лучей  после дифракции от атомного ряда равна a×cosa - a×cosa₀ (рис.2.7). Для того, чтобы учесть направление падающего и рассеянного луча в пространстве, введем единичные вектора S₀  и S. По абсолютной величине они равны 1, а по  направлению S₀ - совпадает с направлением первичного пучка, а S - направлением дифрагированных лучей. Разность хода двух соседних лучей определим как   a×cos a×1 - a×cosa₀×1 = (a[S -S₀]).  Дифракционный максимум мы получим, когда на длине этого отрезка укладывается целое число длин волн, т.е.

(a[S - S₀]) = ml  .                                    (2.24 а)

Аналогичным образом можно преобразовать  и другие уравнения Лауэ, записав  их в векторной форме:

(b[S - S₀]) = nl,       (c[S - S₀) = pl .                  (2.24 б) 

Разделив  левую и правую части этих уравнений на l, получим: 

                                          (2.25)

     Если  в обратной решетке взять точку - узел с индексами m, n и p, то вектор H, проведенный в эту точку, запишется как

H =  ma*+  nb* + pc*  .                                (2.26)

Тогда, умножив скалярно левую и правую части этого выражения на a, а затем последовательно на b и с, будем иметь  

                                         (2.27) 

Сопоставляя  между собой систему уравнений  (2.26) и (2.27), получим новое фундаментальное  соотношение:

(S - S₀)/l = H                                              (2.28)

которое полностью определяет направление  дифракционных максимумов и содержит в себе все 3 уравнения Лауэ. Действительно, умножив левую и правую части уравнения (2.28) на вектор a, получим первое уравнение Лауэ и при умножении на вектора b и c соответственно второе и третье уравнения Лауэ.

     Графическое выражение интерференционного уравнения. Сфера отражения или сфера Эвальда. Общее интерференционное уравнение можно выразить графически, используя построение обратной решетки кристалла (рис. 2.10). 

 

Рис.2.10. Сфера Эвальда.

      Построим  обратную решетку кристалла. Для  этого, проведем из какой-либо точки O, связанной с кристаллом, оси обратной решетки (см. построение обратной решетки). Зная направление осей и величины единичных векторов, строим координатную сетку. Узлы ее будут одновременно узлами обратной решетки кристалла. Для простоты на рис.2.10 представлена двухмерная сетка. Допустим, что направление падающего пучка S₀. Выбираем луч, который проходит через начало координат. Отложим от начала координат (точки O) вектор –S₀/l, конец которого будет какой-то точкой A. По абсолютной величине этот вектор равен 1/l, т.к. |S₀|=1. Опишем из точки A сферу радиусом 1/l. По положению она жестко связана с направлением первичного пучка и всегда проходит через начало координат. Построенная сфера носит название сферы отражений или сферы Эвальда.

      Замечательной особенностью этой сферы является то, что для любого узла обратной решетки, попавшего на ее поверхность, удовлетворяется  общее интерференционное уравнение. Возьмем, например, узел M на сфере и  рассмотрим векторный треугольник OAM. Согласно известным правилам сложения векторов сумма   OA+AM = OM. Так как вектор OM является не чем иным, как вектором H, а OA = –S₀/l можно записать

AM – S₀/l = H                                    (2.29)

Из сравнения  этого выражения с уравнением (2.28) следует, что вектор AM, равный 1/l, по направлению должен совпасть с S. В результате получим соотношение, являющееся общим интерференционным уравнением трехмерной решетки: