Развитие познавательного интереса младших школьников

построения  так называемых несоизмеримых отрезков, т.е. таких, длины  которых

нельзя  выразить рациональной дробью.  Вместе  с  учениками  можно  выполнить

геометрические  построения и еще раз, повторяя  теорему  Пифагора,  вычислить

длины диагоналей прямоугольников, изображенных на  рисунке.  Так,  вводя  на

уроке  алгебры понятие иррационального числа,   можно   геометрически   и

исторически помочь школьникам понять и почувствовать  его суть.

                  Эффективным  и  занимательным   приемом   является   также

математический  софизм.  Софизм  -  это  доказательство   заведомо   ложного

утверждения. Причем ошибка в доказательстве  искусно  замаскирована.  Группу

древнегреческих философов, живущих в V-IV вв. до н.э.,  называли  софистами.

Они достигли большого искусства в логике.

      Ученикам VII-VIII классов уже можно   привести  софизм  об  Ахиллесе  и

черепахе.

Ахиллес, бегущий в десять раз быстрее  черепахи, не сможет ее догнать.  Пусть

черепаха  на сто метров впереди Ахиллеса.  Когда  Ахиллес  пробежит  эти  сто

метров, черепаха будет впереди него на десять  метров.  Пробежит  Ахиллес  и

эти десять  метров,  а  черепаха  окажется  впереди  на  один  метр  и  т.д.

Расстояние  между ними все время сокращается,  но  никогда  не  обращается  в

нуль. Значит, Ахиллес никогда не догонит черепаху.

      Сколько восторгов, мнений, споров, а главное - неподдельного   интереса

и жажды  знаний  вызывает  у  учеников  этот  исторический  софизм.  Тут  же

разбираем и чисто геометрическое ложное утверждение, пытаясь  найти  искусно

скрытую ошибку.

       Докажем,  что  все  (!)   треугольники   равнобедренные.   Рассмотрим

произвольный  треугольник  АВС.  Проведем  в  нем  биссектрису  угла   В   и

серединный  перпендикуляр к стороне АС. Точку  их пересечения обозначим  через

O. Из  точки O опустим перпендикуляр  ОД на сторону АВ и перпендикуляр   ОЕ  на

сторону ВС. Легко доказывается, что ОА  =  ОС  и  ОД  =  ОЕ.  Следовательно,

прямоугольные треугольники АОД и СОЕ равны  по гипотенузе  и  катету.  Отсюда

<ДАО  =  <ЕСО.  Кроме  того,  <ОАС  =  <ОСА,  так  как  треугольник   АОС   -

равнобедренный. В итоге получаем: <ВАС = <ДАО + <ОАС = <ЕСО + <ОСА  =  <ВСА.

Итак,  мы  доказали,  что  <ВАС  =   <ВСА,   значит,   треугольник   АВС   -

равнобедренный  и АВ = ВС. 

      Поиски ошибки привели к долгожданному  результату. Ошибка  оказалась   в

чертеже,   ведь   серединный   перпендикуляр   к   стороне   и   биссектриса

противолежащего ей угла для неравнобедренного треугольника пересекаются  вне

этого треугольника.

      Решая  геометрические  задачи  на  построение  в  VII,  VIII  классах,

конечно, знакомимся с тремя классическими  задачами древности:  о  квадратуре

круга, трисекции угла и об удвоении куба.

      Способов приближенного решения  квадратуры круга с помощью  циркуля и

линейки было придумано много. Так, например, еще в Древнем Египте было

распространено  правило: площадь круга равна  площади квадрата со стороной,

равной 8/9, = 256/81= 3,1604...

      С удовольствием и  эмоциональным   подъемом  слушают  ученики   легенду,

связанную  с "делосской  задачей"  об  удвоении  куба.  Свое  название  она

получила  от острова Делос в Эгейском море, где, по легенде,  чтобы  избавить

жителей от эпидемии, оракул повелел удвоить  алтарь, имеющий форму куба.

Ученики узнают о том, что древние задачи оказались неразрешимыми  с  помощью

циркуля  и  линейки,   но   благодаря   многолетним   поискам   их   решения

совершенствовались  математические методы.  Исторически  развивалась  и  сама

математика.

      Открытие логарифмов - еще одна  историческая  цепочка  знаний,  которая

связана не только с математикой, но и, казалось бы, совсем не имеющей к ней

отношение музыкой.

      На уроке во II классе,  посвященном   логарифмам,  обращаемся  к   школе

Пифагора (VI-IV  вв.  до  н.э.),  открытию  в области числовых  отношений,

связанных  с музыкальными  звуками.   Вся   пифагорейская   теория   музыки

основывалась  на законах "Пифагора-Архита".

1.  Высота  тона  (частота   колебаний   f   )   звучащей   струны   обратно

пропорциональна ее длине l/f =  a/l  (а -  коэффициент пропорциональности,

характеризующий физические свойства струны).

2. Две  звучащие струны дают консонанс  (приятное  созвучие),  если  их  длины

относятся, как 1:2, 2:3, 3:4.

      Пифагорова  гамма   была   несовершенной,   так   как   не   позволяла

транспонировать (переводить из тональности в тональность)  мелодию.  И  лишь

только  в 1700 году  немецкий  органист  А.Веркмайстер  осуществил  смелое  и

гениальное  решение, разделив октаву  (геометрически)  на  двенадцать  равных

частей. Какую же роль сыграли здесь логарифмы? Дело  в  том,  что  в  основе

музыкальной гаммы лежит геометрическая прогрессия со знаменателем -  [Корень

из  двух  в  двенадцатой  степени].  является  иррациональным  числом,   при

нахождении  приближенного значения которого используются логарифмы.

Идея  логарифма возникла также в Древней  Греции. Так, в сочинении  "Псамлигт"

Архимеда (287 - 212гг. до н.э.) мы читаем:  "Если  будет дан ряд чисел в

непрерывной пропорции начиная от 1 и если  два  его  члена  перемножить,  то

произведение  будет членом того же  ряда,  настолько  удаленным  от  большего

множителя, насколько меньший  удален  от  единицы,  и одним членом  меньше

против  того,  насколько  удалены   оба   множителя   вместе".   Здесь   под

"непрерывной   пропорцией"  Архимед   разумеет   геометрическую   прогрессию,

которую мы записали бы так: 1, а, [а в квадрате],...  В этих  обозначениях

правило, сформулированное Архимедом, будет  выражено формулой: [a  в степени

m] * [a в степени n] = [a в степени m+n]

.

      Историческое развитие понятия  логарифма завершилось  в  XVII  веке.  В

1614-м  в Англии были  опубликованы  математические  таблицы  для   выполнения

приближенных  вычислений, в которых использовались логарифмы. Их автором  был

шотландец  Дж.Непер  (1550-1617  гг.).  В  предисловии  к  своему  сочинению

Дж.Непер  писал:  "Я  всегда  старался,  насколько  позволяли  мои  силы   и

способности, отделаться от трудности и скуки  вычислений, докучность  которых

обыкновенно отпугивает многих от изучения математики".

      Так   вслед   за   изобретением   логарифмов   и   развитием   алгебры

иррациональных  чисел  в  музыку   вошла   равномерная   темперация   (новый

двенадцати  звуковой строй).

      Еще один пример того, как можно  учить, не отпугивая от  математики,  -

интеграция  исторических знаний и математических  задач,  связанных  с  этими

знаниями. Ученикам гораздо интереснее решать именно такие задачи,  нежели  о

пионерах и бригадах, колхозах и рационализаторских  предложениях.  Особенно

это относится  к ученикам V-VI классов, у которых  история  вызывает  глубокий

интерес. В то же время  наибольшую  трудность  у  них  вызывает  математика.

Может быть, в какой-то мере интеграция исторических и математических  знаний

на примерах задач исторического  содержания  поможет  привить  интерес  и  к

истории, и к математике.

      В 1994 году в  издательстве  "Педагогика-пресс"  вышел   нетрадиционный

задачник  С.С.Перли,  Б.С.Перли "Страницы   русской   истории   на   уроках

математики". Необычность названного  пособия  в  том,  что  все  приведенные

математические  задачи даны  на  фоне  русской  истории  начиная  от  первого

упоминания  в летописи  о  Москве  и  заканчивая  Петровской  эпохой.  Словно

следуя  словам Петра Великого "Оградя отечество безопасностью от  неприятеля,

надлежит  стараться находить славу государства  через искусство и  науки",  мы

читаем  о родной истории,  ее  богатых  обычаях  и  традициях.  Книга  хорошо

иллюстрирована, написана на ярком историческом материале.

      Задачник соответствует программе  по математике V-VI  классов.  Большое

место занимают задачи на составление уравнений, причем уровень сложности  их

постепенно  возрастает. Содержание всех задач  связано с русской  историей,  с

ее архитектурными и культурными памятниками.

      Вот некоторые задачи из этого  сборника:

1. В XV в. суммарная площадь Пскова, Великого Новгорода и Нижнего  Новгорода

была 940 га, из которых 11/47 составляла площадь  Пскова.  Вычислите  площадь

каждого из этих трех городов, если известно, что  Нижний имел площадь на  100

га меньше, чем Новгород Великий (задача на нахождение числа по величине  его

процента  к теме: "Размеры русских средневековых городов").

2. Теме "Некоторые итоги  Петровских  преобразований"  посвящена   задача  на

составление уравнения. "В 1795 г. бюджет России составлял 9,75 млн.  рублей.

Из них 2/3  расходовали  на  содержание  армии  и  флота.  Расходы  на  флот

составляли  0,3  от  стоимости  содержания  армии.  Сколько  стоило   России

содержание  армии и флота в 1725 г.?"