Контрольная работа по "Экономико-математическим моделям и прогнозированию рынка труда"

    Задание 3.

    Построить линейную трендовую модель, определив  ее параметры методом наименьших квадратов.

    Решение:

    Полином первого порядка рассчитывается по формуле:

    ^

    yt = a0 + a1 t 

    Для нахождения a0 и a1 применим метод наименьших квадратов:

                     n            _             _

                 ∑ (y – y) × (t – t)          

                    t = 1                                                                       __          __  

            a1 = ———————— ;               a0 = yt  – a1 t

                           n           _         

                        ∑ (t – t) ²         

                               t = 1  

              

                                                 

     

Таблица 3    

 

            87,95

    a1 = ——— = 1, 066;        a0 = 133,19  –  1,066 × 5,5 = 127,327

           82,5

    ^

    yt = 127,327 + 1,066 t

    Параметр a1 = 1,066 показывает, что с возрастанием значения t на единицу yt возрастет на 1,066.

    Задание 4.

    Оценить адекватность построенной модели на основе исследования:

    А) близости математического ожидания остаточной последовательности (ряда остатков) нулю;

    Б) случайности отклонений ряда остатков по критерию пиков (поворотных точек);

    В) независимости (отсутствия автокорреляции) уровней ряда остатков по критерию Дарбина-Уотсона;

    Г) нормальности закона распределения ряда остатков на основе RS-критерия, взяв в качестве критического интервал от 2,7 до 3,7.

    Решение: 

    А) критическое значение статистики Стьюдента tα = 2,23

    ^

    yt = 127,327 + 1,066 t

    Оценим  адекватность построенной линейной модели. Результаты исследования отразим в таблице.

    Расчетное значение t-критерия  Стьюдента задается формулой:

                    _

                    ε - 0  __

    t расч. = —— √ n   , где

                       S_ε

    S_ε       –        среднее квадратическое отклонение;

    _

    ε – среднее арифметическое значение уровней остаточной последовательности εt.

    ^

    y1 = 127,327 + 1,066 × 1 ≈ 128,39

    ^

    y2 = 127,327 + 1,066 × 2 ≈ 129,46

                                                                          ^

    Аналогично  вычисляем другие значения yt:

    ^                    ^                   ^                   ^                    ^                   ^

    y3 ≈ 130,53;  y4 ≈ 131,59;  y5≈ 132,66;  y6 ≈ 133,72;  y7 ≈ 134,79;  y8 ≈ 135,85; 

    ^                    ^

    y9 ≈ 136,92;  y10 ≈ 137,99. 

                                                                                                               Таблица 4 

    Так как ε = 0, то t расч. = 0.

    Гипотеза  о равенстве математического ожидания значений ряда остатков нулю выполняется. По данному критерию  модель является адекватной.

    Б) Уровень последовательности εt считается максимумом, если он больше двух рядом стоящих ровней, т.е. εt-1 < εt > εt+1, и минимумом, он меньше обоих соседних уровней, εt-1 > εt < εt+1, где εt – поворотная точка.

    Обозначим общее число поворотных точек  для остаточной последовательности εt через p.

    Критерием случайности с 5%-ным уровнем значимости, т.е. с доверительной вероятностью 95%, является выполнение неравенства:

                                                           _             ___

p > [ p – 1,96 √ σp² ],

где квадратные скобки означают целую часть числа.

                                                                                             _

    Математическое  ожидание числа точек поворота p будет равно:

    _    2 × (n – 2)

    p = ———— d ≈ 5,33

                 3

    Дисперсия будет равна:

              16 n - 29        

    σp² = ———— ≈ 1,45

                   90

      _              ___                              ___

    [ p – 1,96 √ σp² ] = [ 5,33 – 1,96 √ 1,45 ] = [ 2,978 ] = 2

                                                                                                                          Таблица 5 

 

    Число поворотных точек p = 1. 

                                                       _              ___

    Так как неравенство    p > [ p – 1,96 √ σp² ] не соблюдается, следовательно, свойство случайности не выполняется, по данному критерию  трендовая модель считается неадекватной.