Контрольная работа по "Экономико-математическим моделям и прогнозированию рынка труда"

     4 X1  + 2 X2 = 600          X1  = 133,33      т. В (133,33; 33,33) 

    Аналогично  определим координаты других точек: т. О (0; 0); т. А (0; 300); т. С (140; 0).

    Построим  линию уровня.

    Присвоим  целевой функции постоянную величину А: 6 X1  + 2 X2 = А.

    Пусть А = 0, тогда 6 X1  + 2 X2 = 0.

    Определим координаты, через которые проходит линия уровня:

    1-ая точка – О (0; 0); 2-ая точка – D (50; -150)

    Проведем  линию уровня через эти две  точки пунктирной линией.

    Для определения направления движения к оптимуму построим вектор-градиент, координаты которого являются частными производными функции F(X)= (с1; с2) = (6; 2)

    Для удобства строим вектор, пропорциональный вектору-градиенту:

    30 × (6; 2) = (180;,60).

    Чтобы достичь максимума целевой функции будем двигать линию уровня в направлении вектора-градиента.

    Целевая функция F (x) = 6 X1  + 2 X2 → max в т.В (133,33; 33,33).

    F (max) = 866,64. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                      X2

                  800

       

                  700 

                  600

                   

                 

                  500

                               

                  400                      III

 

                  300       А

                 

                  200

                                                                 вектор-градиент

                  100

                   50                         В           

                                                                F (x) = 866,64    x1 = 133,33;  x2 = 33,33

                        0       50    100 С     200          300         400         500          600      X1

                - 100                                        

                                                I         II

                - 150

             

                - 200

                                         линия уровня 
 
 

Рис. 1.  График исходной оптимизационной задачи оптимального

использования трудовых ресурсов на максимум общей 

стоимости выпускаемой продукции 
 

    Задание 2.

    Сформулировать  двойственную задачу и найти ее оптимальный  план на основе первой и второй теорем  двойственности линейного программирования.

    Решение:

           Исходная задача                                            Двойственная задача

            5    1     ≤     700                                              5     4      1   ≥   6

          4    2     ≤     600                                               1      2      0     ≥    2

            1    0     ≤     150                                            700  600  150

         6    2

            __                                                                     __

n = 2 (j =1;2) – число переменных;              m = 3 (i = 1;3) – число переменных;

                  __                                                                   __

m = 3 (i = 1;3) – число ограничений.            n = 2 (j =1;2) – число ограничений.

    Так как исходная задача содержит три  ограничения, то  в двойственной задаче будет три неизвестных.

    Сформулируем  экономико-математическую модель двойственной задачи к задаче оптимального использования  трудовых ресурсов.

    F (x) = 6 X1  + 2 X2 → max              

       Ограничения по ресурсам:

     5 X1  + X2 ≤ 700

     4 X1  + 2 X2 ≤ 600              

        X1  ≤ 150

        X2 ≥  0                              X* = (133,33; 33,33)  

    Пусть Y1 – цена единицы ресурса № 1,

               Y2 – цена единицы ресурса № 2,

               Y3 – цена единицы ресурса № 3.

    Запишем целевую функцию двойственной задачи:

    Z (y) = 700 Y1  + 600 Y2 + 150 Y3 → min

    Ограничения:

     5 Y1  + 4 Y2 + Y3 ≥ 6

      Y1  + 2 Y2 ≥ 2              

        Y1,2,3  ≥ 0

    Необходимо  найти такие цены на ресурсы (Yi), чтобы общая стоимость используемых ресурсов была минимальной.

    Найдем  оптимальный план двойственной задачи, используя теоремы двойственности. Воспользуемся первым соотношением второй теоремы двойственности:

         n                               

    Yi ( ∑ aij Xj – bi ) = 0,      

           j = 1 

      Y1 (5 X1  + X2 – 700) = 0

      Y2 (4 X1  + 2 X2 – 600) = 0              

      Y3 (X1 + 0 × X2 – 150) = 0

    Подставим оптимальные значение X* в полученные выражения:

      Y1 (5 × 133,33  + 33,33 – 700) = 0

      Y2 (4 × 133,33  + 2 × 33,33 – 600) = 0              

      Y3 (133,33 – 150) = 0

    Получим:

      Y1 (700 – 700) = 0, Y1 > 0

      Y2 (600 – 600) = 0, Y2 > 0           

      Y3 (133,33 – 150) = 0, т.к. 133,33 < 150, то Y3 = 0

    Воспользуемся вторым соотношением второй теоремы  двойственности:

          m                                                m 

    Xj ( ∑ aij – Cj ) = 0; если Xj > 0, то ∑ aij Yi = Cj

            i = 1                                                               i = 1 

    Так как X1 = 133,33 > 0 и X2 = 33,33 > 0, то

      X1 (5 Y1  + 4 Y2 + Y3 – 6) = 0

      X2 (Y1  + 2 Y2 – 2) = 0              

      Y3 = 0, отсюда:

     5 Y1  + 4 Y2 = 6             Y2 = 2/3

      Y1  + 2 Y2 = 2                Y1  = 2/3          

    Y* = (2/3; 2/3; 0)   

    Планы X и Y являются оптимальными, если F (x) = Z (y)

    F (x) = 6 × 133,33 + 2 × 33,33 = 866,64

    Z (y) = 700 × 2/3 + 600 × 2/3 + 150 × 0 = 866,64

    Равенство выполняется, оптимальный план двойственной задачи определён верно.

Задача  2.

    В таблице приведены фактические  годовые данные по производительности труда в цементной промышленности, отражающие выработку натурального цемента (в десятках тонн) в расчете на одного работающего. Эти данные представлены в виде десяти вариантов временного ряда yt, при этом каждый последующий вариант отражает данные по производительности труда за 10 лет со сдвигом на 2 года вперед по сравнению с предыдущим вариантом.