Спікання

  одержимо: 

  Після спрощення: 

  чи 

  З огляду на те, що x(τ)=R∙ φ, одержимо 

                                                                                                          (6.8) 

  Звідси  ми можемо знайти час злиття: двох часток, тобто час спікання. Злиттям часток (крапель) до того моменту, коли простір між ними стає ізольованим, тобто утворяться між частками пори, закінчується перша стадія спікання. Далі по Я.І.Френкелю діє механізм в'язкого запливання пори, під дією сил поверхневого натягу (капілярного тиску). Для з'ясування цього механізму уявимо собі в однорідному в'язкому тілі необмежених розмірів сферичну порожнину зі змінним радіусом R(τ) (рис.25). Під впливом капілярних сил, робота яких дорівнює ( ), останній повинен безупинно зменшуватися. При цьому швидкість часток тіла при запливанні пори (при нездатності стискатися останнього) у виді кульової симетрії повинна мати радіальний напрямок і визначається 

                                                                 ,                                                     (6.9) 

  де: r - відстань відповідної крапки від центра порожнини:

                           Рисунок 25 – Схема запливання  пори по Френкелю 

  На  поверхні порожнини, тобто на відстані r = R, ми маємо 

                                                                                                                    (6.10) 

    З цього випливає, що коефіцієнт  β визначається через швидкість зміни радіуса порожнини формулою: 

  Запливання  пори буде можливо лише при рівності робіт сил поверхневого натягу і  робіт сил внутрішнього тертя  у всьому обсязі тіла (за одиницю  часу): 

                                                            (6.11) 

  де: - тензор швидкості деформації як і для випадку злиття крапель ε зводиться в нашому випадку до радіальної компоненти 

  З огляду на це одержимо для роботи сил  внутрішнього тертя: 

                                                                                                     (6.12) 

  Дорівнюємо  ці роботи: 

  враховуючи, що 

                                                                 , 

  одержимо: 

  Після спрощення 

  чи 

                                                                                                       (6.13) 

    З цього виразу видно, що  запливання пори (усадки) повинно  відбуватися з постійною швидкістю  (рис.26).

                             Рисунок 26 – Залежність усадки  від часу спікання

  Час повного запливання дорівнює: 

                                                             ,                                               (6.14) 

  де: R_o - початкове значення радіуса пори. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

  2. ПРОЦЕС ОБ'ЄМНОЇ САМОДИФУЗІЇ

  (дифузійний  в'язкий плин) 

  Даний процес відбувається по теорії развиненій Б.Я.Пінесом, як процес дифузійного  переміщення атомів. При цьому  не вводиться представлення про  в'язкий плин і спікання розглядається  як наслідок перерозподілу речовини шляхом самодифузії.

  Принципово обидві точки зору дуже близькі, тим більше, що в так званому “дифузійному розрахунку” була використана теорія самодифузії Френкеля.

  При розборі процесу спікання як прояву самодифузії, причиною спрямованого переміщення  атомів (вакансій), що приводить до заростання пор, злиттю часток, є різниця концентрацій у різних точках об'єму.

  Легко показати, що в пористому тілі, поверхня якого не відповідає мінімуму вільної  енергії, обов'язково мають місце  розходження “рівноважної концентрації вакансій” у різних точках тіла.

   Розглянемо, наприклад, тіло великих  розмірів з радіусом R (рис.27).

                            Рисунок 27 – Схема “запливання”  пори по Пінесу 

  Всередині тіла знаходиться сферична пора з  радіусом r<<R. Поблизу зовнішньої поверхні тіла рівноважна концентрація вакансій не буде відрізнятися від визначеної по формулі: 

                                                                                                           (6.15) 

  На  границі ж з поверхнею внутрішньої  порожнини концентрація повинна бути підвищена. Дійсно, можна розглядати задачу про вакансії, що виникають у кристалі, як аналогічну задачу про випар. Замість внутрішньої порожнини тіла ми маємо як би краплю речовини, а замість вакансій - молекули пари.

  У термодинаміці показується, що поблизу краплі, поверхня якої має радіус кривизни r, рівноважна пружність пари P_o підвищена на величину 

                                              ,                                                    (6.16) 

  де: V_o - власний обсяг однієї молекули пари в конденсованій фазі.

  Так як ця формула не містить маси часток, вона може бути віднесена і до (як би) розведеного розчину вакансій у кристалі.

  У цьому випадку значення Р_о і ∆Р у формулі (6.16) пропорційні концентраціям 

                                                      ;         

  Таким чином, підвищення рівноважної концентрації вакансій поблизу пори з радіусом r можна визначити по формулі: 

                                                                                                  (6.17) 

  чи  для C_r – концентрації поблизу пори 

                                       ,                                    (6.18) 

  де: С_о - рівноважна концентрація вакансій поблизу плоскої поверхні 

                                                      , 

  де: δ - параметр кристалічної ґратки. 

  Оскільки  поблизу зовнішньої поверхні тіла, що має радіус кривизни R>>r, рівноважна концентрація C_R≈C_o, усередині тіла повинен вийти градієнт рівноважної концентрації, тобто повинен установитися дифузійний потік вакансій від пори до зовнішньої поверхні, через останню вакансію будуть виходити з тіла. А це не що інше, як процес дифузійного заростання пори атомами.

  Швидкість процесу можна визначити, скориставшись  рішенням рівняння дифузії для вакансій. 

                                                                                                        (6.19) 

  де: - скалярна величина, що показує згущення концентрації в даній точці.

  Зневажаючи  спершу зміною розподілу концентрації, обумовленою переміщенням границь  пори, можна для сферично симетричного випадку взяти рішення виду: 

  де: а - відстань розглянутої точки від центра порожнини,

         А, В - константи, що визначаються по граничних умовах при:

                                               і         

    Потік вакансій, “які виходять”  з тіла через усю його зовнішню  поверхню S в одиницю часу, дорівнює: 

  Підставляючи  значення констант А и В і обчислюючи градієнт, знаходимо, що 

  і при урахуванні виразу (6.18) 

  Враховуючи, що D_в∙ С=D одержимо 

                                                                                                     (6.20) 

  Якщо  D виражено в см²/сек, то представляє об'єм вакансій, що іде з тіла в 1 сек, тобто можна сказати, що швидкість зменшення об'єму пори дорівнює, 

                                                                                                   (6.21) 

    Вирази (6.20) і (6.21) рівні і тому  прирівнюючи їх знайдемо швидкість  запливання пори (зменшення радіуса). 

  Після спрощення 

                                                          ,                                 (6.22)