Признаки Абеля и Дирихле

                                                                                    Содержание 

Введение……………………………………………………………………………………………………………. 3

Глава 1. Основные понятия теории рядов………………………………………………………………………... 4

1.1 Определения и термины………………………………………………………………………………………. .4

1.2 Общее условие сходимости…………………………………………………………………………………….5

Глава 2. Абсолютная сходимость…………………………………………………………………………………..6

2.1 Определение абсолютной сходимости………………………………………………………………………....6

2.2 Признаки абсолютной сходимости…………………………………………………………………………….6

Глава 3. Степенной ряд, и его промежутки сходимости………………………………………………………….8

3.1 Определение степенного ряда…………………………………………………………………………………..9

3.2 Лемма Абеля……………………………………………………………………………………………………..9

3.2.1 Область сходимости степенного ряда………………………………………………………………………..9

3.3 Выражение радиуса сходимости через коэффициенты……………………………………………………….9

Глава 4. Знакопеременные ряды……………………………………………………………………………………9

4.1 Определение знакопеременных рядов………………………………………………………………………….9

4.2 Теорема Лейбница……………………………………………………………………………………………….9

Глава 5. Преобразования Абеля……………………………………………………………………………………10

5.1 Преобразования Абеля………………………………………………………………………………………….10

Глава 6. Признаки Абеля и Дирихле………………………………………………………………………………10

6.1 Признак Абеля…………………………………………………………………………………………………..10

6.2 Признак Дирихле………………………………………………………………………………………………..11

Заключение………………………………………………………………………………………………………….12

Список использованной литературы………………………………………………………………………………13 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                                                 Введение 

    Как известно математический анализ, занимается проблемами изучения множества объектов, таких как: числа, переменные, функции, последовательности, ряды и др. При изучении свойств того или иного объекта могут возникать пробелы. Это возникает тогда, когда наука не может объяснить: “Почему происходит так, а не иначе? ”. Существуют много разных признаков и теорем о сходимости произвольных рядов.

     В данной работе я хочу рассмотреть эти признаки и теоремы, обратить внимание на то, где и какой метод наиболее применим. Моя работа состоит из 6 глав, первая из которых содержит основные термины и определения необходимые для работы. Последующие главы рассматривают непосредственно сами признаки и теоремы о сходимости рядов. Каждая из глав содержит примеры сходимости рядов по данному конкретному признаку или теореме. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

                                                      Глава 1. Основные понятия теории рядов

•                                                                                        1.1 Определения и термины

Как было упомянуто  вначале цель нашего исследования – сходимость произвольных рядов. А что же такое, вообще, ряд?

Пусть задана некоторая  бесконечная последовательность чисел 


                                                                                                                                (1.1)                                            


Составленный  из этих чисел символ 


                                                                                                                           (1.2) 


называется  бесконечным рядом, а сами числа (1.1) - членами ряда. Вместо (1.2), пользуясь знаком суммы, часто пишут так: 


                                                                                                                                                              (1.2а) 


Станем последовательно  складывать члены ряда, составляя (в  бесконечном количестве) суммы; 


                                                           (1.3) 


их называют частичными суммами ряда.

Конечный  или бесконечный  предел А частичной  суммы  ряда (1.2) при :

называют  суммой ряда и пишут 


                                                              , 


Придавая тем  самым символу (1.2) или (1.2а) числовой смысл. Если ряд имеет конечную сумму, его называют сходящимся, в противном же случае (т. е если сумма равна , либо же суммы вовсе нет) - расходящимся.

Примеры.1) простейшим примером бесконечного ряда является уже знакомая геометрическая прогрессия: 


                                                                  


Его частичная  сума будет (если ) 


                                                                            


Если знаменатель прогрессии, q, по абсолютной величине меньше единицы, то имеет конечный предел 


                                                                                 


то есть наш  ряд сходится, и  будет его суммой.

При та же прогрессия дает пример расходящегося ряда. Если , то его суммой будет бесконечность (определенного знака), в прочих случаях суммы вовсе нет. 


2) Легко установить  расходимость ряда 


                                                         


В самом деле, так как члены его убывают, то его n-я частичная сумма 


                                                     


и растет до бесконечности  вместе с n.

                                                               

                                                                1.2 Общее условие сходимости ряда

По определению, сходимость ряда

 

                                                                                                              (1.4) 


приводится к  сходимости последовательности

                                                   

                                                                                                                    (1.5)                                                                                             


составленной  из частичных сумм ряда, то можно  применить к этой последовательности принцип сходимости. Из двух номеров n и n’,которые в нем упоминаются, можно считать n>n’ и положить n’=n+m, где m- любое натуральное число. Если вспомнить, что

                                   

                                                          


то принцип  сходимости применительно к ряду можно перефразировать так:

 Для того  чтобы ряд (1.4) сходился, необходимо и достаточно, чтобы каждому числу ε>0 отвечал такой номер N,что при n>N неравенство

                                                   

                                                                                                                            (1.6)                                                                                                   


Выполняется при любых m, где m=1,2,3…..

Другими словами: сумма любого числа членов ряда, следующих за достаточно далеким, должна быть произвольна мала.

Если, предпологая  ряд сходящимся, в неравенстве (1.6) взять, в частности, m=1,  то получим:

                                                   

                                                                                 (при n>N),

так что  или   ,и мы вновь приходим к необходимому условию сходимости ряда. Оно требует меньшего, чем принцип сходимости ряда: необходимо не только чтобы не только далекинчлены , в отдельности взятые были малы, но и сумма далеких членов, взятых в любом количестве должна быть мала!

                                                                Глава 2. Абсолютная сходимость

                                                        2.1 Определение абсолютной сходимости

Рассмотрим ряд, в котором есть как бесконечное  количество положительных, так и  отрицательных членов 


Сходящийся ряд  называется сходящимся абсолютно, если сходится ряд из модулей , иначе — сходящимся условно

Теорема. Пусть дан ряд (А) с членами произвольных знаков. Если сходится ряд 


                                                                                                            (А*)

составленный из абсолютных величин его членов, то и данный ряд так же сходится.

                                                        

                                                              2.2 Признаки абсолютной сходимости

Признак сравнения

Если    при , то:

-если ряд   сходится, то ряд сходится абсолютно

-если ряд  расходится, то ряд расходится 


Пример:

Определить, сходится или расходится ряд 

Решение.

Воспользуемся признаком сравнения. Заметим, что  для всех натуральных n. Ряд   является обобщенным гармоническим рядом с p = 2 > 1 и, следовательно, сходится.

Таким образом, исходный ряд сходится по признаку сравнения. 


Признак д’Аламбера 


Ряд

1) Сходится абсолютно,  если 

2) Расходится, если 

3) Существуют  как сходящиеся, так и расходящиеся ряды, для которых

Примеры:

1)Ряд       абсолютно сходится для всех комплексных z, так как

2)  Ряд

расходится при всех , так как 


3) Если ρ = 1, то ряд может как сходиться,  так и расходиться: оба ряда

                  и  

удовлетворяют этому условию, причём первый ряд  расходится, а второй сходится.

Признак Коши

Пусть задан  ряд  . Тогда

1) Если α < 1, то ряд сходится абсолютно

2) Если α > 1, то ряд расходится

3) Существуют  как сходящиеся, так и расходящиеся  ряды, для которых α = 1 


Примеры:

1) Ряд

 сходится, так как выполняется условие предельной формы радикального признака

2) Рассмотрим ряд

 => ряд сходится 


Интегральный  признак Коши —  Маклорена

Пусть задан  ряд   и функция такая, что: 


1) нестрого монотонно убывает:  


2)  


Тогда ряд   и интеграл   сходятся или расходятся одновременно, причем

 


  Примеры: 


1) расходится так как

2) сходится так как  


Признак Раабе

Пусть задан  ряд , и  
 


1) Если  , то ряд сходится 


2) Если , то ряд расходится 

3) Существуют  как сходящиеся, так и расходящиеся  ряды, для которых  


                                               Глава3. Степенной  ряд, его промежутки  сходимости

                                                             3.1 Определение степенного  ряда 


Степенным рядом  называется ряд вида 


                                                                                        (3.1) 


где - постоянные числа, называемые коэффициентами ряда.

Пример: 


                                                                     

                                                                       


                                                                              
 


                                                                           

                                                                          3.2 Лемма Абеля

Лемма. Если ряд (3.1) сходится для значения , отличного от 0, то он абсолютно сходится для любого значения x, удовлетворяющему неравенству:  

                                                      3.2.1 Область сходимость степенного ряда

Для каждого  степенного ряда вида (3.1), если только он не является всюду расходящимся, «область сходимости» X представляет собой сплошной промежуток от -R до R, со включением концов или нет; промежуток этот может быть и бесконечным. Внутри промежутка, к тому же,  ряд сходится абсолютно.

Промежуток от –R до R называют промежутком сходимости, а число R( ) – радиусом сходимости ряда.

                                              3.3 Выражение радиуса сходимости через коэффициенты

Рассмотрим последовательность:

                                           ,             …,          …

Обозначим наибольший предел этой последовательности ( который всегда существует), через p, так что

                                                              

Теорема Коши-Адамара. Радиус сходимости ряда (3.1) есть величина, обратная наибольшему пределу p  варианты

                                                                                

(при этом , то , если , то )                                          

                                                               

                                                               Глава 4. Знакопеременные ряды

                                                         4.1 Определение знакопеременных  рядов 

 Знакопеременным называют ряды, члены которых поочередно имеют то положительный, то отрицательный знаки. Знакопеременный ряд удобнее записывать так, чтобы знаки членов были выявлены, например  


                                                                                               (4.1)

                                                                    

                                                                     4.2 Теорема Лейбница

Теорема. Если члены знакопеременного ряда (4.1) монотонно убывают по абсолютной величине: 


                                                                                                                ( …)

и стремятся к нулю: 


                                                                        

то ряд сходится. 


Примеры:

  По теореме Лейбница сходятся ряды

                          

      

Если  заменить все члены их абсолютными величинами, то при получаются сходящиеся ряды, а при

расходящиеся.Таким  образом исходные ряды при    оказываются абсолютно сходящимися, а при -условно сходящимися.                             


                                                           Глава 5. Преобразования Абеля

                                                                5.1 Преобразования Абеля

Часто приходится иметь дело с суммами парных произведений вида

                                                                                             (5.1)

Во многих случаях  при этом полезно использовать элементарные преобразования Абеля.

 Введем в рассмотрение суммы

                                                                        

                                                                           


Тогда, выражая  множители  через эти суммы,

                                                                   

                                                                      


сумму S можно написать в виде

                                          

Если раскрыть скобки и иначе сгруппировать  члены, то и получим окончательную  формулу

                                                              (5.2) 


Лемма. Если множители не возрастают (или не убывают), а суммы все ограничены по абсолютной велечине числом L:

                                                                                                  


то

                                                                    


                                                        Глава 6. Признаки Абеля и Дирихле

                                                                       6.1 Признак Абеля

Рассмотрим ряд:                                                                  (6.1)

где и  – две последовательности вещественных чисел. 


Следущие признаки относительо каждой из них в отделости  обеспечивают сходимость этого ряда. 


Признак Абеля. Если ряд

                                                                                                                            (6.2)

сходится, а числа  образуют монотонную и ограниченную последовательность

                                                                                                , 

то ряд (6.1) сходится.

                                                                 

                                                                    6.2 Признак Дирихле

Признак Дирихле. Если частичные суммы ряда (6.2) в совокупности ограничены:

                                                                                              ,

а числа  образуют монотонную последовательность, стремящуюся к нулю:

                                                                                

то ряд (6.1) сходится. 


Замечание. Признак Абеля вытекает из признака Дирихле. Ведь из положений Абеля следует, что имеет конечный предел . Если переписать ряд (6.1) в виде суммы рядов

                                                                    


то второй из них сходится по предположению, а  к первому применим уже признак  Дирихле. 


Примеры:

1) Если  , монотонно убывая, стремится к нулю, а , то условия теоремы Дирихле, очевидно выполнены. Следовательно ряд

сходится. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


                                                                          

                                                                                 Заключение 


     В курсовой работе были  рассмотрены признаки сходимости рядов, теоремы,  а так же рассмотрены примеры, использования на практике этих признаков и теорем. Мы увидели многообразие подходов к вопросу о сходимости произвольных рядов. Регулярность каждого признака мы устанавливали во всех случаях. К сожалению, я не всегда имела возможность достаточно углубиться в вопрос о взаимоотношении этих признаков между собой.

     Теория  рядов является важным и широко используемым разделом математического анализа, или другими словами бесконечные ряды являются важнейшим орудием исследования в математическом анализе и его приложениях. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 


                                                     Список использованной литературы 


1) Фихтенгольц Г.М. «Курс дифференциального и интегрального исчисления» II т., М., 1966. стр.293-313

2) Л.Д. Кудрявцев «Курс математического анализа» 1 том.

3) Интернет http://ru.math.wikia.com