Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

 

          Задание 3. Равносильны  ли следующие уравнения?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение   заменено вторым  уравнением, третьим  уравнением.

     

       

     

          Ответ:  . Обе части уравнения умножили на , обе части уравнения умножили на  .

          Вывод. Если  обе части уравнения  умножить на функцию, определенную  и не равную нулю на ОДЗ  этого уравнения, то получим  уравнение, равносильное данному. 

 

     Доказательство:

1. Пусть - корень уравнения , тогда

                    ,

                    ,

                    ,

                    - корень ;

2. Пусть - корень уравнения, тогда

                   ,

                   ,

                   ,

                   - корень

     Теорема доказана. 

          Задание 4. Являются  ли уравнения каждой  группы (а, б) равносильными?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение  группы заменено  вторым.

     а)                            б) 

          Ответ:  , . От правой и левой частей уравнения взяли функцию , применили функцию .

           Вывод. Пусть к обеим частям  уравнения применили функцию,  определенную на общей части  множеств значений функций, стоящих  в левой и правой частях  этого уравнения. Если эта функция  монотонна, то получим уравнение,  равносильное данному, если нет  – то уравнение–следствие. 

 

     Пример.   Решить уравнение

           1) ;                               2) . 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Выводы  по II главе

     Изучение  уравнений и неравенств даёт возможность установления межпредметных связей при решении прикладных физических, экономических и других задач, показывает проникновение математического знания в другие науки. А так же даёт возможность установления внутрипредметных связей через выделения того общего, что связывает все методы и все составные части математики – алгебру, геометрию, начала математического анализа.

     В виду важности данной темы «Равносильные  уравнения и неравенства. Теоремы  о равносильности», учитывая в ней  изобилие различных теоретических  положений и малое количество часов, отведённое на ее изучение школьной программой, необходимо учащимся дать более глубокие знания и умения применять  полученные знания на практике. Инструментом для этого послужит школьная лекция. 

 

Заключение 

            Математика, как и любая другая  наука не стоит на месте,  вместе с развитием общества  меняются и взгляды людей, возникают  новые мысли и идеи. Появление компьютеров внесло свои корректировки в способы решения уравнений и неравенств и значительно их облегчило. Но компьютер не всегда может быть под рукой (экзамен, контрольная работа), поэтому самые главные способы решения уравнений и неравенств необходимо знать. Использование уравнений в явном виде в повседневной жизни – редкость, но они нашли свое применение во многих отраслях хозяйства и практически во всех новейших технологиях, то есть уравнения и неравенства являются средством решения задач для практических нужд.

     Необходимо больше уделять времени решению уравнений и неравенств, в том числе и равносильных, так как это поможет учащимся успешно сдать ЕГЭ и осознать  их (уравнений и неравенств) практическую значимость.

     В виду важности данной темы «Равносильные  уравнения и неравенства. Теоремы  о равносильности», учитывая в ней  изобилие различных теоретических  положений и малое количество часов, отведённое на ее изучение школьной программой, необходимо учащимся дать более глубокие знания и умения применять полученные знания на практике. Инструментом для этого послужит школьная лекция.

     Широкому  и эффективному применению лекции мешает устаревшее отношение к ней как к обрекающей учащихся на роль пассивных слушателей.

     В действительности же на лекции деятельность учащихся имеет три формы. Это восприятие материала, при котором работают эмоции, мышление, воображение, память, речь; это участие в сообщении материала (доклад, реферат); это самостоятельная работа во время лекции. Главная форма деятельности учащихся на уроке-лекции - это восприятие слова учителя. Чтобы восприятие было полноценным, необходимо много условий, но главное - увлеченность самого лектора, глубокое знание предмета и слушателей. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     Список  используемой литературы 

     

1. Алгебра и  начала анализа. 10 – 11 кл.: В двух частях. Ч. 1: Учеб. для общеобразоват. учреждений / А.Г. Мордкович. – 4-е изд. – М.: Мнемозина, 2003.
2. Алгебра и начала анализа: Учеб. для 10 – 11 кл. общеобразоват. учреждений  /  Ш.А. Алимов, Ю.М. Колягин, Ю.В. Сидоров и др. – 10-е изд. – М.: Просвещение, 2002.
3. Алгебра и начала математического анализ: учеб. для 10 кл. общеобразоват. учреждений: базовый и профил. уровни / [С.М. Никольский, М.К. Потапов и др.] – 7-е изд., с испр. – М.: Просвещение, 2008.
4. Болтянский В.Г., Сидоров Ю.В., Шабунин М.И. Лекции и задачи по элементарной математике. – М.: Наука, 1974.
5. Колягин Ю.М. «Методика преподавания математики в средней школе», М., «Просвещение», 1999г.
6. Олехник С.Н., Потапов М.К., Пасиченко П.И. Уравнения и неравенства. Нестандартные методы решения. 10-11 классы: Учебно-метод. пособие. – М.: Дрофа, 2001.
7. Петров В.А. К вопросу о равносильности уравнений // Математика в школе. – 1991. –  №3.
8. Рогановский Н.М. «Методика преподавания в средней школе», Мн., «Высшая школа», 1990г.
9. Столяр А.А. «Логические проблемы преподавания математики», Мн., «Высшая школа», 2000г.
10. Талочкин П. Б. Неравенства и уравнения. Упражнения и методические рекомендации. Из опыта работы учителя. М., «Просвещение», 1970
11. Фройденталь Г. «Математика как педагогическая задача»,М., «Просвещение», 1998г.
12. Хазанкин Р. Г. «Развитие познавательной активности учащихся в процессе изучения математики», журнал «Учитель Башкирии», выпуск № 6, 1982
13. Чучаев И. И. «А какие уравнения мы решаем?», журнал «Математика в школе», выпуск №10, 2007
14. Элементарная математика: Общие методы решения уравнений и неравенств. Ч. 1: Учеб.-метод. Пособие. Н. Новгород: НГПУ, 2007.
15. http://temaplan.ru

(Тематическое планирование курса алгебры для 11 класса (базовый уровень)      Автор: Ким Н.А.