Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

Автор: Ким Н.А.

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

     §4 Школьная лекция

     «Равносильные уравнения. Уравнение-следствие» 

          Методические комментарии. Понятия равносильных уравнений, уравнений-следствий, теоремы о равносильности уравнений – это важные вопросы, связанные с теорией решения уравнений.

          К 10-му классу учащиеся накопили  некоторый опыт в решении уравнений.  В 7-8-х классах решаются линейные  и квадратные уравнения, здесь  никаких неравносильных преобразований  нет. Далее в 8-м и 9-ом классах  решаются рациональные и простейшие  иррациональные уравнения, выясняется, что в связи с освобождением  от знаменателя и возведения  обеих частей уравнения в квадрат  могут появиться посторонние  корни. Таким образом, возникает  потребность для введения новых  понятий: равносильность уравнений,  равносильные и неравносильные  преобразования уравнения, посторонние  корни и проверка корней. На  основе накопленного учащимися  опыта решения перечисленных  выше классов уравнений, возможно  определить новое отношение равносильности  уравнений и «открыть» вместе  с учениками теоремы о равносильности  уравнений.

          Урок,  конспект которого представлен  ниже, предваряет рассмотрение тем,  связанных с решением иррациональных, показательных, логарифмических  и тригонометрических уравнений.  Теоретический материал этого  урока служит опорой при решении  всех классов уравнений. На  данном уроке необходимо определить  понятие равносильных уравнений,  уравнений-следствий, рассмотреть  теоремы о преобразованиях, приводящих  к таким видам уравнений. Рассматриваемый  материал, как отмечалось выше, является  своеобразной систематизацией знаний  учащихся о преобразованиях уравнений,  он отличается определенной сложностью, поэтому наиболее приемлемым  типом урока является школьная  лекция. Особенность  этого урока  в том, что  поставленная  на нем учебная задача (цели) решается  на протяжении многих последующих  уроков (выявление преобразований  над уравнениями ведущих к  приобретению посторонних корней  и потере корней).

          Каждый этап урока занимает  важное место в его структуре. 

          На этапе актуализации учащиеся вспоминают основные теоретические положения, связанные с уравнением: что такое уравнение, корень уравнения, что значит решить уравнение, область допустимых значений (ОДЗ) уравнения. Находят ОДЗ конкретных уравнений,  которые послужат на уроке опорой для «открытия» теорем.

          Цель этапа мотивации – создать проблемную ситуацию, которая состоит в отыскании правильного решения предложенного уравнения.

          Решение учебной задачи (операционно-познавательный этап) на представленном уроке заключается в «открытии» теорем о равносильности уравнений и их доказательстве. Основное внимание при изложении материала уделено определению равносильных уравнений, уравнений-следствий, «отысканию» теорем о равносильности уравнений.

          Записи, которые делает учитель  в течение урока, представлены  непосредственно в конспекте.  Оформление записей учащимися  в тетрадях приведено в конце  конспекта урока.

     Конспект  урока 

          Тема. Равносильные уравнения. Уравнение-следствие.

          Цели урока.  В совместной деятельности с учащимися выявить на множестве уравнений отношение равносильности, «открыть» теоремы о равносильности уравнений.

          В результате ученик

              знает

     - определение равносильных уравнений,

     - определения уравнения-следствия,

     - формулировки основных теорем;

           умеет

     - из предложенных уравнений выбирать  равносильные уравнения и уравнения-следствия,

     - применять определения равносильных  уравнений и уравнений-следствий  в стандартных ситуациях;

           понимает

     - какие преобразования приводят  к равносильным уравнениям или  к уравнениям-следствиям,

     - что существуют преобразования, в результате которых уравнение  может приобрести посторонние  корни,

     - что в результате некоторых  преобразований может произойти  потеря корней.

          Тип урока. Школьная лекция (2 часа). 

     Структура урока.

     I. Мотивационно-ориентировочная часть:

     - актуализация знаний,

     - мотивация, постановка учебной  задачи.

     II. Операционно-познавательная часть:

           - решение учебно-исследовательской  задачи (цели урока).

     III. Рефлексивно-оценочная часть:

           - подведение итогов  урока,

     - выдача домашнего задания. 

     Ход урока 

          I. Мотивационно-ориентировочная часть.

           - Сегодня на уроке поговорим  об уравнении, но тему пока  записывать не будем. Вспомним  основные понятия, связанные с  уравнением. Прежде всего, что  такое уравнение?

          (Уравнение – это аналитическая  запись задачи нахождения значений  аргументов, при которых значения  одной функции равны значениям  другой функции).

          - Какие еще понятия связаны  с уравнением?

          (Корень уравнения и что значит  решить уравнение. Корень уравнения  – это число, при подстановке  которого  в уравнение получается  верное числовое равенство. Решить  уравнение – найти все его  корни или установить, что их  нет).

          - Что называется ОДЗ уравнения?

          (Множество всех чисел, при  которых имеют одновременно смысл  функции, стоящие в левой и  правой частях уравнения).

           - Найдите ОДЗ следующих  уравнений.

           1) ,

           2) ,

           3) ,

           4) ,

           5)

           6) . 

          - На доске записано решение  уравнения 

     

     Что представляет собой процесс решения  уравнения?

          (Выполнение преобразований, приводящих  данное уравнение к уравнению  более простого вида, т.е. такого  уравнения, нахождение корней  которого не представляется трудным).

          - Верно, т.е. происходит последовательность  упрощений от уравнения  к уравнению и т.д. к . Проследим, что происходит с корнями уравнения на каждом этапе преобразований. В представленном решении получены два корня уравнения . Проверьте, являются ли числа они и числа и корнями исходного уравнения .

          (Числа  , и являются корнями исходного уравнения, а - нет).

          - Значит, в процессе решения эти  корни были потеряны. В целом  же выполненные преобразования  привели к потере двух корней  и приобретению постороннего корня .

          - Как можно избавиться от посторонних  корней?

          (Сделать проверку).

          - Допустима ли потеря корней? Почему?

          (Нет, т.к. решить уравнение  – это найти все его корни).

          - Как же избежать потери корней?

          (Наверное, при решении уравнения  не выполнять преобразования, которые  ведут к потере корней).

          - Итак, чтобы процесс решения  уравнения приводил к верным  результатам, что важно знать  при выполнении преобразований  над уравнениями?

          (Наверное, знать, какие преобразования  над уравнениями сохраняют корни,  какие приводят к потере корней  или приобретению посторонних  корней. Знать, какими преобразованиями  их можно заменить, чтобы потери  или приобретения корней не  было).

          - Вот этим мы и займемся  на этом уроке. Как бы вы  сформулировали цель предстоящей  деятельности на сегодняшнем  уроке?

          (Выявить преобразования над уравнениями,  которые сохраняют корни,  приводят  к потере корней или приобретению  посторонних корней. Знать, какими  преобразованиями их можно заменить, чтобы потери  или приобретения  корней не было). 

          II. Операционно-познавательная часть.

          - Обратимся снова к уравнению,  записанному на доске. Проследим,  на каком этапе и в результате  каких преобразований, были потеряны  два корня и появился посторонний. (Учитель справа от каждого  уравнения  - проставляет числа).