Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

          (Обе части уравнения  умножили на и получили уравнение . Чтобы получить уравнение , обе части уравнения умножили на  ).

          - Какому же условию должна  удовлетворять функция  , чтобы умножив обе части уравнения на , было бы получено уравнение равносильное ?

          (Функция  должна быть определена на всей ОДЗ уравнения ).

          - Выполняли ли прежде над уравнениями  такое преобразование?

          (Выполняли, обе части уравнения  умножали на число, отличное  от нуля).

          - Значит, условие, налагаемое на  функцию   необходимо дополнить.

          (Функция  не должна обращаться в ноль ни при одном из ОДЗ уравнения).

          - Итак, запишем в символическом  виде утверждение, которое позволяет  от данного уравнения перейти  к равносильному. (Учитель под  диктовку учеников записывает  теорему 3). 
 

          - Докажем теорему. Что значит, что два уравнения равносильны?

          (Надо показать, что все корни  первого уравнения являются корнями  второго уравнения и наоборот, т.е. второе уравнение есть  следствие первого и первое  уравнение является следствием  второго).

          - Докажем, что  является следствием уравнения .  Пусть - корень уравнения , что это значит?

          (При подстановке  в получим верное числовое равенство ).

          - В точке  функция определена и не обращается в ноль. Что это означает?

          (Число  . Поэтому числовое равенство можно помножить на . Получим верное числовое равенство ).

          - Что это равенство означает?

          ( - корень уравнения . Этим показали, что уравнение - уравнение-следствие для уравнения ).

          - Докажем, что  - следствие уравнения . (Учащиеся работают самостоятельно, далее после обсуждения, учитель записывает вторую часть доказательства на доске).

          Задание 4. Являются  ли уравнения каждой  группы (а, б) равносильными?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение  группы заменено  вторым.

     а)                            б) 

          - Равносильны ли уравнения  и ?

          (Равносильны).

          - В результате какого преобразования  из  можно получить  ?

          (Возводим обе части уравнения  в куб).

          - От правой и левой частей  уравнения можно взять функцию  . На каком множестве определена функция ?

          (На общей части множеств значений  функций     и ).

          - Охарактеризуйте группу уравнений  под буквой б)?

          (Они не равносильны,  является следствием , к уравнению применили функцию и перешли к уравнению , функция определена на общей части множеств значений функций и ).

          - Чем же отличаются свойства  функций  в группе а) и б)?

          (В первом случае функция монотонна,  а во втором нет).

          - Сформулируем следующее утверждение. (Учитель под диктовку учащихся  записывает теорему). 

          Обсудим, как будет  «работать»  эта теорема при решении следующих  уравнений.  

          Пример.   Решить уравнение

           1) ;                               2) .

          Какую функцию применим к обеим  частям уравнения 1)?

          (Возведем обе части уравнения  в куб, т.е. применим функцию  ).

          - Перечислите  свойства этой  функции, необходимые для применения  теоремы 4.

          (Эта функция определена на  общей части множеств значений  функций, стоящих в левой и  правой частях уравнения, она  монотонна).

          - Значит, возведя обе части исходного  уравнения в куб, какое уравнение  получим?

          (Равносильное данному).

          - Будут ли отличаться множество   корней исходного уравнения и   множество корней полученного  уравнения?

          (Нет).

          - Какую функцию применим к  обеим частям уравнения 2)?

          (Возведем обе части уравнения  в четвертую степень, т.е. применим  функцию  ).

          - Перечислите  свойства этой  функции, необходимые для применения  теоремы 4.

          (Эта функция определена на  общей части множеств значений  функций, стоящих в левой и  правой частях уравнения, она  не монотонна).

          - Какое же уравнение, относительно  исходного, мы получим, возведя  данное уравнение в четвертую  степень?

          (Уравнение-следствие).

        - Будут ли отличаться множество   корней исходного уравнения и   множество корней полученного  уравнения?

          (Могут появиться посторонние  корни. Значит, необходима проверка).

          - Проведите решение этих уравнений  дома. 

          III. Рефлексивно-оценочная  часть. 

          - Мы сегодня вместе «открыли»  четыре теоремы. Еще раз просмотрите  их и скажите, о каких уравнениях  в них говорится.

          (О равносильных уравнениях и  уравнении-следствии).

          - Запишем тему урока. Вернемся  к уравнению, которое рассматривали  в начале сегодняшнего разговора.  Какие из теорем 1-4 применялись  при переходе от одного уравнения  к другому? (Ученики вместе с  учителем выясняют, какая теорема  работала на каждом шаге, учитель  на схеме отмечает номер теоремы).

        .

               T.2     Т.2     Т.1    Т.4   Т.2    Т.4

          - Что нового вы сегодня узнали  на уроке?

          (Понятия равносильных уравнений,  уравнения-следствия, теоремы о  равносильности уравнений).

          - Какую задачу мы поставили  в начале урока?

          (Выделить преобразования, не изменяющие  множество корней уравнения, преобразования, ведущие к приобретению и потере  корней).

          - Решили ли мы ее полностью?

          - Нет.

          - Поставленную задачу, мы решили  частично, ее исследование продолжим  на следующих уроках при решении  новых видов уравнений.

          - Используя новое для нас понятие  равносильных уравнений, переформулируйте  первую часть поставленной задачи  «выделить преобразования, не изменяющие  множество корней уравнения».

          (Как узнать, является ли переход  от одного уравнения к другому  равносильным преобразованием).

          - Что поможет ответить на этот  вопрос?

          (Теоремы о равносильности уравнений).

          - А применяли ли сегодня преобразования, которые ведут к приобретению  посторонних корней?

          (Применяли, это возведение обеих  частей уравнения в квадрат;  использование формул, левая и  правая части которых имеют  смысл при разных значениях  входящих в них букв).

          - Существуют и другие «специфические»  причины, которые приводят как  к появлению, так и к потере  корней уравнения, о некоторых  из них мы говорили. Но есть  и такие, которые, как правило,  связаны с определенным классом  уравнений, а об этом разговор  у нас будет позже.

          Запишем домашнее задание:

1. знать определения равносильных уравнений, уравнения-следствия;
2. знать формулировки теорем 1-4;
3. провести по аналогии с доказательством теоремы 3 доказательство теорем 1 и 2;

               4) №№ 139(4,6), 141(2) – выяснить, являются  ли уравнения равносильными;    решить уравнения   ;  .

     Записи  в тетрадях 

     Равносильные  уравнения. Уравнение-следствие.

          Определение 1. Уравнения и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

          Определение 2. Уравнение называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения   является корнем уравнения .

       Задание 1. Являются  ли уравнения каждой  группы (а, б) равносильными?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение  группы заменено  вторым.

     а)   

     б)

          Ответ:  , . В группе а) использовали тождество , в группе б) заменили левую часть уравнения тождественно равным ему выражением.

          Вывод. Пусть в некотором уравнении  , выражение заменили на тождественное ему выражение . Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению . Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения . 

 

         Задание 2. Равносильны  ли следующие уравнения?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение   заменено вторым  уравнением, третьим  уравнением.

     

     

     

          Ответ:  . К обеим частям уравнения в первом случае прибавили , во втором случае прибавили .

          Вывод. Если к обеим частям  уравнения прибавить функцию,  определенную на ОДЗ этого  уравнения, то получим уравнение,  равносильное данному).