Понятие о равносильности уравнений и неравенств. Теоремы о равносильности. Школьная лекция по теме «Уравнение-следствие и равносильные

          - Назовите  уравнения, имеющие  один и тоже набор (множество)  корней.

          (Уравнения  , , , и , ).

          - Такие уравнения называются  равносильными. Попытайтесь сформулировать определение равносильных уравнений.

          (Уравнения, имеющие одно и  тоже множество корней, называются  равносильными).

          - Запишем определение.

     Определение 1. Уравнения  и называются равносильными, если множества их корней совпадают.

          Необходимо отметить, что уравнения  не имеющие коней, также являются  равносильными. 

          Для обозначения равносильных  уравнений можно использовать  символ « ». Процесс решения уравнения , используя новое понятие, можно отразить так:

        … … .

          Таким образом, переход от данного  уравнения к равносильному не  влияет на множество корней  получающегося уравнения. 

          А какие основные преобразования  выполняли при решении линейных  уравнений?

          (Раскрытие скобок; перенос слагаемых  из одной части уравнения в  другую, изменяя знак на противоположный;  прибавление к обеим частям  уравнения выражения, содержащее  неизвестную).

          - Менялись ли при этом их  корни?

          (Нет).

          - На основе одного из этих  преобразований, а именно: перенос  слагаемых из одной части уравнения  в другую, меняя при этом знак  на противоположный, в 7-м классе  сформулировали свойство уравнений.  Сформулируйте его, применив новое  понятие.

          (Если какой-нибудь член уравнения  перенести из одной части уравнения  в другую с противоположным  знаком, то получится уравнение,  равносильное данному).

          - Какое еще свойство уравнения  вы знаете?

          (Обе части уравнения можно  умножать на одно и тоже  число, отличное от нуля).

          - Применение этого свойства также  заменяет исходное уравнение  на равносильное ему. Обратимся  опять к уравнению, записанному  на доске. Сравните множество  корней уравнений  и ?

          (Корень уравнения  является корнем уравнения ).

          - То есть при переходе одного  уравнения к другому множество  корней хотя и расширилось,  но потери корней не произошло.  В этом случае уравнение  называют следствием уравнения . Попытайтесь сформулировать определение уравнения, которое является следствием данного уравнения.

          (Если при переходе от одного  уравнения к другому потери  корней не происходит, то второе  уравнение называют следствием  первого уравнения).

     Определение 2. Уравнение  называют следствием уравнения , если каждый корень уравнения   является корнем уравнения .

          - В результате какого преобразования получили уравнение из уравнения ?

          (Возведение в квадрат обеих  частей уравнения).

          - Значит, это преобразование может  приводить к появлению посторонних  корней, т.е. исходное уравнение  преобразуется в уравнение-следствие.  Есть ли еще уравнения-следствия  в представленной цепочке преобразований  уравнения  ?

          (Да, например, уравнение  - следствие уравнения , а уравнение - следствие уравнения ).

          - А какие это уравнения?

          (Равносильные).

          - Попытайтесь, используя понятие  уравнения-следствия, сформулировать  эквивалентное определение равносильных  уравнений.

          (Уравнения называются равносильными,  если каждое из них является  следствием другого).

          - Есть ли еще уравнения-следствия  в предложенном решении уравнения  ?

          (Да, уравнение  - следствие уравнения ).

          - Что происходит с корнями  при переходе от  к ?

          (Потеряны два корня).

          - В результате какого преобразования  это произошло?

          (Ошибка в применении тождества  ).

          - Применяя новое понятие уравнения-следствия,  и используя символ « », процесс решения уравнения  будет выглядеть так: 

        .

          - Итак, полученная схема демонстрирует  нам, что если осуществляются  равносильные переходы  , , то множества корней получающихся уравнений не изменяются. Но только равносильные преобразования применять не всегда удается. Если же переходы неравносильные, то возможны два случая: и . В первом случае уравнение - следствие уравнения , множество корней получающегося уравнения включает в себя множество корней данного уравнения, здесь приобретаются посторонние корни, их можно отсечь выполняя проверку. Во втором случае получилось уравнение, для которого данное уравнение является следствием: , а значит, произойдет потеря корней, таких переходов не следует выполнять. Поэтому важно следить за тем, чтобы при преобразовании уравнения каждое следующее уравнение было следствием предыдущего. Что же надо знать, чтобы преобразования были только такими? Попробуем установить это. Запишем задание 1 (в нем предлагаются уравнения; их ОДЗ, найденная на этапе актуализации; записано множество корней каждого уравнения).

          Задание 1. Являются ли уравнения каждой группы (а, б) равносильными? Назовите преобразование, в результате которого первое уравнение группы заменено вторым.

     а)  

       б)

          - Обратимся к уравнениям группы  а), являются ли эти уравнения  равносильными?

          (Да, и   равносильны).

          - В результате какого преобразования  из  получили ?

          (Использовали тождество  ).

          - То есть выражение в одной  части уравнения заменили тождественно  равным ему выражением. Изменилась  ли ОДЗ уравнения при этом  преобразовании?

          (Нет).

          - Рассмотрим группу уравнений  б). Равносильны ли эти уравнения?

          (Нет, уравнение  - следствие уравнения ).

          - В результате какого преобразования  из  получили ?

          (Заменили левую часть уравнения  тождественно равным ему выражением).

          - Что произошло с ОДЗ уравнения?

          (ОДЗ расширилась).

          - В результате расширения ОДЗ  получили уравнение-следствие  и посторонний корень для уравнения . Значит, расширение ОДЗ уравнения может привести к появлению посторонних корней. Для обоих случаев а) и б) сформулируйте утверждение в общем виде. (Ученики формулируют, учитель корректирует).

          (Пусть в некотором уравнении  , выражение заменили на тождественное ему выражение . Если такое преобразование не изменяет ОДЗ уравнения, то переходим к равносильному уравнению . Если ОДЗ расширяется, то уравнение является следствием уравнения ).

          - Это утверждение является теоремой  о преобразованиях приводящих  к равносильным уравнениям или  уравнениям-следствиям. 

 

          - Примем эту теорему без доказательства. Следующее задание. Представлены  три уравнения и их корни.

          Задание 2. Равносильны  ли следующие уравнения?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение   заменено вторым  уравнением, третьим  уравнением.

     

     

     

          - Какие из предложенных уравнений  равносильны?

           (Только уравнения  и ).

          - Какие преобразования выполнялись,  чтобы от уравнения  перейти к уравнению , ?

          (К обеим частям уравнения  в первом случае прибавили , во втором случае прибавили ).

          - То есть в каждом случае  прибавили некоторую функцию  . Сравните область определения функции в уравнении с ОДЗ уравнения .

          (Функция  определена на ОДЗ уравнения ).

          - Какое уравнение получили в  результате прибавления к обеим  частям уравнения  функции ?

          (Получим уравнение равносильное  ).

          - Что произошло с ОДЗ уравнения  по сравнению с ОДЗ уравнения ?

          (Она сузилась из-за функции   ).

          - Что же получили в этом  случае? Будет ли уравнение  равносильно уравнению или - уравнение-следствие для уравнения ?

          (Нет, не то и ни другое).

          - Рассмотрев два случая преобразования  уравнения  , которые представлены в задании 2, попытайтесь сделать вывод.

          (Если к обеим частям уравнения  прибавить функцию, определенную  на ОДЗ этого уравнения, то  получим уравнение, равносильное  данному).

          - Действительно, это утверждение  является теоремой. 
 

     Но  утверждение, похожее на сформулированную теорему, мы использовали при решении  уравнений. Как оно звучит?

          (К обеим частям уравнения можно  прибавить одно и то же число).

          - Это свойство является частным  случаем теоремы 2, когда  .

          Задание 3. Равносильны  ли следующие уравнения?  Назовите преобразование, в результате которого  первое уравнение   заменено вторым  уравнением, третьим  уравнением.

     

       

     

          - Какие из уравнений в задании  3 равносильны?

          (Уравнения  и ).

          - В результате какого преобразования  из уравнения  получены уравнения , ?