Функції комплексної змінної та їх похідні

Міністерство  освіти і науки,МОЛОДІ ТА СПОРТУ України

Кіровоградський державний педагогічний університет

ІМЕНІ Володимира Винниченка

 

Кафедра математики

 

 

 

ФУНКЦІЇ КОМПЛЕКСНОЇ  ЗМІННОЇ ТА ЇХ ПОХІДНІ

 

 

 

Курсова робота

з математики

Остапенко Ю.В.

студентки 34 групи 

фізико-математичного  факультету

спеціальність: 6.040201 математика*

 

 

Науковий керівник:

Романов Володимир Олександрович

                                                                       кандидат фізико-математичних                наук,доцент                     

 

 

 

 

 

Кіровоград 2012

 

Зміст

 

Вступ……………………………………………..……….…………………….........

1. Огляд основних понять і фактів теорії комплексних

 чисел

 1.1. Основні поняття і факти....…………….………….……………….....…….......

2. функції комплексної змінної ТА ЇХ ВЛАСТИВОСТІ. Множина точок у площині

2.1. Поняття функції……………………………………………….....…………. 2.2. Поняття області…………………………………..…......…………………….

2.3.Властивості функцій,неперервних на замкненій обмеженій множині……....................………...................….....................................................

2.4. Ціла лінійна функція…………………………………....................……...…

2.5. Дробово-лінійна функція…………………………......................................

3. Похідна та її найпростіші властивості

3.1. Поняття похідної………………………………………….........….…...……..

3.2. Поняття аналітичної функції…………………….………..........……....…….

3.3. Диференціювання степеневого ряду…………………………...….....…..….

3.4. Ряд Тейлора………………………..…………………………….....................

Висновки…………………………………………………………….…....…….....

Список  літератури………………………………………………………..........

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

АНОТАЦІЯ

Стор. 63,  рис. 14, табл. 1, бібліогр. 11

Комплексна, теорія, похідна,теорема, формула, функція, змінна.

Реферат присвячено теорії функцій комплексної змінної та їх похідним. Детально розглядаються основні функції та поняття.

Наводяться докладні розв'язання типових задач з теми, що демонструють використання на практиці результатів теорії. При цьому велика увага приділяється не тільки розгляданню "технічних прийомів", але й дослідженню умов застосовності тієї чи іншої теореми або формули. Кількість розібраних прикладів змінюється в залежності від обсягу та важливості теми.

Ця робота може бути корисною для тих, хто цікавиться математичними науками і не тільки. Оскільки на даному етапі теорія функцій комплексної змінної є невід’ємною частиною математичного апарату і напряму використовується у гідромеханіці, теорії фільтрації, теорії пружності, теплотехніці, гідротехніці, електротехніці, радіотехніці, електронній оптиці та ін.

АННОТАЦИЯ

Стр. 63,  рис. 14, табл. 1, библиогр. 11

Комплексная, теория, производная, теорема, формула, функция, переменная.

Реферат посвящен теории функций комплексной переменной и её производным. Детально рассматриваются основные функции и понятия.

Наводятся подробные  решения типичных задач из темы, которые демонстрируют использование  на практике результатов теории. При  этом большое внимание уделяется  не только рассматриванию "технических  приемов", но и исследованию условий  применимости той или другой теоремы или формулы. Количество разобранных примеров изменяется в зависимости от объема и важности темы.

Эта работа может бать полезной для тех, кто интересуется математическими  науками и не только. Поскольку  на данном этапе теория функций комплексной переменной является неотъемлемой частью математического аппарата и направления используется в гидромеханике, теории фильтрации, теории упругости, теплотехнике, гидротехнике, электротехнике, радиотехнике, электронной оптике и др.

 

ANNOTATION

Page 63,  рic. 14, тab.1, bibl. 11

Complex, theory, derivate, theorem, formula, function, variable.

An abstract is devoted the theory of functions of complex variable and their derivates. Basic functions and concepts are examined in detail.

The detailed decisions of typical tasks from a theme, which demonstrate the use in practice of results of theory, are pointed. Thus large attention is spared not only consideration of "technical receptions" but also research of terms of applicability of that or other theorem or formula. The amount of the taken apart examples changes depending on a volume and importance of theme.

This work can be useful to those, who is interested in mathematical sciences and not only. As on this stage a theory of functions of complex variable is inalienable part of mathematical vehicle and direction utillized in hydromechanics, theory of filtration, theory of resiliency, heating engineering, hydraulic engineering, electrical engineering, radio engineering, to the electronic optics and other.

 

 

 

Вступ

 

Актуальність  теми. У даний час комплексні числа не менш вживані ніж дійсні числа як в суто математичних дослідженнях так і у різноманітних застосуваннях у фізиці і техніці.

Сьогодні теорія функцій  комплексної змінної є невід’ємною  частиною математичного апарату і напряму використовується у гідромеханіці, теорії фільтрації, теорії пружності, теплотехніці, гідротехніці, електротехніці, радіотехніці, електронній оптиці та ін. Але на жаль мало доступних підручників по цій темі на українській мові. 

Об’єкт дослідження: теорія функцій комплексної змінної.

Предмет дослідження: функції комплексної змінної та їх похідні.

Мета дослідження: викладення матеріалу українською мовою.

Завдання:

• зібрати матеріал;
• навести приклади;
• доступно викласти матеріал;

Методи дослідження: поставлені у роботі задачі розв’язувались на основі теорії функції комплексного змінного, а також аналізу наукової літератури.

Основні поняття: комплексне число, збіжний ряд, відкрита множина, скінченна границя функції, нескінченна границя, неперервна функція на множині, комплексна змінна, похідна комплексної змінної.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Огляд основних понять і фактів теорії комплексних чисел

 

1.1.Основні  поняття і факти

 

Комплексним числом називається число виду

z = х + іу,

де х та у - дійсні числа, і - уявна одиниця, яка задовольняє рівність і² = -1. Числа х та у називаються відповідно дійсною і уявною частиною комплексного числа z і позначаються

х = Re z,   у = Im z.

Якщо y = 0, то комплексне число z = х + i0 = x є дійсне. Якщо у ≠ 0, то z = х+ + іу - число уявне, причому при х = 0 воно суто уявне.

Два комплексних числа z₁ = х₁ + іy₁ і z₂ = х₂ + iy₂ називаються рівними, якщо х₁ = х₂ і y₁ = у₂. Комплексне число z = х + іу дорівнює нулю тільки тоді, коли х = 0 і у = 0.

Сумою z₁ + z₂ двох комплексних чисел z₁ = x₁ + іу₁ та z₂ = х₁ + іу₁ називається комплексне число

z₁ + z₂ = (x₁ + х₂) + і (y₁ + y₂),

а добутком z₁z₂ - число

z₁z₂ = (x₁x₂ - y₁y₂) + і (x₁y₂ + х₁y₁).

З означення суми випливає:

Re (z₁ + z₂) = Re z₁ + Re z₂,

Im (z₁ + z₂) = Im z₁ + Im z₂.

Для комплексних чисел справедливі  такі закони:

1) (z₁ + z₂) + z₃ = z₁ + (z₂ + z₃) (асоціативний закон додавання);

2) z₁ + z₂ = z₂ + z₁ (комутативний закон додавання);

3. (z₁z₂)z₃ = z₁(z₂z₃) (асоціативний закон множення);
4. z₁z₂ = z₂z₁ (комутативний закон множення);
5. (z₁+z₂)z₃ = z₁z₃ +z₂z₃ (дистрибутивний закон множення відносно додавання).

Якщо  кожному комплексному числу z=х+іу поставити у відповідність у площині ХОУ точку (x; у) з координатами х та у (рис. 1), то між множиною всіх комплексних чисел, і множиною всіх точок площини буде встановлено взаємно однозначну відповідність. Тому далі замість слова «число z» часто говоритимемо «точка z» і навпаки.

Число z = х + іу називається афіксом точки (х; у). Точку (0; 0) називатимемо початком. Площина, точки якої зображають комплексні числа, називається комплексною числовою площиною, або просто комплексною площиною. Вісь абсцис при цьому називається дійсною віссю, а вісь ординат - уявною віссю. Такі назви осей природні, оскільки точки осі абсцис зображають дійсні числа, а точки осі ординат, крім точки (0; 0), зображають числа суто уявні.

Комплексне число z = х + іу можна також зображати вектором, початок якого лежить у точці (0; 0) а кінець - у точці (х; у). Дійсна і уявна частини числа            z = х + іу при цьому будуть компонентами зображувального вектора. Довжина цього вектора, що дорівнює , називається  модулем комплексного числа z = х + іу і позначається |z|:

|z|=

,

а кут φ, на який треба повернути навколо початку додатну частину дійсної осі до збігу з цим вектором, називається аргументом числа z і позначається  Аrg z:

φ = Аrg z.

При цьому кут φ  вважається додатним, якщо обертання  додатної частини дійсної осі  навколо початку відбувалося  проти годинникової стрілки, і від'ємним, якщо це обертання відбувалося за годинниковою стрілкою. Кожне комплексне число z має модуль, причому 0 ≤ |z| < + ∞. Число нуль є єдине комплексне число, модуль якого дорівнює нулю.

Аргумент має кожне комплексне число z, відмінне від нуля, причому                        - ∞ < Аrg z < -+- ∞. Аргумент числа нуль не визначений. Якщо модуль комплексного числа визначений однозначно, то Його аргумент визначений з точністю до сталого доданка виду 2kπ (k = 0, ±1, ±2,...). Серед нескінченної множини значень Аrg z є одне значення, яке належить проміжку ] -π; π]. Це значення аргументу називають головним значенням і позначають arg z. Таким чином,

Arg z = arg z + 2kπ  (k= 0, ±1, ±2, ...), де -π < arg z < k.

Для обчислення головного значення аргументу числа z = х + іу  корисні рівності:

arg z = arctg

при х>0,

arg z = arctg

+ π при x < 0 і у ≥ 0,

arg z = arctg

- π при х < 0 і у < 0.

Дійсна і уявна частини комплексного числа z = х + +iу≠0 через модуль і аргумент цього числа виражаються формулами:

Re z = |z|cos Arg z,   Imz = |z|sin Arg z,

а саме число z може бути записане у вигляді:

z = |z| (cos Arg z + і sin Arg z)

Ця форма,запису комплексного числа z називається тригонометричною. Звичайна форма запису у вигляді z= х + іу називається алгебраїчною. Оскільки

|z|=

, ,

то

|Re z| =

≤ =|z|,

|Im z=

≤ =|z|,

|z|≤|Rez| + |Imz|,

тобто модуль як дійсної, так і уявної частин комплексного числа z не перевищує модуля цього числа, а модуль числа z не перевищує суми модулів його дійсної та уявної частин. Обчисливши добуток двох комплексних чисел

z₁ = | z₁| (cos Arg z₁ + i sin Arg z₁)

z₂ = | z₂|(cos Arg z₂ + і sin Arg z₂),

дістанемо:

z₁z₂ = |z₁||z₂||cos (Arg z₁ + Arg z₂) + і sin (Arg z₁ + Arg z₂)|.

Звідси знаходимо:

| z₁ ∙z₂ |=| z₁|| z₂|.

тобто модуль добутку двох комплексних  чисел дорівнює добутку їх модулів, і 

Arg (z₁ ∙ z₂) = Arg z₁ + Arg z₂,

тобто аргумент добутку двох комплексних  чисел дорівнює сумі аргументів співмножників.

Ця властивість модуля і аргументу  добутку двох комплексних чисел  за індукцією легко поширюється  на добуток n комплексних чисел. Справедливі рівності:

|z₁

z₂...z_n|=|z₁||z₂|...|z_n|, 
Arg (z₁ z₂ ... z_n) = Arg z₁ + Arg z₂ + ... + Arg z_n.

Зокрема, якщо z₁= z₂ = ... = z_n = z ≠ 0, то

|zⁿ| = |z|ⁿ,  Arg(zⁿ) = n Arg z,

тому

(|z|(cos Arg z + і sin Arg z))ⁿ-|z|ⁿ(cosn Arg z+isin n Arg z).

Ця рівність називається Формулою Муавра.

Візьмемо два комплексних числа 

z₁ = х₁ + iу₁ і z₂ = х₂ + іу₂.

Відповідні  їм точки площини сполучимо відрізками прямих, з початком координат (рис. 2). На цих відрізках як на сторонах побудуємо паралелограм. Четвертою вершиною цього паралелограма, очевидно, буде точка (x₁+x₂; y₁+y₂). Ця точка зображає комплексне число z = (x₁ + x₂) + і (у₁ + y₂), що дорівнює сумі z₁+z₂. Отже, додавання комплексних чисел геометрично виконується за правилом паралелограма, тобто за правилом додавання векторів, які виходять, з початку.