Понятие аналитической функции

Однозначную функцию  можно назвать аналитической (также регулярной, голоморфной) в т. именуется аналитической в области при условии, что она является аналитической в каждой точке .

Однозначные главные  элементы функции являются аналитическими в .

В качестве примера  диференцируемой, но не аналитической в точке функции можно записать . Таким образом, 

иначе выражаясь, условия  Коши — Римана выполняются для исключительно в т. . В результате можно заключить, что в этой точке она является дифференцируемой, но не аналитической.

Следует сказать, что  аналитическая в предполагает в  наличие производных любого порядка.

О: Функция двух переменных при условии, что у нее в существуют непрерывные частные производные до второго порядка включительно и удовлетворяет уравнению Лапласа:

Т: Действительная и  мнимая части аналитической в функции - это гармонические функции.

Для аналитической  функции выполняются условия  Коши — Римана (14.2). Осуществим дифференцирование первого равенства условий по , второе — по : Частные производные сущствуют и являются непрерывными по причине наличия производных любого порядка для аналитичекой функции, следовательно В соответствиии с определением представляет собой гармоническую функцию. Подобным образом можно доказать гармоничность .

О: Две гармонические  функции , определяются в качестве сопряженных гармонических в случае, если они связаны условиями Коши — Римана (14.2).

Т: Для любой гармонической  функции , имеется единственная, с точностью до произвольной постоянной, сопряженная к ней функция .

Если т. - точка аналитичности можно определить с помощью формулы 

здесь представлена в качестве действительной постоянной.

Пример: . 

Допустим, что . В этом случае 

 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

Комплексный анализ

Комплексный аназиз, функций, переменных— раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Каждая комплексная функция w = f(z) = f(x + iy) может рассматриваться как пара вещественных функций от двух переменных:  , определяющих её вещественную и мнимую часть соответственно. Функции u, v называются компонентами комплексной функции f(z).

Общие понятия

Понятие предела для последовательности и функции вводится так же, как и в вещественном случае, с заменой абсолютной величины на комплексный модуль. Если  , то   и  . Верно и обратное: из существования пределов компонент вытекает существование предела самой функции, и компонентами предела будут пределы компонентов. Непрерывность комплексной функции тоже определяется так же, как в вещественном случае, и она равносильна непрерывности обеих её компонент.

Все основные теоремы  о пределе и непрерывности  вещественных функций имеют место  и в комплексном случае, если это  расширение не связано со сравнением комплексных величин набольше-меньше. Например, нет аналога теореме о промежуточных значениях непрерывной функции.

ε-окрестность числа z₀ определяется как множество точек z, удалённых от z₀ менее чем на ε:  . На комплексной плоскости ε-окрестность представляет собой круг радиуса ε с центром в z₀. 

Бесконечно  удаленная точка

В комплексном анализе  часто полезно рассматривать полную комплексную плоскость^[2], дополненную по сравнению с обычной бесконечно удалённой точкой:  . При таком подходе неограниченно возрастающая (по модулю) последовательность считается сходящейся к бесконечно удалённой точке. Алгебраические операции с бесконечностью не производятся, хотя несколько алгебраических соотношений имеют место:

ε-окрестностью бесконечно удалённой точки считается множество точек z, модуль которых больше, чем ε, то есть внешняя часть ε-окрестностей начала координат.

Дифференцирование

Определение

Производная для комплексной  функции одного аргумента w = f(z) определяется так же, как и для вещественной:

(здесь h — комплексное число). Если этот предел существует, функция называется дифференцируемой или голоморфной. При этом

Следует учитывать  одну важную особенность: поскольку  комплексная функция задана на плоскости, существование приведённого предела  означает, что он одинаков при стремлении к z с любого направления. Этот факт накладывает существенные ограничения на вид функций-компонент   и определяет их жёсткую взаимосвязь (условия Коши — Римана):

Отсюда следует, что  дифференцируемости компонент u и v недостаточно для дифференцируемости самой функции.

Более того, имеют  место следующие свойства, отличающие комплексный анализ от вещественного:

• Всякая дифференцируемая в некоторой окрестности точки z комплексная функция дифференцируема неограниченное число раз и аналитична, то есть её ряд Тэйлора сходится к данной функции во всех точках этой окрестности (в литературе наряду с термином аналитическая функция используется также его синоним «голоморфная функция»).
• (Теорема Лиувилля): Если функция дифференцируема на всей комплексной плоскости и не является константой, то её модуль не может быть ограничен.
• Обе компоненты дифференцируемой комплексной функции являются гармоническими функциями, то есть удовлетворяют уравнению Лапласа:

• Любая гармоническая  функция может быть как вещественной, так и мнимой компонентой дифференцируемой функции. При этом другая компонента определяется однозначно (из условий  Коши — Римана), с точностью до константы-слагаемого.

Таким образом, любая  дифференцируемая комплексная функция  — это функция вида u + iv, где   — взаимосвязанные гармонические функции двух аргументов.

Другие  свойства

Пусть функции f(z) и g(z) дифференцируемы в области  . Тогда   и   также дифференцируемы в этой области. Если g(z) в области G не обращается в ноль, то   будет дифференцируема в G. Композиция функций f(g(z)) дифференцируема всюду, где она определена. Если производная функции w = f(z) в области G не обращается в ноль, то существует обратная к ней функция z = φ(w), и она будет дифференцируема.

Производные суммы, разности, произведения, частного от деления, композиции функций и обратной функции вычисляется  по тем же формулам, что и в  вещественном анализе.

Геометрический  смысл производной

Каждая комплексная  функция   определяет некоторое отображение комплексной плоскости с координатами   на другую комплексную плоскость с координатами  . При этом выражение:

при малом h геометрически можно истолковать как коэффициент масштабирования, которое выполняет данное отображение при переходе от точки z к точке z +h. Существование предела  , то есть модуля производной  , означает, что коэффициент масштабирования одинаков в любом направлении от точки z, то есть не зависит от направления. Вообще говоря, коэффициент масштабирования меняется от точки к точке.

Если коэффициент  масштабирования k > 1, то в окрестности точки z расстояния между точками увеличиваются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом растяжения. Если коэффициент масштабирования k < 1, то в окрестности точки z расстояния между точками уменьшаются, и коэффициент масштабирования называют коэффициентом сжатия.

Что касается аргумента  производной, то он определяет угол поворота гладкой кривой, проходящей через  точку z. Все гладкие кривые при таком отображении поворачиваются на один и тот же угол. Отображения, сохраняющие углы, называются конформными; таким образом, любая дифференцируемая комплексная функция определяет конформное отображение (в той области, где её производная не обращается в ноль). С этим фактом связано широкое применение комплексных функций в картографии и гидродинамике.

Интегрирование

Понятие первообразной комплексной функции (неопределённого интеграла) вводится так же, как в вещественном случае. Однако аналог определённого интеграла в интервале от a до b на комплексной плоскости, вообще говоря, не существует, так как путь от начальной точки до конечной неоднозначен. Поэтому основным видом комплексного интеграла является криволинейный интеграл, зависящий от конкретного пути. Ниже будут указаны условия, при выполнении которых интеграл не зависит от пути, и тогда интеграл «от точки до точки» может быть определён корректно.

Пусть уравнение   определяет некоторую кусочно-гладкую кривую γ в комплексной плоскости, а функция f(z) определена в точках этой кривой. Разделим интервал задания параметра на n равных частей:   и рассмотрим интегральную сумму:

Предел этой суммы  при неограниченном возрастании n называется (комплексным) интегралом по кривой γ от данной функции f(z); он обозначается:

Для любой функции f(z), непрерывной вдоль γ, этот интеграл существует и может быть вычислен через обычный вещественный интеграл по параметру:

Здесь   — компоненты f(z). Из этого представления сразу следует, что свойства комплексного интеграла аналогичны свойствам вещественного криволинейного интеграла.

Теоремы единственности и  аналитическое продолжение 

Нулём функции f(z) называется точка z₀, в которой функция обращается в ноль: f(z₀) = 0.

Теорема о нулях аналитической  функции. Если нули функции f(z), аналитической в области D, имеют предельную точку внутри D, то функция f(z) всюду в D равна нулю.

Следствие: если функция f(z) аналитическая в области D и не равна тождественно нулю, то в любой ограниченной замкнутой подобласти   у неё может быть лишь конечное число нулей.

Теорема единственности аналитической  функции. Пусть {z_n} — сходящаяся последовательность различных точек области D. Если две аналитические функции f(z),g(z) совпадают во всех точках этой последовательности, то они тождественно равны в D.