Функції комплексної змінної та їх похідні

ω = rz,         (3.4)

ω = е ^iθz      (3.5)

де с - стале комплексне число, r > 0,   - довільне дійсне число.

Всі три функції (3.3), (3.4), (3.5) відображають площину z на всю площину ω.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Функція (6.3) здійснює зрушення площини z на. вектор c (рис. 5).

Функція (6.4) (r > 0) здійснює розтягування (при r > 1) і стиснення (при r < 1) площини z в r разів: |ω| = r|z|, Аrgω = Argz. На рис. 6 показаний випадок r > 1.

Функція (3.5) здійснює поворот площини z навколо нульової точки на кут θ (рис. 7).

Функції (3.3), (3.4), (3.5) мають відповідно похідні

ω'  = 1,    ω'  =  r,     ω'  =  е ^iθ.

не рівні нулю і  тому вони здійснюють конформні відображення.

 

Все ці три функції  є окремими випадками більш загальної  цілої лінійної функції

ω = аz + b   (а≠0)                                      (3.6)

де а і b - сталі комплексні числа.

Здійснюване нею відображення можна записати у вигляді

ω =  а(z+c) = rе ^iθ(z+c) .

Звідси витікає, що вона зводиться до (3.3), (3.4), (3.5);

ω = ru,  u = е ^iθv,   v = z + c.

Інакше кажучи, перетворення площини z, здійснюване функцією (3.6), зводиться до перенесення (на вектор c), потім до повороту площини (на кут θ) і потім до розтягування або стиснення площини в r разів.

Функція ω = . Вважаючи   z = rе ^iθ, ω = ρе ^iθ ,   маємо

ρ =

,   θ = - φ  (3.7)

де другу рівність треба розуміти з точністю до 2πk (k = -0, ±1, ±2, ...).

Звідси видно, що коло | z | = 1 переходить в себе, точніше кожна його точка переходить в точку, симетричну щодо дійсної осі.

Відзначимо, що якщо коло | z | = 1 проходиться в напрямі проти годинникової стрілки, то відображене коло | ω | = 1 проходиться за годинниковою стрілкою.

Перетворення (3.7) зручно розбити на два перетворення:

ρ' = ,      φ' = φ;                                 (3.8)

ρ =  r',  θ  = φ'                         (3.9)

Перетворення (3.8) називається інверсією щодо одиничного кола.

При інверсії щодо одиничного кола точки z і z', які лежать на промені, що становить кут φ з віссю х, переходять в точки, які лежать на цьому ж промені, і притому так, що

rr' = 1.

Побудова точки  z' = r'е^iθ по відомій точці       z = rе^iθ видно з рис. 8, де розглянутий випадок, коли r лежить поза колом | z | = 1. З точки z проводимо дотичну до кола  |z| = 1, Т - точка дотику, Тz'_┴Оz. З подібності трикутників (∆OTz'  і ∆OTz)

,   OT = 1,  r r' = 1.

Якщо точка z знаходиться усередині кола |z| = 1, то встановлюємо з неї перпендикуляр з Оz до перетину з колом в точці Т. Через останню проводимо дотичну до кола до перетину з променем Оz. Точка перетину і буде точкою z'.

Точки z  і z' називають взаємно симетричними щодо кола |z| = 1.

Відображуючи тепер (по (6.9)) точку z'   дзеркально щодо дійсної вісі, ми отримаємо точку

ω = r ' е ^–iφ  =

З формули  видно, що при z → 0 точка ω має необмежено зростаючий модуль, тому зручно вважати, що за допомогою цієї формули точці z = 0 відповідає «нескінченно віддалена точка», яку позначають символом ω = ∞.

Отже, функція  відображає площину z на площину ω  за допомогою перетворення інверсії щодо кола |z| = 1 і дзеркального відображення щодо осі х. При цьому точка z = 0 переходить в точку ω = ∞, а точка z = ∞ - в точку ω = 0.

Далі ω' = 0 при будь-яких z з |z|>0, тому відображення за допомогою функції ω =   - (|z| > 0) конформно.[2

 

2.5.Дробово-лінійна  функція

 

ω =                  (3.10)

Вважатимемо, що ad - bc ≠ 0. Очевидно, що точка z = - d/c (c ≠ 0) переходить в точку ω = ∞.

Функцію ω, виділяючи її цілу частина, можна представити у вигляді

ω =                  (3.11)

звідки видно, що

      (cz + d ≠ 0)

тобто відображення за допомогою  функції (3.10) конформно.

З рівності (3.11) видно, що дане відображення складається з розглянутих вище відображень:

z' = cz + d,    z'' =

,     ω = A z'' + B .

Якщо рахувати пряму  лінію за коло нескінченного радіусу, то при перетворенні (3.11) коло переходить в коло (кругова властивість).

З геометричних міркувань  ясно, що при паралельному перенесенні, розтягуванні і обертанні коло переходить в коло. Більше того, внутрішність кола, що відображається, переходить на внутрішність відображеного кола. Тому досить перевірити кругову властивість для перетворення ω = . Рівняння кола в площині хOу, як нам відомо, має вигляд    А(х² + у²)+ mх + nу + l = 0

або

Az ∙

+ m = 0,    (z = x + iy, =x – iy)

або

    ( ).   (3.12)

У даному випадку z = 1/ω ,  . Отже, рівняння (3.12) переходить в рівняння

або в рівняння

, яке описує деяке коло  в площині ω.

Зокрема, при l = 0 отримуємо пряму лінію» тобто коло, що проходить через початок координат в площині z, та переходить в пряму в площині ω'.

Відзначимо, що відображення за допомогою функцій (3.11) може переводити внутрішність кола, що відображається, як на внутрішність, так і на зовнішність відображеного кола.

Функція (3.11) в принципі залежить від трьох параметрів, за які можна узяти відношення чисел a, b, c, d до одного з них (не рівному 0).

Тому, щоб визначити  перетворення (3.11), треба задати три умови. Зазвичай задають три пари відповідних точок:

            (k =1,2,3).

Легко підрахувати, що

  .

Звідси

: : .   (3.13)

Це і є перетворення (6.11), що переводить точки z в (k = 1, 2, 3).

Хай задано два кола Г  і Г ' відповідно в площинах z і ω Потрібно знайти дробово - лінійне відображення, що переводить Г на Г' і внутрішність Г на внутрішність Г '.

На Г і Г ' відповідно задамо довільні трійки точок {z₁, z₂, z₃} і {ω₁, ω₂, ω₃}, наступні в позитивному напрямі, тобто проти годинникової стрілки. Тоді перетворення (6.13) і буде розв’язком поставленої задачі.

Насправді, воно відображає точки z_k відповідно в точки ω_k (k = 1,2, 3) і, очевидно, коло Г на Г ' (через кругову властивість).

Той факт, що в даному випадку внутрішність Г переходить на внутрішність       Г ' виходить з конформності відображення,  здійснюваного дрібно - лінійною функцією.

В даному випадку кола Г, Г ' мають позитивну орієнтацію (проходяться проти годинникової стрілки). Через конформність відображення внутрішня нормаль до Г (наприклад, в точці z_k) переходить в дугу кола (перпендикулярною Г ' в точці ω_k), яке находиться усередині Г ', а це і забезпечує відображення внутрішності Г на внутрішність Г '.

 

 

 

 

 

 

 

 

Якщо ж потрібно знайти дробово - лінійне перетворення, що відображає Г  на Г ' і внутрішність Г на зовнішність Г ', то у формулі (6.13) треба узяти точки      {z₁, z₂, z₃} на Г, розташовані в позитивному напрямі, а точки {ω₁, ω₂, ω₃} на Г ' - в негативному напрямі.

Ці висновки розповсюджуються і на випадок, коли або Г, або Г ', або і Г і Г ' є прямими. Проте вимагає пояснення, що треба  розуміти під внутрішністю прямої Г, коли на ній відмічені крапки {z₁, z₂, z₃}.

У разі рис.9 це є верхня півплощина, а у разі рис. 10 - нижня півплощина.

Якщо пряму Г доповнити  точкою ∞, то її можна осмислити  як безперервне коло (див. рис. 9, 10) нескінченного радіусу.

Будемо рухатися по Г (можливо, через нескінченно видалену точку) від z₁ до z₂, в такому напрямі, щоб дуга z₁z₂ не містила в собі z₃. Цей напрям обходу на Г визначений і тоді внутрішністю Г називається область, розташована зліва від Г при русі по цьому напряму. Насправді цією областю є верхня або нижня півплощина.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.Похідна та її найпростіші  властивості

3.1. Поняття  похідної.

 

 Нехай функція ω = f (z) визначена в області D і нехай точка z належить цій області. Похідною f ' (z) в точці z називається границя відношення приросту функції f (z) в точці z до приросту аргументу ∆z, коли приріст аргументу прямує до нуля, тобто

.

Функція f (z), яка має в точці z D скінченну похідну f ' (z), називається диференційовною в цій точці. Функція, диференційовна в кожній точці області, називається диференційовною  в цій області.

Означення похідної від функції комплексної змінної  по комплекти змінній за формою нічим не відрізняється від відповідного означення похідної від дійсної функції дійсної змінної. В зв'язку з цим і багато властивостей цих похідних спільні. Назвемо найважливіші з них:

1. Якщо функція f (z) диференційовна в точці z, то вона і неперервна в цій точці.
2. Якщо f (z) = С (const), то f ' (z) = 0.
3. (z)' = 1.
4. (zⁿ)' = nz^n-1 (п - натуральне число).

5. (cf (z))' = cf ' (z), якщо f (z) диференційовна в точці z.

6. (f (z) ± φ (z))' = f '(z) ± φ'(z), якщо f (z) і φ(z) диференційовні в точці z.

7. (f (z) φ (z))' = f ' (z)φ (z) + f (z)φ' (z), якщо f (z) і φ (z) диференційовані в точці z.

^{8. , якщо f(z) і φ(z) диференційовні в точці z і φ(z)≠0}

9. (f(φ (z)))' ⁼ f ' (ω) φ' (z),  якщо   ω = φ(z) диференційовна в точці z, а             f (ω) диференційовна в точці ω = φ (z).

10. Нехай ω = f (z) - диференційовна функція в області D і нехай ця функція область D відображає взаємно однозначно на область G площини (ω). Якщо в точці z₀ D f ' (z₀) ≠ 0, то обернена функція z = f^-1 (ω) = φ (ω) в точці ω₀ = f (z₀) має похідну φ' (ω₀), що дорівнює .

Доведення зазначених вище властивостей спирається на означення похідної і відомі властивості границі функції комплексної змінної. Доведемо, наприклад, властивості 1 і 7.

Вважаючи  функцію f (z) диференційовною в точці z, введемо позначення:

.                      (4.1)

Очевидно, що . З рівності (5.1) маємо:

∆f (z) = f ' (z) ∆z + φ (z, ∆z) ∆z.                             (4.2)

Отже, приріст функції, диференційовної в точці z, можна подати у вигляді (2), де . З (4.2) робимо висновок, що ∆f(z)→0 при ∆z→0. А це означає, що f (z) неперервна в точці z. Цим властивість 1 доведено. Для доведення властивості 7 знайдемо приріст функції F (z) = f (z) φ (z) в точці z:

∆F (z) = f (z + ∆z) φ (z + ∆z) - f (z) φ(z).

До правої частини додамо і віднімемо віднемемо f (z) φ (z + ∆z). Тоді приріст ∆F (z) запишеться у вигляді

∆F (z) = (f (z + ∆z) - f (z)) φ(z + ∆z) + f (z) (φ (z + ∆z) - φ (z)) == ∆f (z) φ (z + ∆z) + f (z). ∆φ (z).

Поділивши праву і ліву частини на ∆z ≠ 0, матимемо:

.                        (4.3)

Якщо функції f (z) і φ (z) диференційовні в точці z, то

,    при ∆z→0.

Функція φ (z), будучи диференційовною в точці z, за властивістю 1 неперервна в цій точці, тому φ(z+∆z)→ →φ (z) при ∆z→ 0. Переходячи до границі в рівності (4.3) і скориставшись при цьому теоремами про границю суми і добутку, доведемо властивість 7.

При визначенні похідної вважаємо функцію f (z) однозначною. Якщо f (z) - многозначна функція, то розглядаємо похідні від однозначних неперервних віток цієї функції.

Наприклад, якщо дано многозначну  функцію ω = , то розглядаємо вітки (k = 1, 2, …,п), які є однозначні і неперервні функції в області D, що її дістаємо з усієї комплексної площини (z) виключенням, наприклад, невід'ємної частини дійсної осі. Цю область D вітка відображає взаємно однозначно на область g_k площини (ω), обмежену променями Arg ω = (k- 1) і                            Arg ω = . Тому, згідно з властивістю 10,

.

Для віток функції ω = Ln z в тій же області D маємо:

.

Тут похідна не залежить від вибору вітки. Тому пишуть

,

розуміючи ліву частину як похідну  від довільної однозначної неперервної вітки функції Ln z.[10]

 

3. 2. Поняття аналітичної  функції.

 

Найважливіше поняття  теорії функцій комплексної змінної  є поняття аналітичної функції. Тому теорію функцій комплексної змінної часто називають теорією аналітичних функцій. Ці функції будуть детально вивчені в подальшому. Для з'ясування поняття аналітичної функції існують різні підходи. Насамперед сформулюємо означення аналітичної функції, яке дав видатний французький математик О. Коші. Інші означення буде сформульовано далі.